福建省部分学校2026届高三上学期9月开学考试数学试卷

高三9月数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、一元函数的导数及其 应用、三角函数与解三角形、平面向量。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若角a的终边过点(0,2)，则cosa= A.0 B.1 C.2 D.-1 2.为了得到函数g(x)=tan(x+I)的图象，只需把函数f(x)=tanx图象上所有的点 A.向右平移1个单位长度 B.向左平移1个单位长度 C.向上平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度 3.若f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=√x+lgx,则f(一100)= A.10 B.-10 C.12 D.-12 4已知集合A={x|川x-1川<2}，B={x|0<E<2},则 A.A∩B={xl0<x<2} B.A∩B={x|1<x<3} C.AUB={x|-1<x<4} D.AUB={x|-3<x<4} 6“m+3>是双曲线会—y的离心率小子的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用花岗石砌建，风化后呈黑色，故 俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登攀，塔上浮雕佛像及 碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚牢塔的 实际高度AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得∠CBD= 150°，∠BDC=16.9°，CD=20m,在点C测得塔顶A的仰角为71.6°.取tan71.6°=3， sin16.9°=0.291，则塔高AB约为 【高三数学第1页（共4页）】 B A.33m B.35m C.37m D.39m 7.已知函数fx)满足f(-）=(x-)(x2+-a)(a>3),则f(x)的极大值点为 A-受 c-√厨 厨 8.若a=16b=心，c=3,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量a=(x,2),b=(生，-1)，则 A.3x∈(0，+∞)，ab B.a|·b|的最小值为3 C.Hx∈(0，+o∞)，a与b不垂直 D.当x=-1时a在b方向上的投影向量为-b 10.已知函数fx)=-2x- 22 ,g(x)=cos2x一asin x,则 Af(-）=g(2kx)(k∈2D B.当a=0时，f(x)与g(x)在(0,2)上的单调性相同 C.当f(x)与g(x)的最大值相等时，a=士2√② D.不论Q取何值，g(x)的图象总关于直线x=乏对称 【高三数学第2页（共4页）】 (2a-2)x+5,x≤1 11.已知函数f(x)= a+ 2,x>1 在R上单调递减，则函数g(x)=ln(|x|+a)的大 x 致图象可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若关于x的方程x2一3mx十m=0只有正实根，则m的取值范围是▲ 13.若曲线y=tanx在坐标原点处的切线与曲线y=x3一2x十m(x>0)相切，则m =▲ 14.蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为C:Ho,蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是 菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的 14个C原子分别记为A,B,CD,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,如图2所示，设AB=2,则 DN .JE= 图 图 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且tan(A+)=3. (1)求tanA; (2)若2 csin A=√5 asin B,证明：△ABC为直角三角形 【高三数学第3页（共4页）】 16.(15分) 已知集合A={x|x2+x一6<0}，B={x|m-3<x<2m} (1)求A∩N的子集： (2)若A∩B=心，求m的取值范围 17.(15分) 已知函数f(x)=sin(ar十p)(u>0,le≤牙)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)的单调递减区间； (3)求函数g(x)=f(x)+f(x+)+f(x+)的值域， 18.(17分) 如图，在周长为18的平面五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE=CD,BC⊥CD,DE⊥ CD. (1)若AB=3,用向量C第，CD表示向量CA; (2)设AB=x,求五边形ABCDE的面积S关于x的函数表达式； (3)当△ABE的面积取得最大值时，求AB的长， 19.(17分) 已知函数fx)=x-3nr-2-a. (1)证明：Ha∈(0，+o∞)，f(a)<0. (2)若f(x)在[子，十∞)上只有一个零点，求a的取值范围. (3)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1十x2+6n3>2a+6+6n2. 【高三数学第4页（共4页）】高三9月数学试卷参考答案 1.A cos a=0. 2.B将f(x)图象上所有的点向左平移1个单位长度可以得到g(x)的图象， 3.D因为f(x)为奇函数，所以f(-100)=-f(100)=-(√/100+lg100)=-12. 4.C因为A={x|-1<x<3),B={x|0<x<4},所以A∩B={x|0x<3},AUB={x| -1<x<4}. 5.C因为f(x)=x+3是增函数，且f(1)=4,所以m2+3”>4等价于m>1.若双曲线 y=1的离心率小于受则十<要解供m>2所以w+分>”是双面线号y m -1的离心率小于的必婴不充分条件 CD BC &B在△BCD中，由正图弦定理得n/CBD。sin∠BDC,则BC-、nD三1,64m sin∠CBD 因为在点C测得塔顶A的仰角为71.6°，所以∠ACB=71.6°，所以AB=BCtan∠ACB= 11.64×3=34.92m,故塔高AB约为35m. .Afx-）=(x-2)[（x-2)}+2-a]-(x-)°-(a-2(x-2)a>3. 令x-11∈R.则f0=-a-21a>3》.则f0)=32-(a-2a-2>D. 当(-V写√写)时f)<0当(-，-√写)U(写，+)时、 了：)>0，所以)的极大值点为√号，即fc)的极大值点为√写 /a-2 &B因为a=16->0,6-e>0c-3>0,所以na-h6-1S,nc-设函 数/x)-.则f(x)h,当x∈[e,+)时(x)≤0，(x)单调递减所以 r? f(4)<f(3)<f(e),所以lna<lnc<lnb,故a<c<b. 9.BCD若a/h,则一x一2=0，即x2+2=0,此方程无实数解，A错误.因为a·b=1一2= -1≠0，所以Hx∈(0，十∞)，a与b不垂直，C正确.|a|·|b|= (x2+4)(+1) √5+x2+5+2W=3,当且仅当2-号，即x=士E时，等号成立，B正确当x 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 -1时0在6方向上的投影向量为6品0=之b=0,D正确 10AcD1)=-21--2+1=-(+1)+21(-2)=18(2x)- cos(4kπ)-asin(2kπ)=1(k∈Z),A正确. 当a=0时，g(x)=cos2x在(0,2)上先减后增，由复合函数单调性可知，f(x)在(0,2)上单 调递增，B错误 gx)-1-2imx-asmx-2smx+号》°+1+号≤1+号，当fx)与g(x)的最大值 相等时，1+8=2且-∈[-1，，得a=士2E,C正确， 因为g(元-x)=cos(2π-2x)-asin(π-x)=cos2x-asin x=g(x),所以不论a取何值， g(x)的图象总关于直线x=乏对称，D正确。 2a-2<0, 11.BC由题意得a+2>0, 得-1≤a<1.因为g(x)=g(-x),所以g(x)是偶函数， 2a-2+5≥a+2, 排除D选项. 对于A选项，g(0)=lna>0,得a>l,不符合题意，排除A选项. 当O<a<1时，g(x)的部分图象可能为B选项的图象，B选项符合题意. 当-1≤a≤0时，g(x)的部分图象可能为C选项的图象，C选项符合题意. 12.[号+∞ 设方程x2一3mx十m=0的两根为x1,x2, 则x十x2=3m>0,x1x2=m>0,△=9m3-4m≥0，解得m≥ 1.2因为(anxY=o,所以曲线y=anr在坐标原点处的切线的斜率为 =1,则直 0s20 线y=x与曲线y=x3一2x十m(x>0)相切，设切点的横坐标为xo(xo>0),则3x一2 1(x0>0),则x。=1,所以有13-2×1+m=1,解得m=2. 14.一18以E为坐标原点，直线CI为x轴，直线EN为y轴，建立平面直角坐标系，如图所 示，则E(0,0),N(0,2),D(-3,-1),J(43,2),则DN=(W5,3),JE=(-45,-2), 所以D.J龙=-12-6=-18. 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 15.1)解：tanA=an(A+冬-)=年3X一司 3-11 4分 (2)证明：因为2 csin A=5 asin B,所以2ac=5ab,…6分 所以c-56. 2 …7分 由(1)知anA-号，所以osA=君 8分 由余弦定理a2=b2十c2-2 bc cos A,… …9分 得a2=6+56-26×56× 2=1b 11分 5 所以a2+62=寻2=2， 12分 所以C为直角，故△ABC为直角三角形. 13分 [备注] 【1】第(1)问还可以这样解答： 因为tan(A+买)=3，所以amA+ 1-tan A =3,… 3分 解得1mA-分 …4分 【2】第(2)问还可以这样解答： 因为2 csin A=√5 a sin B,所以2 sin Csin A=√5 sin Asin B,…6分 在△ABC中，sinA>0,所以2sinC=√5sinB.…7分 0自aA-号所以A后wA-看 …9分 所以2sinC=5sin(A+C)=√5(sin Acos C+cos Asin C)…l0分 =6(gosC+后nc)=osc+2anc…1n分 所以C0SC=0,…12分 则C-受，故△ABC为直角三角形.…13分 16.解：(1)由题意得A={x|(x十3)(x-2)<0}={x|-3<x<2},…2分 则A∩小N={0,1},…4分 所以A∩N的子集为必，{0}，{1}，{0,1}.…6分 (2)当B=时，m一3≥2，得≤-3.…8分 fm-3<2, 当B≠必时， 得3<m≤号或m≥5 2m≤-3或m-3≥2， 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 放m的取值范周为(-0，一]U[5,十o 15分 17解：1油图可得，宁1登音-普则1== 2π …1分 因为w>0,所以w=2,则f(x)=sin(2x十p). 2分 将点（受，1）的坐标代入解析式可得sim(2×登+p）一sm(管+)- ,…3分 则警+=受+2π，k∈Z.解得g=一号+2炎x,k∈ ，…4分 因为≤，所以9=-5 3 …5分 则f)=sin(2x-等)】 …6分 (2)令经+2k≤2x-子≤登+2x6EZ.解得管+长≤<受+kk∈Z. …9分 所以了(x)的单调递减区间为[登+灰x,受 元.1π+k元(k∈Z.…10分 (3)g(r)-sin(2x-)+sin 2r+sin(2x+) …11分 =[sin(2x-号)+sin(2x+号)]+sin2x=2sin2xcos号+sin2x=2sin2x,…13分 所以g(x)的值域为[-2,2]. …15分 18.解：(1)取BE的中点G,连接AG并延长交CD于点F,… 1分 因为AB=AE,所以AG⊥BE,依题意可得AF⊥CD,且F为线段CD的中 点. …2分 若AB=3,则BC=CD=BE=18-3X2=4. 3 所以AG=√AB2-BG7=5. …3分 依题意可得BC/DE/A下，则C-C京+F-C市+4+弦. …5分 (2若AB=则=CD-BE182-6->0, 3 …6分 由图可知，AB>BG,则x>2(6-),所以<x<9. …8分 故五边形AECDE的面积S=BC+号BE·AG=(6-)+(3-胃√2-(3-)》 =4(3-）'+(3-晋√合+2x-9(<x<9). …11分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 (3)令3-号=1∈(0，.号）则x=9-36,… …12分 则△ABE的面积为f(t)=t√(9-3t)2-t2=t√812-54t+81=√81-54t3+81t2.… …13分 设g(t)=81-54t3+81t2,则g'(t)=3213-162t2+162t=2t(16t2-81t+81), 当0<1<81-917 32 时，g>0.g)单调递指当1亚<号时gg)<0g) 32 单调递减，…15分 省81一91时，g)取得最大值，即)取得最大值， 32 所以当△ABE的面积取得最大值时，AB的长为9-34=9-3×81-9/7_45+27/7 32 32 …17分 18.1)i证明：/a)=a-3na-名-a=一3na- (>0).…1分 2 设g)=-3如x-2则g(x)=-3+2-2 2分 2 '(x)>0g(x)单调递增，当x>号时，g(x)<0,g(x) …3分 所以ga)m=g(号)=-3(n号+1)=-3n<0. 所以g(x)<0,故Ha∈(0，+o∞)，f(a)<0. …4分 (2解：由f)=0,得x-3hx是=a. 设h(x)=-3nx-2,则h'(x)=-1Dx22, …5分 当<<1或x>2时，()>0.(x)单调递增，当1<x<2时，M'(x)<0,A(x)单调 递减，… ................. 6分 所以h(x)在x=1处取得极大值，且极大值为一1，h(x)在x=2处取得极小值，且极小值为 1-3n2, …7分 h(）=-+6n2<1-3n2.当x十o时，h(x)-十o3,…8分 故a的取值范围是[-头+6h2.l-3h2U(-1,十o.9分 (3)证明：因为x1c2是了(x)的两个零点，所以x1一3nG-2=a,一3nx2- 2 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 则x+-3n+nxg)(层+号)-2a, 10分 则x1十x2=2a十3ln(x1x2)+ 2(x1+x2） ,……11分 x1x2 因为x1>0,x2>0,x1≠x2,所以x1十x2>2Wx1x2,…12分 所以+x9>2a+3h(x1x)+4 -=2a+3ln(x1x2)+ …13分 TIT2 /x1x2 设V/1t=1>0,g(4)=31n2+4=6ln+4 14分 则)-9--当0<号时gu<,当>号时.g0…15分 所以g(m-g(号）=6ln号+6=6h2-6ln3+6,…16分 所以x1+x2>2a+3ln(x1x2)+ =>2a+6ln2-6ln3+6, VII2 即x1十x2十6ln3>2a十6十6ln2.…17分 ▣▣ 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】