精品解析：广东省深圳市2025-2026学年上学期九年级数学期中测试（练习卷）

广州省深圳市2025-2026年上学期初三数学期中测试（练习卷） 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．请考生规范答题，保持卷面整洁 2．考生在答卷前，务必将姓名、学校写在答题卡或试卷开头 3．如要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题只有一个答案符合题目要求） 1. 在一元二次方程中，常数项为（ ） A. 2 B. C. 5 D. -5 2. 若，则的值是（　　） A. B. C. 2 D. 4 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定否有实数根 5. 已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 7. 我市兴安小区在规划设计时，准备在两幢楼房间设置一块面积为1800平方米的矩形绿地，并且长比宽长30米，设绿地的宽为x米，则x的值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 8. 伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则方程的其中一个正根为（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 第II卷（本卷共计76分） 二．填空题：（每小题3分，共计15分） 9. 方程解是__________． 10. 若a是方程的解，则式子的值为____________． 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 __． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为_______． 13. 如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么___________． 三．解答题（请写出计算过程和必要的文字说明，本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2） 15. 化简分式：，在中选择适合的数求值． 16. 已知方程是关于x一元二次方程． （1）当时，求该一元二次方程的根； （2）若该一元二次方程无实数根，请计算后写出一个满足条件的k值． 17. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 18. 材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … （1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 19. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 20. 材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． （1）方程 （填是或不是）“和积方程”； （2）若关于x的方程是“和积方程”，则_____ （3）若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州省深圳市2025-2026年上学期初三数学期中测试（练习卷） 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．请考生规范答题，保持卷面整洁 2．考生在答卷前，务必将姓名、学校写在答题卡或试卷开头 3．如要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题只有一个答案符合题目要求） 1. 在一元二次方程中，常数项为（ ） A. 2 B. C. 5 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程（，，是常数且a≠0）的、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项进行求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本定义，掌握常数项的定义是解题的关键． 2. 若，则的值是（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把当作一个整体，利用平方差公式即可求解 【详解】解：， ， ， 故答案选：B． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程-直接开平方法，掌握平方差公式及把看成一个整体是解题关键． 3. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把1移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵方程中，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5. 已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次不等式组，然后求解即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数解， ∴且， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 6. 如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ） A ② B. ③ C. ④ D. ⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可． 【详解】解：① ② ∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误； 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键． 7. 我市兴安小区在规划设计时，准备在两幢楼房间设置一块面积为1800平方米的矩形绿地，并且长比宽长30米，设绿地的宽为x米，则x的值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设绿地的宽为米，则长为米，根据矩形面积公式列方程，解一元二次方程并验证解的合理性，据此进行作答即可． 【详解】解：由题意，宽为米，长为米， ∵面积1800平方米， ∴得方程：， ∴， 则， ∴，（舍去）． 故选：C 8. 伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于的方程，其中为长方形，为正方形，且，，则方程的其中一个正根为（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则，根据，可得，所以，进而可得是方程的其中一个正根． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ， 则方程的其中一个正根为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程定义． 第II卷（本卷共计76分） 二．填空题：（每小题3分，共计15分） 9. 方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 10. 若a是方程的解，则式子的值为____________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根及求代数的值，根据a是方程的解可求出，将化为即可代值计算出答案． 【详解】若a是方程的解， 则， ∴， ∴， 故答案为：2023． 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 __． 【答案】0 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到且，即且，求出的取值范围即可求出的最大整数值． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且，即且， 且， 的最大整数值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟记一元二次方程有两个不相等的实数根，是解决问题的关键． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为；． 13. 如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 三．解答题（请写出计算过程和必要的文字说明，本大题共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【小问1详解】 ∵， ∴， 则， ∴或， 解得； 【小问2详解】 ∵， ∴， 则，即， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 15. 化简分式：，在中选择适合的数求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件选择，代入求解即可． 【详解】解： ， ， 当时．原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 16. 已知方程是关于x一元二次方程． （1）当时，求该一元二次方程的根； （2）若该一元二次方程无实数根，请计算后写出一个满足条件的k值． 【答案】（1） （2）5（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）把代入原方程，利用因式分解法解方程即可； （2）根据方程没有实数根，列出不等式，根据不等式的解集写出k值即可． 【小问1详解】 解：把代入原方程得， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 满足条件的k值为5（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题关键是熟练运用因式分解法解方程，熟记根的判别式． 17. 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 【答案】（1）， （2）20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． ∴降价10元，平均每天可销售： 每天销售获利：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设该书的销售单价为元， 依题意有： 化简得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：该书的销售单价20元． 18. 材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好．它每天的成本（元）与生产量（个）的关系如下表所示． 成本（元） 15100 15200 15300 15400 15500 … 生产量（件） 1 2 3 4 5 … （1）该工艺品每天的固定成本为___________；每件产品的可变成本为___________． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式； ②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？ 【答案】（1）15000；100 （2）①；②当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元，据此可得答案； （2）①设销量与销量单价之间的函数关系式，再利用待定系数法求解即可；②根据利润等于销售额减去成本建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元， ∴该工艺品每天的固定成本为元；每件产品的可变成本为100元； 【小问2详解】 解：①设销量与销量单价之间的函数关系式 把代入得， 解得 ∴； ②由题意得，， 整理得， 解得或， 答：当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元． 19. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）4 （2） （3）当时，多项式有最大值，最大值20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 20. 材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． （1）方程 （填是或不是）“和积方程”； （2）若关于x的方程是“和积方程”，则_____ （3）若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）m的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 【小问3详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $