精品解析：四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

安岳中学高2023级第三学期半期考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分； 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】写出点关于平面的对称点的坐标，再求的值． 【详解】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为， 所以． 故选：A． 2. 以下一些说法，其中正确的有（ ） A. 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B. 买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生. 【详解】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误； 对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误； 对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确； 对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误. 故选：C. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 4. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 5. 从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式，利用列举法，可得答案. 【详解】两名男生标记为，，两名女生标记为，. 从中随机选2名参加社会实践的事件有，，，，，，共计6种. 其中两名同学性别不同的事件有，，，，共计4种， 所求概率. 故选：D. 6. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点，  当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在四面体中，分别为的中点，且， 所以 . 故选：C 8. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 二、多选题（每小题6分，部分选按正确答案平均得分，多选或选错得0分，共18分） 9. 不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片恰有一张红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片都为绿色 【答案】ABD 【解析】 【分析】列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】解：6张卡片中一次取出张卡片的所有情况有： “2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”， 选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”， 其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥. 故选：ABD. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确； 【详解】对于A，当时，，，， 此时为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，则直线为，且经过第三象限， 但此时，故C错误； 对于D，因为，， 所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确； 故选：BD. 11. 已知曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. C关于原点对称 C. 的周长为 D. 直线与有个交点 【答案】ABC 【解析】 【分析】设点在曲线上，分别代入点与，可判断AB选项；分别确定曲线在各象限时的图形及其对应的曲线，可判断C选项与D选项. 【详解】 设点在曲线上，即， A选项：代入点，可知， 即点在曲线上恒成立，所以曲线关于轴对称，A选项正确； B选项：代入点，得， 即点在曲线上恒成立，所以曲线关于原点对称，B选项正确； C选项：当时，，当时，或，即 过，，三点， 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第四象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第二象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第三象限的部分； 曲线在第一象限部分的方程为设圆心为，与轴的两个交点为，，则， 所以第一象限内图形所表示弧长为， 又曲线关于轴及原点对称，所以曲线的周长为，C选项正确； D选项：直线，过点，在曲线右半部分的内部， 所以与曲线右半部分有个交点，且直线不过坐标原点， 又直线当时，， 即过点，在曲线左半部分的内部， 所以直线与曲线左半部分有个交点， 综上所述直线与曲线有个交点，D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解. 【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，， . 故答案为：1. 13. 已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 14. 某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解. 【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为： 甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元， 即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题， 又每位顾客答对2题的概率为， 每位顾客答对3题的概率为， 所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为： . 故答案为： 四、解答题（15题13分，16题和17题每题15分，18题和19题每题17分，共77分） 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16. 求满足下列条件的直线方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意，考虑截距相等包括均为0和相等且不为0两种情况分类求解； （2）先求得两直线的交点坐标，由题意，分别求与直线平行的直线方程和经过的中点的直线方程即可. 【小问1详解】 当直线过原点时，可得所求直线为，即，满足题意； 当直线不过原点时，依题意可设直线的方程为，其中， 代入，可得，解得， 所以所求直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意，联立方程组，解得，即得， 当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率， 故直线的方程，即； 当直线过点和的中点时，因为，，可得，则， 所以直线的方程，即， 综上，满足条件的直线方程为或. 17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. （1）求的值； （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可. （2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 解得. 【小问2详解】 比赛结束后，甲､乙个人得分可能为. 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， 相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且彼此互斥. 易得. ， 所以 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 18. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取BE的中点F，连接AF，， 因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE， 所以⊥平面ABED， 因为平面， 所以平面平面ABED； （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P的坐标， （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，，， 即，解得：， 故， 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时. 【小问3详解】 由（2）可得：， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知圆与圆内切． （1）求的值． （2）直线与圆交于两点，若，求的值； （3）过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若，求实数的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由圆O与圆E内切以及圆E半径和圆心O与圆E的位置关系可得，进而得解. （2）设，联立圆与直线方程求出和即可由数量积计算得解. （3）分直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况分类讨论，结合点到直线距离以及点斜式依次得和，接着分和结合对勾函数的单调性和值域即可求出时的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 由题意得，， 故圆心，圆E的半径为， 因为，故在圆E上， 所以圆O的半径，且，故. 【小问2详解】 由（1）知，联立， 设，则恒成立， 且， 所以， 所以，解得. 【小问3详解】 如图，因为直线和直线倾斜角互补， 所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在， 此时，， 当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补， 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即， 圆心O到直线的距离为， 故， 由直线方程得直线的方程为即， 同理得， 则， 当，， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，， 所以时，故， 所以， 当，， 由上知时，故， 所以. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2023级第三学期半期考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分； 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上都不对 2. 以下一些说法，其中正确的有（ ） A. 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B. 买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 4. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 二、多选题（每小题6分，部分选按正确答案平均得分，多选或选错得0分，共18分） 9. 不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片恰有一张红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片都为绿色 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知向量，，若，则为钝角 B. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 C. 若直线经过第三象限，则， D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 11. 已知曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. C关于原点对称 C. 的周长为 D. 直线与有个交点 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______. 13. 已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点________． 14. 某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______. 四、解答题（15题13分，16题和17题每题15分，18题和19题每题17分，共77分） 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 求满足下列条件的直线方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； （2）已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程. 17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. （1）求的值； （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 18. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知圆与圆内切． （1）求的值． （2）直线与圆交于两点，若，求的值； （3）过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $