2.1平方根（第2课时 平方根）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

2.1平方根（第2课时 平方根）教学设计 1.教学内容 本节课选自苏科版2024八年级上册第二章《实数的初步认识》第2.1节“平方根”第2课时，核心知识点包括平方根的定义与性质、算术平方根与平方根的区别与联系、求数的平方根及开平方与平方的互逆关系。通过典型例题与练习，帮助学生掌握正数的两个平方根互为相反数、0的平方根只有0、负数没有平方根等概念。 2.内容解析 本节课以“x²=a，时，x的取值”为主线，引导学生明确“有两个平方根的为正数、0的平方根是0、负数无平方根”的结论；进而区分“平方根”和“算术平方根”在定义、取值范围、表示方式等方面的差异。通过对典型例题（如求给定数的平方根、解含平方根的简单方程）进行示范与分析，培养学生对逆向思维和运算能力的掌握。 1.教学目标 •了解平方根的定义，会用根号表示一个数的平方根。 •了解平方与开平方是互逆的运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。 2.目标解析 •能准确理解“平方根”的概念，知道对非负数可以求平方根，且正数有±两种值。 •能在数轴或几何意义上理解算术平方根与平方根的区别，感知算术平方根是正数或零。 •能运用开平方与平方的互逆关系，解答简单方程并解决常见平方根问题。 3.重点难点 • 教学重点：掌握平方根的定义、正数的两个平方根互为相反数以及算术平方根的概念。 • 教学难点：区分“算术平方根”与“平方根”以及在运算中准确使用 ± 符号，避免丢解或错解。 学生在之前的学习中已初步接触过平方运算，了解完全平方数及简单的数形转换。对“平方与反向运算”有感性认识，但对正数、零、负数求平方根时的结论区分不够熟练，尤其在算术平方根与±号并存的情况下，易出现混淆或漏解。同时，部分学生对运算过程的严谨性尚有欠缺，需要在练习中加以巩固。 创设情境，问题引入 教师提问：若，则等于什么？ 学生回答：或。 由此自然过渡到“当时，会是几？有什么规律？”从而引出平方根定义。 探究点1：平方根的定义与基本性质 1.概念引入 根据上述问题，给出概念： 一般地，如果，那么叫作的平方根，也称为二次方根。 2.师生活动 o 教师展示：、等，引导学生快速判断值分别是、。 o 学生讨论：当时，平方根有几个？当时，是否存在平方根？ o 教师总结：时仅有一个平方根；负数无平方根。 性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；的平方根是；负数没有平方根。 【设计意图】通过方程的特征与具体数值例子，让学生直观感受“平方根有两个且互为相反数”的特征，突破“负数没有平方根”的认知障碍，培养学生的抽象概括能力。 探究点2：平方根与算术平方根的区别与联系 1.问题引入 o 教师提问：我们常说的“”表示什么？它和的平方根有什么联系？ o 引导学生对算术平方根的描述： “如果，那么，因此和都满足方程。但我们把其中非负的那个解称为的算术平方根，记为。” 总结：如果a为正数，那么a有两个平方根±，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是－． 2.关键知识点 o 正数的平方根有两个；其中是算术平方根，非负。 o 的平方根和算术平方根都是；负数没有平方根。 3.师生活动 教师组织学生讨论表格中的对比（平方根与算术平方根有什么区别与联系？），并要求学生尝试自我归纳。 【设计意图】通过表格和小组讨论，深入认识“平方根”与“算术平方根”。学生掌握区别与联系后，能更灵活地进行正负号的区分与运算。 探究点3：开平方与平方的互逆关系 1.新知导出 o教师提问：已知正数的两个平方根是，那么“开平方”与“平方”之间是什么关系？ o开平方与平方有下面的关系，如图所示. 得出：求一个数的平方根的运算叫作开平方（extraction of square root），它与平方运算互为逆运算。 2.重点说明 o只要是非负数，才能进行开平方运算；结果要注意有两种符号。 o在求解方程或解决几何问题时，“开平方”是常用手段之一。 3.讨论交流 (1) 如图(1)，将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上，据图比较与的大小． 解：如图，＞． (2)已知a＞b＞0，类似地，根据图2比较与的大小． 解：如图，＞． 正方形面积与边长的关系：面积越大，边长(即算术平方根)越大． 【设计意图】通过对比与几何直观演示，让学生清楚“开平方”与“平方”是一对逆运算，为后续灵活运用打下基础。 典例分析 例1 求下列各数的平方根：(1) 100； (2)625； (3) 0.0081； (4) 2 . 解：(1) ∵102＝100，∴100的平方根±＝±10； (2) ∵625，∴625的平方根±＝±25； (3) ∵0.092 0.0081，∴ 0.0081的平方根±＝±0.09； (4) 2的平方根是±. 例2 一个正数的两个平方根为2x－1与5x－13，求x的值和这个数. 解：根据题意得：(2x－1)＋(5x－13)＝0 2x－1＋5x－13 ＝0 2x＋5x＝1＋13 7x＝14 x＝2 ∵ 当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝4－1＝3，∴ 32＝9. 或 ∵ 当x＝－2时， 5x－13＝5×2－13＝10－13＝－3，∴ (－3)2＝9. 答：x的值为2，这个数为9. 1. 判断下列说法是否正确： ① 是 的平方根 (√ ) ② 的平方根是 (× ) ③ 只有正数有平方根 (× ) ④ 的平方根是 ( ×) ⑤ 的平方的平方根是 (× ) ⑥ 没有平方根 (× ) 2. 求下列各数的平方根：0.01，， 0，10， ． 解： ∵0.12＝0.01，∴0.01的平方根±＝±0.1； ∵，∴的平方根±＝±； 0的平方根是0； 10的平方根是±； ∵，∴的平方根±＝±． 3. 求下列各数的平方根：169，225，， 11，0.16，，1.44 ． 解： ∵132＝169，∴169的平方根±＝±13； ∵152＝225，∴225的平方根±＝±15； ∵，∴的平方根±＝±； 11的平方根是±； 4. 求下列各式中的 ：(1) x2＝49； (2) x2＝； (3) x2＝21； (4) 4x2＝81. 解：(1) x＝±， x＝±7； (2) x＝±， x＝±； (3) x＝±； (4) x2＝， x＝±， x＝±． 5.观察“平方”与“开平方”的关系，并完成对应的填空。 6.圆的面积扩大为原来的3倍，半径扩大为原来的多少倍? 解：设原半径为r，扩大后的半径为r'． 由圆的面积公式得：π(r')2＝3πr2， 化简得：(r')2＝3r2 ， 解得： r'＝r． 答：半径扩大为原来的倍． 【设计意图】本环节以多样化的典型练习为主，通过判断与求解等不同题型，帮助学生在练习中强化对平方根相关概念的理解，熟练掌握开平方与平方的互逆关系，提高解题的准确度与熟练度。 本节课围绕“平方根”展开，明确了以下核心知识点： 1. 平方根的概念与符号表示：若x² = a（a ≥ 0），则x为a的平方根，记作±√a，其中正根√a是算术平方根。 2. 平方与开平方互为逆运算：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。 3. 运用开平方求简单数值（如百以内完全平方数等）的平方根，并理解在具体问题中如何确定正根或负根。 1. 课题：2.1 平方根（第2课时） 平方根定义 两个平方根互为相反数 算术平方根与开平方 2. 典型示例 例1 例2 3. 规律总结 “正数有两个平方根，0的平方根是0，负数无平方根” 开平方与平方的互逆关系 1. 课本习题巩固：完成本节教材中的对应练习题。 2. 拓展探究：假设某数x的两个平方根分别为3x − 2 和2x − 5，求x的值及原数；并说明在列方程过程中如何处理正负根。 3. 预习思考：回顾平方、立方及其根之间的关系，思考它们是否有相似点，为下节课立方根内容做准备。 本节课学生对平方根的定义与算术平方根概念理解基本清晰，通过求具体数值的平方根练习，理解了“正数有两个平方根”的关键思想。但在列方程或应用中，部分学生对正负根的取舍仍有疑问，需要在练习中进一步强化。教学过程中，利用直观图形（如正方形、圆等）辅助理解“开平方与平方互为逆运算”，从感性认识过渡到理性思考，效果明显。后续在教学中，可以增设小组讨论环节，引导学生更多参与对未知数的建模与判断，增强合作学习与探究能力，让他们在应用情景中自主发现并纠正易错点。 学科网（北京）股份有限公司 $