1.3 勾股定理的应用 同步培优练习题 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

1.3 勾股定理的应用 同步培优练习题 一．选择题 1．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（　　） A．12 米 B．13 米 C．14 米 D．15 米 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 3．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部落在与树干底部12米处，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10米 B．15米 C．18米 D．20米 4．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（　　） A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m 6．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（　　） A．11 B．15 C．10 D．22 7．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 8．如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是（　　） A．3.8米 B．3.9米 C．4米 D．4.4米 9．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13 二．填空题 11．如图，将一根长度为16cm、自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至点D，则此时该弹性皮筋被拉长了　 　 cm． 12．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 　 　 m． 13．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图所示，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为 　 　 ． 14．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12，则这块地的面积为 　 　 ． 15．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方（每块砖的厚度相等）为 　 　 cm2． 三．解答题 16．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据： ①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度CE． （2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 17．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km． （1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． （2）C岛在A港的什么方向？ 18．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 19．由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度． 20．为将我们的城市装扮的更美丽，园林绿化工人要将公园一角的一块四边形的空地ABCD种植上花草．经测量，∠B＝90°，AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米．若每平方米空地需要购买150元的花草．将这块空地全部绿化需要购买多少元的这种花草？ 21．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B B B B A 二．填空题 11．4． 12．13． 13．（x﹣1）2+（）2＝x2． 14．24． 15．． 三．解答题 16．解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225， 所以，CD＝15（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6（米）， 答：风筝的高度CE为16.6米； （2）由题意得，CM＝9， ∴DM＝6， ∴BM10（米）， ∴BC﹣BM＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 17．解：（1）由题意AD＝60km， Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002． ∴BD＝80（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）． ∴AC75（km）． 75÷25＝3（小时）． 答：从C岛返回A港所需的时间为3小时． （2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴∠BAC＝90°． ∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°． ∴C岛在A港的北偏西42°． 18．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： （m） ∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 19．解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得：BC＝13m，DC＝12m， 故BD5（m）， 即AD＝9m， 则AC15（m）， 故AC+AB＝15+4＝19（m）． 答：这棵树原来的高度是19米． 20．解：连接AC， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52， 在△CAD中，AD2＝132，DC2＝122， 而122+52＝132， 即AC2+CD2＝AD2， ∴∠DCA＝90°， S四边形ABCD＝S△BAC+S△DAC•BC•ABDC•AC， 4×312×5＝36． 所以需费用36×150＝5400（元）， 答：这块空地全部绿化需要购买5400元的这种花草． 21．解：（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，AM＝40cm， 在Rt△AOM中，OM30， 即凳子的高度为30cm． （2）延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°， 设AB＝x cm，则CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60， 在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2， 解得x＝40，则BC＝60+40＝100（cm）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/9 14:15:00；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $