第一章 勾股定理 单元培优练习题 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第1章 勾股定理 单元培优练习题 一．选择题 1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3，4，5 C．2，6，9 D．5，8，10 2．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2﹣b2＝c2，则下列说法正确的是（　　） A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是锐角 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（　　） A．B． C． D． 6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 9．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米 10．勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 二．填空题 11．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　 　 ． 12．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝　 　 ． 13．如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，∠ADC＝90°，则这块菜地的面积为　 　 cm2． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝　 　 ． 15．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，P为CD上任意一点，则PB2﹣PA2的值为 　 　 ． 16．如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是　 　 ． 三．解答题 17．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数． 18．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆AB的高度． 20．如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝55cm，且与闸机侧立而夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 　 　 cm． 21．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　 ． （2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线． ①求证：△BDC为近直角三角形． ②求BD的长． 22．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C B D A A C 二．填空题 11．120． 12．13． 13．24（cm2）． 14．1.4． 15．12． 16．6≤h≤8． 三．解答题 17．解：如图所示，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC2，∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，DA＝1， ∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． 故∠DAB的度数为135°． 18．证明：由已知可得， Rt△BAE≌Rt△EDC， ∴∠ABE＝∠DEC， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴△BEC是直角三角形， ∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2． 19．解：设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得： 在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC2＝AE2+CE2， ∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92， ∴x＝13． 答：旗杆AB的高度为13米． 20．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则 Rt△ACE中，AEAC54＝27.5（cm）， 同理可得，BF＝27.5cm， 又∵点A与B之间的距离为10cm， ∴通过双闸门的最大宽度为27.5+10+27.5＝65（cm）， 答：当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为65cm． 21．解：（1）∠B不可能是α或β， 当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立； 故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°， 故答案为：20°； （2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α， 则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”； ②如图2，过点D作DM⊥BC于点M， ∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA， ∴AD＝DM． 在Rt△ACD和Rt△MCD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）． ∴AC＝CM＝4． ∵AB＝3，AC＝4， ∴BC5． ∴BM＝1． 设AD＝DM＝x， ∵DM2+BM2＝DB2， ∴x2+12＝（3﹣x）2， ∴x， ∴BD＝AB﹣AD＝3． 22．解：（1）梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2． （2）设BD＝x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/9 14:34:25；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $