精品解析：云南省昆明市昆明润城学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

九年级数学试题卷 （全卷共27个大题，共19个小题，共4页：满分100分，考试用时90分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的自变量与函数的关系是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此即可解答． 【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 2. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形邻角互补、对角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合与的比例关系求解的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补，即，且，设，， ，解得，则， 又 平行四边形对角相等，， ． 故选：A ． 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且． 故选：D． 4. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 5. 某校30个班级在学校“书香班级”的创建活动中，以班级为单位进行捐书，根据班级的捐书量制作下表： 数量/册 160 175 183 190 198 203 212 225 班级数 2 4 7 5 6 3 2 1 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 7，5.5 B. 7，5 C. 183，190 D. 183，194 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：表格中捐书量183册对应的班级数最多（7个），故众数为183； 总共有30个班级，数据按从小到大排列：前2个为160，第3-6个为175，第7-13个为183，第14-18个为190，第19-24个为198，后续为203、212、225，第15和第16个数均为190，故中位数为， 综上，众数183，中位数190， 故选：C． 6. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 7. 某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查连续两次降价的应用题，需建立二次方程模型．根据两次降价的百分率相同，每次降价后的价格为原价乘以，两次降价后的总价格即为原价乘以，由此建立方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元． 根据题意，最终价格为2025元， ∴方程为：； 故选：B 8. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解： 在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A符合题意； 在x2+x+2＝0中，△＝12﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，故该方程无实数根，故B不符合题意； 在x2+2＝0中，△＝0﹣4×1×2＝0﹣8＝﹣8＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意； 在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意； 故选择：A． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型． 9. 已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（ ） A. 1，3 B. 3， C. 1， D. 3， 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律，原抛物线顶点为，平移后的顶点为，通过比较顶点坐标的变化确定平移步骤. 【详解】解：由题可知，原抛物线解析式为，顶点坐标为. 平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为. 观察可得：顶点横坐标从变为， 即向左平移了个单位， ∴； 顶点纵坐标从变为， 即向下平移了个单位， ∴； 综上，，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式． 10. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换及其性质，根据矩形及折叠性质得，在中，由勾股定理得，然后根据即可得出的长，在中，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】四边形是矩形， ， 设，则， 由折叠，得， 在中，， ， 在中，，即， 解得， 故选：D． 11. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大于零，小于零分别判断正比例函数与一次函数图像所在象限，由此即可求解． 【详解】解：当时，正比例函数图像经过第一、三象限，一次函数图像经过第一、二、三象限； 当时，正比例函数图像经过第二、四象限，一次函数图像经过第二、三、四象限． 选项，正比例函数中，一次函数中，不符合题意； 选项，正比例函数中，一次函数的图像不正确，不符合题意； 选项，正比例函数中，一次函数的图像不正确，，不符合题意； 选项，正比例函数中，一次函数中，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查根据函数图像确定参数，掌握一次函数图像的特点及系数的关系是解题的关键． 12. 如图，在菱形中，于点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及菱形面积公式的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出边长，再结合面积公式求出高的长度． 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度；利用勾股定理计算菱形的边长；结合菱形面积等于对角线乘积的一半和底乘高两种计算方式，列出等式求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的对角线互相垂直且平分 ． ∵菱形的对角线互相垂直 ∴由勾股定理得，菱形的边长为： 菱形的面积S可以表示为对角线乘积的一半： 又∵菱形的面积也可以表示为底乘高即 解得． 故选：D． 13. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而减少， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：B． 14. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）． A. 5 B. 5 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小． ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3， ∴AE=3，AB=5， ∴DE=， 故PB+PE的最小值是． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出． 15. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 17. 如图，菱形的对角线，相交于点，分别过点，作，的垂线交于点，连接，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质．由菱形的性质推出，，，判定是等边三角形，得到，判定四边形是矩形，推出． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， ， ，， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 利用三角形中位线定理得出，利用直角三角形斜边中线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点，， 则， ， 故答案为：． 19. 已知，则的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，利用整体代入的方法是解决问题的关键． 把已知等式两边除以m得到，再利用完全平方公式得出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：11． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解来解一元二次方程： （1）利用十字相乘法分解因式即可求解； （2）利用十字相乘法分解因式即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 【答案】（1）有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，判断其符号，即可求解， （2）根据一元二次方程根与系数关系，代入，即可求解， 本题考查了，一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关熟练掌握相关知识点． 【小问1详解】 解：， 有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ， ，解得：． 22. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩的频数分布直方图如下， （数据分为4组：，，，）． b．八年级学生测试成绩在这一组的是：81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______，八年级学生测试成绩在这一组的众数是______； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______（填“小亮”或“小宇”）； （3）成绩不低于80分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】（1），84 （2）小宇 （3）180 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是的关键． （1）结合题意，根据中位数和众数的意义解答即可， （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案， （3）先算出样本中成绩不低于80分的百分比，再乘以300即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84， 故中位数， 八年级学生测试成绩在这一组的众数是84， 故答案为：，84； 【小问2详解】 解：小宇在本年级成绩排名更靠前， ∵小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分， 故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩； ∵小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数分， 故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩， ∴学生小宇的成绩在本年级排名更靠前， 故答案为：小宇； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计八年级获得优秀奖的学生人数180人． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． （1）求交点P的坐标； （2）求的面积； （3）请直接写出图象中直线（）在直线下方的部分所对应的自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移得到，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，再联立两个解析式，求出交点坐标即可得解； （2）分别求出的坐标，利用，进行求解即可； （3）根据图象确定直线在直线下方时的自变量的取值范围即可得解． 【小问1详解】 解：∵一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得：， ∴， 联立得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线和直线分别与x轴交于点A，B， 在中，当时，；在中，当时，； ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，直线在直线下方， ∴自变量的取值范围为：． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 25. 如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出四边形是平行四边形，根据四边形是菱形，得出，结合，，得出，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是菱形，得出，，即可得，结合平分，证明，证出，得出，，在中，根据勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的边长为4 ， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】该题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 26. 一年一度的校园文化节开始了，某班艺术节目需要在淘宝上采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示： （1）求y与x的函数解析式； （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共100件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，甲种道具不超过75件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额（元）最少？ 【答案】（1） （2）购进甲种道具75件，乙种道具25件，才能使该班付款总金额最少 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）结合函数图象，分两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具件，根据甲种道具数量不少于乙种道具数量的，甲种道具不超过75件，列出不等式组，求出的取值范围，进而根据一次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设函数解析式为， 把点代入得：，解得：． ∴当时，设函数解析式为． 当时，函数解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∴当时，． 综上所述，y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 设购进甲种道具a件，则购进乙种道具件， 由题知，，解得：． 当时， ； ， 随a的增大而减小， 当时，（元）． 即当时，付款总金额最少，最少付款总金额为3550元． 此时乙种道具为（件）． 答：购进甲种道具75件，乙种道具25件，才能使该班付款总金额最少． 27. 在平行四边形中，，为中点，点在线段上，连接，在下方有一点，满足，连接． （1）若，，求的面积； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）； （2） 如图1，延长至，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ， ∴； （3） 如图2，在上截取， 由（2）知， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明，求出，再求出的长，结合勾股定理求出R的长，即可求解； （2）延长至，使，连接，先证明，再根据中，点是斜边的中点，即可证得结论； （3）在上截取，先证明，进而得出是等边三角形，运用直角三角形性质和勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ， ， 在中，为的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题卷 （全卷共27个大题，共19个小题，共4页：满分100分，考试用时90分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 5. 某校30个班级在学校“书香班级”的创建活动中，以班级为单位进行捐书，根据班级的捐书量制作下表： 数量/册 160 175 183 190 198 203 212 225 班级数 2 4 7 5 6 3 2 1 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 7，5.5 B. 7，5 C. 183，190 D. 183，194 6. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 7. 某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（ ） A. 1，3 B. 3， C. 1， D. 3， 10. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 11. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，于点，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 13. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）． A. 5 B. 5 C. 6 D. 15. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 抛物线的顶点坐标是_______． 17. 如图，菱形的对角线，相交于点，分别过点，作，的垂线交于点，连接，若，，则的长为__________． 18. 如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为_____． 19. 已知，则的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根x1和x2，且满足，求的值． 22. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩的频数分布直方图如下， （数据分为4组：，，，）． b．八年级学生测试成绩在这一组的是：81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______，八年级学生测试成绩在这一组的众数是______； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______（填“小亮”或“小宇”）； （3）成绩不低于80分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中一次函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点与直线相交于点P．直线和直线（）分别与x轴交于点A，B． （1）求交点P的坐标； （2）求的面积； （3）请直接写出图象中直线（）在直线下方的部分所对应的自变量x的取值范围． 25. 如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 26. 一年一度的校园文化节开始了，某班艺术节目需要在淘宝上采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示： （1）求y与x的函数解析式； （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共100件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，甲种道具不超过75件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额（元）最少？ 27. 在平行四边形中，，为中点，点在线段上，连接，在下方有一点，满足，连接． （1）若，，求的面积； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $