精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2020-2021学年上学期八年级期中数学试卷

松雷中学期中测试卷 八年级上数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图,在△ABC中,BC=12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（ ） A. 18 B. 12 C. 10 D. 8 6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（ ）． A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 9. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（　　）个 ①任何数的0次幂都等于1．②同底数幂相乘，底数不变，指数相加．③有一个角是60°的三角形是等边三角形．④到三角形三条边距离相等的点是三角形三条中线的交点．⑤到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. （﹣3×106）×（2×104）的值用科学记数法可表示为 ___． 12. 若是完全平方式，则k的值为_______． 13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝___． 14. 如图，在△ABC中．∠A＝30°，AB＝AC．△ABC的面积4，则AB长为 ___． 15. 化简：______． 16. 如图，在等边△ABC中，AB＝10，点D在AC上，且AD＝3，点E是AB上一动点，连结DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF．要使点F恰好落在BC上，则BF的长为 ___． 17. 已知．则的值为__________． 18. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，M、N是AB上的两个点，并且AC＝AN，BC＝BM，连接CM、CN，∠MCN＝___°． 19. △ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交于点D，若∠DBC＝60°，则∠BAC的度数是 ___． 20. 如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若四边形BDEC的面积为8，则DE的长为 ___． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）（x+2y）（3x﹣2y）． （2）（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）． 22. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1； （2）四边形AA1C1C的面积为 　 　． 23. 如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形． 24. 如图，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形． （1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积，并列出等量关系式； （2）请你用（1）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求m+n的值． 25. 某商场用22000元同时购进两种型号背包各400个，购进型号背包30个所用钱数比购进型号背包15个所用钱数多300元． （1）求两种型号背包的进货单价各为多少元？ （2）若商场把两种型号背包均按每个50元定价进行零售，同时为了扩大销售，拿出一部分背包按零售价的7折进行批发销售．若全部售完后，总获利不低于10500元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？ 26. 在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 27. 如图，在平面直角坐标系内，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），连接AB、AC，点D为x轴正半轴上一点，且S△ACD＝S△ABC． （1）求点D的坐标； （2）如图2，延长DC交AB于点E，AE＝AC，求点E的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在第三象限，连接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x轴于点K，求点K的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学期中测试卷 八年级上数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此得到答案． 【详解】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 点关于轴对称点的坐标为 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3. 如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵和关于直线l 对称， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的运算法则逐一计算即可得出答案． 【详解】解：A.，计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，计算错误，不符合题意； D. ，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 如图,在△ABC中,BC=12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（ ） A. 18 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，故AC=BE+CE，再根据BC=12，△BCE的周长为30即可得出结论． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D， ∴AE=BE，AC=BE+CE， ∵BC=12，△BCE的周长为30， ∴BC+（BE+CE）=30，即BE+CE=30-12=18， ∴AC=18． 故选A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解． 【详解】解：设两内角的度数为x、4x， 当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°； 当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°； 综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为20°或120°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质． 7. 如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（ ）． A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 9. 如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长和4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积可表示为：． ∵4个全等长方形的长和宽分别为a，b，中间小正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可表示为：， ∴用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为：． 故选D． 10. 下列说法正确的有（　　）个 ①任何数的0次幂都等于1．②同底数幂相乘，底数不变，指数相加．③有一个角是60°的三角形是等边三角形．④到三角形三条边距离相等的点是三角形三条中线的交点．⑤到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据零次幂的意义可以判断①，根据同底数幂的运算法则可以判断②，根据等边三角形的判定定理可以判断③，根据三角形的角平分线的性质可以判断④，根据垂直平分线的性质可以判断⑤ 【详解】①任何不等于0的数的0次幂都等于1，故①不正确； ②同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故②正确； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故③不正确； ④到三角形三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，故④不正确； ⑤到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故⑤正确． 故正确的是②⑤，共2个 故选B 【点睛】本题考查了零次幂，同底数幂相乘，等边三角形的判定，三角形的角平分线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. （﹣3×106）×（2×104）的值用科学记数法可表示为 ___． 【答案】-6×1010 【解析】 【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解 【详解】解：（﹣3×106）×（2×104） ＝（-3×2）×（106×104） ＝-6×1010 故答案为：-6×1010． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键． 12. 若是完全平方式，则k的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特征直接进行求解即可． 【详解】是完全平方式， k=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式是解题的关键． 13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝3，则BH＝___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长，同理可得的长，即可求得的长． 【详解】∠ACB＝90°，∠B＝30°， CH⊥AB 在中， ∠ACB＝90°∠B＝30°， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中．∠A＝30°，AB＝AC．△ABC的面积4，则AB长为 ___． 【答案】4 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后在中，利用所对的直角边是斜边的一半，得到CD和AC之间的关系，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，如下图： ∵CD⊥AB ∴ 在中，设（） ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 即:AB=4 故答案为：4 【点睛】本题考查直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，熟练利用数形结合思想解题是此类题的重点． 15. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用平方差公式逐一计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 16. 如图，在等边△ABC中，AB＝10，点D在AC上，且AD＝3，点E是AB上一动点，连结DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF．要使点F恰好落在BC上，则BF的长为 ___． 【答案】7 【解析】 【分析】证明△CDF≌△AED（ASA），推出AD＝CF，再由等边三角形性质即可求BF的长． 【详解】解：∵线段DE绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，要使点F恰好落在BC上， ∴ED＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠ADE+∠CDF＝120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝10，∠A＝∠C＝60°， ∴∠ADE+∠AED＝120°， ∴∠CDF＝∠AED， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴CF＝AD＝3， BF＝CB﹣CF＝10﹣3＝7． 故答案为：7 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 17. 已知．则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，已知代数式的值求式子的值．将所求表达式展开并化简得，利用已知条件进行代入计算。 【详解】解：∵， 则 ， 故答案为：1 18. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，M、N是AB上的两个点，并且AC＝AN，BC＝BM，连接CM、CN，∠MCN＝___°． 【答案】45 【解析】 【分析】设∠BMC＝x，∠ANC＝y．由BC＝BM，得出∠BCM＝∠BMC＝x，利用三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2x．同理得到∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y．根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠B＝90°，那么x+y＝135°，即∠BCM+∠ACN＝135°，进而求出∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝45°． 【详解】解：设∠BMC＝x，∠ANC＝y． ∵BC＝BM， ∴∠BCM＝∠BMC＝x，∠B＝180°﹣2x． ∵AC＝AN， ∴∠ACN＝∠ANC＝y，∠A＝180°﹣2y． ∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴180°﹣2y+180°﹣2x＝90°， ∴x+y＝135°， ∴∠BCM+∠ACN＝135°， ∴∠MCN＝∠BCM+∠ACN﹣∠ACB＝135°﹣90°＝45°． 故答案为45． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设∠BMC＝x，∠ANC＝y，得出x+y＝135°是解题的关键． 19. △ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交于点D，若∠DBC＝60°，则∠BAC的度数是 ___． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当是锐角三角形时，②当是钝角三角形时，③当是直角三角形时，设，根据已知条件和三角形的内角和定理列出方程，解方程求解即可． 【详解】解：设 ①如图，当在边上时， AB的垂直平分线与AC所在的直线相交于点D， ， 解得 即 ② AB的垂直平分线与AC所在的直线相交于点D， 即 解得 即 ③当是直角三角形时，如图， 此时的垂直平分线与平行，无交点，不符合题意，故此情况不存在 综上，或者20° 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键． 20. 如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若四边形BDEC的面积为8，则DE的长为 ___． 【答案】4 【解析】 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，DE与CF交于O点，先证明△ADE≌△ACF，再证明△DOF≌△COE，得到S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，根据△BFC为等腰直角三角形求出CF，故可求解． 【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，DE与CF交于O点 ∵DE⊥AC， ∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°， ∵∠A＝∠A，AD＝AC， ∴△ADE≌△ACF（AAS）， ∴AF=AE ∴DF=AD-AF=AC-AE=CE 即DF=CE ∵∠DOF=∠COE，∠DFO=∠CEO=90° ∴△DOF≌△COE ∴S△DOF=S△COE ∵四边形BDEC的面积为8， ∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8， ∵∠B＝45°， ∴△BFC为等腰直角三角形 ∴ ∴FC=BF＝4， ∴DE=CF=4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）（x+2y）（3x﹣2y）． （2）（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， ． 【点睛】本题考查了乘法公式、整式的乘法与加减法，熟练掌握公式和运算法则是解题关键． 22. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）． （1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1； （2）四边形AA1C1C的面积为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意找到点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）关于轴对称的点，，顺次连接，则即为所求； （2）根据网格的特点计算梯形AA1C1C的面积即可． 【详解】（1）如图，根据题意找到点A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）关于轴对称的点，，顺次连接，则即为所求； （2）四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 23. 如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形． 【答案】 （1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，如下图： ∵AD=AE，AF⊥BC， ∴DF=EF， ∵BD=CE， ∴BD+DF=EF+CE 即：BF=CF， 又∵AF⊥BC， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC 【解析】 【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据等腰三角形的三线合一，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，从而可证得AB=AC． （2）根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】（1） 略 （2）解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠BAC=108°， ∴∠B=∠C=（180°－108°）÷2=36°． 同理∠ADE=∠AED=72°， ∴∠BAD=∠ADE－∠B=72°－36°=36°， ∴∠B=∠BAD=36°， ∴△ABD是等腰三角形； 同理∠EAC=∠C=36°， ∴△AEC是等腰三角形； ∵∠BAD=36°，∠DAE=36°， ∴∠BAE=∠BEA=72°， ∴△ABE是等腰三角形； 同理∠CAD=∠CDA=72°， ∴△ADC是等腰三角形． 综上所述：除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质．能够掌握辅助线的作法，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 24. 如图，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形． （1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积，并列出等量关系式； （2）请你用（1）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求m+n的值． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】（1）方法一，观察图可知，大正方形的面积减去四个小长方形的面积即为阴影部分面积； 方法二，观察图可知，阴影部分为正方形，先就得正方形的边长，即可知道阴影部分面积；由两种方法表示相同阴影部分的面积，即可得到等量关系． （2）将相关数值代入第一问的等量关系，计算即可． 【详解】解：（1）方法一： ∵大正方形的面积为：，四个小长方形的面积和为： ∴中间阴影部分的面积为： 方法二： ∵观察可知：中间小正方形的边长为： ∴中间小正方形的面积为： ∴等量关系式为： （2）∵ ∴ ∴当时 ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查列代数式，以及代数式求值，完全平方公式的几何应用等知识点，能够利用数形结合思想解题是重点． 25. 某商场用22000元同时购进两种型号背包各400个，购进型号背包30个所用钱数比购进型号背包15个所用钱数多300元． （1）求两种型号背包的进货单价各为多少元？ （2）若商场把两种型号背包均按每个50元定价进行零售，同时为了扩大销售，拿出一部分背包按零售价的7折进行批发销售．若全部售完后，总获利不低于10500元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？ 【答案】（1）25元、30元 （2）500个 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号背包的进货单价各为x元、y元，根据用22000元同时购进A、B两种型号背包各400个，购进A型背包30个比购进B型背包15个多用300元，列方程组求解； （2）设商场用于批发的背包数量为a个，根据总获利不低于10500元，列不等式，求出最大整数解． 【小问1详解】 设两种型号背包的进货单价各为元、元， 由题意得：， 解得：， 答：两种型号背包的进货单价各为25元、30元． 【小问2详解】 设商场用于批发的背包数量为个， 由题意得，，解得： 答：商场用于批发的背包数量为500个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 26. 在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6 【解析】 【分析】（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，证明△CQD≌△CPB，即可得到答案； （2）延长ED，让MD=ED，△AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案； （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，通过证明△CFK≌△HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，求得FK=GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=，从求得到∠GCH=，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图： ∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD ∴CQ=CP 在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC= ∴∠QAP+∠PCQ= 又∵∠DAB+∠DCB＝180° ∴∠PCQ=∠DCB ∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB ∴∠QCD=∠PCB 又∵∠CQD=∠CPB= ∴△CQD≌△CPB（ASA） ∴CD=CB （2）延长ED，让MD=ED，如下图： ∵∠ADB＝90° ∴AD⊥ME 又∵MD=ED ∴AM=AE，ME=2DE 又∵AE=2DE ∴ME=AE=AM ∴△AME是等边三角形 ∴ 又∵∠ADE＝90° ∴ ∵AC平分∠DAB ∴ 又∵ ∴ （3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图： ∵在中， ∴∠HCB= 又∵折叠 ∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB= ∴∠HCF= ∴△CHF是等边三角形 ∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF 又∵在中，∠CGF=，∠GKF= ∴∠GFK= ∴∠CFH=∠GFK ∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL ∴∠CFK=∠HFL 又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF ∴△CFK≌△HFL ∴FK=FL 又∵在中，∠CGF= ∴FK=GF ∴FL=GF ∴GL=FL 又∵HL⊥GF ∴HG=HF ∴∠FGH=∠GFH 又∵∠CHF=，∠CHB= ∴∠FHB=∠CHB-∠CHF= ∴∠FGH= ∴∠CGH=∠CGF+∠FGH= 又∵∠CHG= ∴∠GCH= ∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形 又∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得： ∵CG＞0 ∴CG=6 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，含的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的勾股定理等知识点，能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题，是本题的重点． 27. 如图，在平面直角坐标系内，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），连接AB、AC，点D为x轴正半轴上一点，且S△ACD＝S△ABC． （1）求点D的坐标； （2）如图2，延长DC交AB于点E，AE＝AC，求点E的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在第三象限，连接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x轴于点K，求点K的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由点的坐标结合三角形面积公式可求得AD的长度，根据点D位置即可得到答案； （2）求出线段AB和线段CD所在的直线函数表达式，联立求解即可知道点E坐标； （3）先由条件结合图形可以得到是等腰直角三角形，然后过点P作PQ⊥x轴，证明，得到，求出点P的坐标，从而可以用待定系数法求得线段BP所在直线的函数表达式，令，即可求得K的坐标． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴ ∵，且D为x轴正半轴上一点 ∴ （2）设线段AB所在的直线函数表达式为： 将代入得： 解得： ∴线段AB所在的直线函数表达式为 设线段CD所在的直线函数表达式为： 将代入中，得 解得： ∴线段CD所在的直线函数表达式为 ∵延长DC交AB于点E ∴ 解得： ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即： ∵ ∴ ∴，是等腰直角三角形 过点P作PQ⊥x轴，如下图： ∵PQ⊥x轴 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设线段BP所在的直线函数表达式为： 将，代入得： 解得： ∴线段BP所在的直线函数表达式为 当时， 解得： ∴ 【点睛】本题考查一次函数解析式的求法，三角形全等的性质和证明，两条直线交点的求法等知识点，能够利用数形结合思想解题是本题的重点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $