湖南省邵阳市2025-2026学年高一上学期9月拔尖创新班联考数学试题

秘密★启用前 姓名 准考证号 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 上“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1. 若柴合4-行分子，B=113-10i,则4n8 A.1} B. 任} c{得 n{份是 2.已知命题p:3x>0,(x+1)e>1,则命题p的否定为 A.Hx≤0，(x+1)e≤1 B.Hx>0,(x+1)e≤1 C.3x>0,(x+1)e≤1 D.3x≤0，(x+1)e≤1 3.已知x,y均为实数，则“x+y≥8”是“x≥3或y≥5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.若a=log.3e,b=logn3,c=303,则 A.a>b>c B.b>a>c C.6>c>a D.c>6>a 5.函数f代x)=,的图象大致为 x2+2 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷（数学）第1页（共4页） 6若m(+君）了，则m20)的值为 A品 17 B.而 C.7 9 7.如图（一），在△ABC中，CD⊥AB于点D,AD=9,DB=3,CD=6,矩形EFGH的顶点E 与点A重合，EF=8,EH=4,将矩形EFGH沿AB平移，当点E G 与点B重合时，停止平移.设点E平移的距离为x,矩形EFGH 与△ABC重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象大致为 A.y B. A(E D B 图（一） 04912 04912 4 8.已知函数f(x)= +元，>0， g(x)=x2+ax+b,其中a,b均为实数.若方程g[f(x)]=0 log3(-x),x<0, 有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为 A.-972 B.-486 C.-324 D.-162 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法错误的是 A不学式(2-1)(1-)<0的解集为< B函数y=+2-的定义城为[-1,2)U(2,+x) C.若ER,则函数y=V+4+】的最小值为2 √/x2+4 D.当x∈R时，不等式x2-x+1>0恒成立，则实数k的取值范围是(0,4) 10.已知a>0,b>0,a+b=2.则下列说法正确的是 A.a2+b2的最小值为2 B.(+1)(2b+1)的最大值为49 C.ab的最小值为1 D.1的最小值为322 a+12b+2 8 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷（数学）第2页（共4页）》 [1-2x-3,1≤x≤2， 11.已知函数f(x)= 3行》，>2. 则下列说法正确的是 A若通数了)-怡有4个零点，则写 B。关于x的方程八)000有8个不同的实数解 C.当x∈[2，+∞)时，不等式f(x)-1≤0恒成立 D.函数(x)的图象与直线x=3,=10及x轴所固成图形的面积为 7 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f(x)与g(x)=a(a>0且a≠1)互为反函数，且g(x)的图象过点(-2,9)， 则f(1)+f(3)= B 13.如图（二），“水滴”是由线段AB,AC和圆的优弧BC所围成的封闭 图形，其中AB,AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2， A 点A到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积 为 图（二）G 14.已知定义在R上的奇函数f(x),对Vx∈R,总有f(x-2)=f(x+2)成立，当x∈(0,2)时， f(x)=2-1.函数g(x)=mx2+2x,若对Hx∈R,3t∈R,使得f(x)>g(t)成立，则满足 条件的实数m的取值范围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)化简与求值： (1)计算： ①8+）-(3-m)+(3x22）广；②og,27-0g4+lg25)-1og,8.bg5+7. (2)已知x>0,若x+x1=9,求下列各式的值： ①x2+r2;②x2+x】 16.（15分)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重 合，终边经过第三象限的点Pm,2少，且sma=-25,求下列各式的值 (1)m及tana; sin()+2sin (2 /3π cos+a-cos(T-a) 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷（数学）第3页（共4页） 17.(15分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合 (1)判断集合A={-3,-2,0,2,3},B={x1x=2k,k∈Z}是否为闭集合，并给出 证明； (2)若集合C,D为闭集合，则CUD是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合C,D为闭集合，且CR,DR,证明：(CUD)R, 18.(7分)已知定义在(-1，)上的函数x)满足：对，y∈(-1，)，都有x)(y)=), 且当x∈(0,1)时，f(x)<0. (1)判断函数f(x)的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：+1)+已)0， 19.(17分)已知函数fx)=x+“-4,g(x)=x-b,h(x)=x2+2bx,其中a,b均为实数. (1)当a=2时，求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）； (2)当a∈[3,4]时，函数f(x)在区间[1，m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值 范围 (3)若不等式h(x)-h(x2)<g(x)|-|g(x2)|对任意x1,x2∈[0,2](x1<x2)恒成立， 求b的取值范围 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考试题卷（数学）第4页（共4页）2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 D B C C A 7.C【解析】CD1AB于D,AD=9,DB=3,CD=6,m∠CD=CD2 CD -AD-3 tan /CBD=BD- =2, 且EF=8,EH=4. 故当0<x≤4时，重合部分为三角形，三角形的高h=xan∠CAD= 3x, 面积了弓h写，函载图象为开口向上的二次函量，故排降A选项， 1 当4Kr<9时，重合部分为直角梯形，上底长为(x-4)am∠CAD= 3(x-4), 下底长为xtan∠CAD=2x」 3t,高为4， 27,816 =3t3,函数图象为一条直线，故排除D选项； 当9≤x<12时，重合部分可以看作两个直角梯形， 医边直角梯形的上底长为(x-4)an∠CAD=号(x-4),高为4-(x-9)=13-x 两个梯形下底长均为CD=6, 右边直角梯形上底长为(12-x)tan∠CBD=2(12-x),高为x-9, 故y[号-4+6]x13-)*灯2x12)+0x(-9列=亭+婴39 +3-3, 图像为开口下的二次函数，且对称轴为x=10,故排除B选项；故选：C. 8.A【解析】令f(x)=t,则g(t)=t2+at+b=0, 根据f(x)的图象可知，要满足题意必须g(t)=0有两个不等实根1，t2(1<2), 且f代x)=4有两个整数根，f(x)=2有三个整数根， 结合图象，当y=4与y=x+相切时满足要求， y三x+在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增 故当=2时，y=x+4取得最小值，最小值为y=2+=4,故，=4， 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第1页（共6页） 又y=l0g(-x),x<0,其在定义域内单调递减，令log(-x)=4,解得x=-81, 故f(x)=t,=4时，有两个整数根，分别为2和-81，由图象可知，(x)=1的三个整数根中，必 有-个小子2，显然只有x=1满足要求，此时1)-1+4=5，故=5，令x+-5,解得 另一个根为4，又1og(-x)=5,解得x=-243,故五个整数根分别为-243，-81,1,2,4， 所以最大整数解和最小整数解之积为-243×4=-972.故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 0 10 11 答案 ACD ABD CD 1.CD【解析】当1≤≤时，)=2-2， 2<x≤2时，fx)=4-2x, 当1≤2时，即23时，)=）x号-2）-2，且3) 当5≤2时，即3<≤4时，)=5)=4-2x)=3(4-), 22 当2<行≤3时，即4<≤6时，x)= 分*货货2小.6 当34政，即68时，))写兮引》】 当46时，中8e≤12时)=分》制信，2) 当6c7≤8时，即12<≤16时，)=3）44)， 当8<≤12时，即16<≤24时，x)=35)=(怎-2，且24)= 依次类推，作出函数f八x)的大致图象， v=kx yhy 012346810 12 若函数y=f(x)-kx恰有5个零，点，即y=f(x)与y=x有5个交，点，此时直线y=x过点 (6,司》，所以g=6,k=:同理，若通数y=)-拾有3个零点，即y=)与 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第2页（共6页） y=有3个交点，此时直线y=过点3，》，所以写3站，k=)画数y=人)- 修有4个零点时)数A借； 由图知)=代x)与)1O0的交点个数是10，故B错； 由3=写6)=j6x2)=,112)-=16x2)=京f24)=/62)-, 3x2E3n≥1，n∈N 任意实数x[2,+0),不等式)-1≤0恒成立，等价于fx)≤恒成立， 由图知函数x)在x∈[2，+0)的每-个上顶点的纵坐标为f3x2)=（n≥l,n∈N), 33x3≤32，即/)≤恒成立，故C对： 03x2211 函数f(x)的图象与直线x=3,x=10及x轴所围成图形的面积为 x写2x写*2*210=6号5”D: 1 3 92 2 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1 12.-1 18.458 14.m≤3 14,m≤写【解析】由函数y=x)是奇函数得函数y=代x)的图象关于原，点对称， 由任意的x,总有f代x-2)=f(x+2)成立，即f(x+4)=f(x)恒成立， 于是得函数y=f(x)的周期是4，又当x∈(0,2)时，0<f(x)<3, 而f(x)是奇函数，当x∈(-2,0)时，-3<fx)<0, 又f(-2)=f(2),f-2)=-f(2),从而有f(-2)=f(2)=f(0)=0, 即x∈[-2,2]时，-3<f(x)<3,而函数y=f(x)的周期是4， 于是得函数y=f(x)在R上的值域是(-3,3)， 因为对任意x∈R,存在1∈R,使得f(x)>g(t)成立， 从而得不等式mx+2x≤-3在R上有解，当m≤0时，显然成立， m>0时，m2+2x+3≤0在R上有解，必有4=4-12m≥0，解得m≤号 则有0m≤3 综上得m≤3 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第3页（共6页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 解：(1)08+）-(3-m)+(3x2)月 =(2)+(3)-1+(3)°×(2)月 =22+32-1+32×23 =4+9-1+9×8 =84.…3分 ②og27-(lg4+lg25)-l0g8·log5+7 =log333-lg(4×25)-log52·log25+2 =3-lg102-3·l10g2·l0g25+2 =3-2-3+2 =0。…6分 (2)①(x+x1)2=x2+x2+2=81,所以x2+x2=79;… 9分 ②(x+x)=x+x+2=11,且2+x立>0， 所以x+x立= 13分 16.(15分) 解：(1)因为点P在第三象限，所以m<0, 由三角函数的定义可知sim&=-2 25 √m2+2 5,解得m=-L, …3分 -1 此时P(-1,-2),故cosa= √5 √(-1)2+(-2)2 5, 6分 25 得到tana= 5 =2,故m=-1,tana=2. 8分 5 5 sin d+2 (2)原式=-sina+2cosa-cosa 12分 sin a+cos a sin a -+1 cos a =-ana+2-2+2 tana+1-2+1 0. 15分 17.(15分) 解：(1)A不是闭集合，B是闭集合 …1分 因为3∈A,2∈A,3+2=5A,所以A不是闭集合； …2分 任取x,y∈B,设x=2m,y=2n,m,n∈Z,则xty=2m+2n=2(m+n)且m+n∈Z,所以 x+y∈B,同理，x-y∈B,故B为闭集合；… …4分 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第4页（共6页） (2)结论：不一定； 5分 不妨令C={xx=2k,k∈Z},D={xx=3k,k∈Z},则由(1)可知，C为闭集合，同理可 证D为闭集合，因为2,3∈CUD,2+3=5主CUD,因此，CUD不是闭集合，所以若集 合C,D为闭集合，则CUD不一定为闭集合；…8分 (3)不妨假设CUD=R,则由CR,可得存在a∈R且aEC,故a∈D.同理，存在b∈R 且b主D,故b∈C,因为a+b∈R,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集 合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a主C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D, 得b=(a+b)-a∈D,与b主D矛盾， 综上，CUD=R不成立，故(CUD)R. 15分 18.(17分) 解：（1)函数f(x)是奇函数，… …1分 证明：令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),解得f(0)=0, 令x(-山，1)，则∈(-1,1)，令y=,则)+-)=0)=0 f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数 3分 (2)函数f(x)在(-1,1)上单调递减， 4分 证明：Hx1,2e(-1,1),设-1<x,<x2<1,则-x2∈(-1,1)， )- 5分 x1-x20. -1<,<<1,1-x>0,小1= 1）1--1+x,)1, x-X20, 1-x1x2 1-xx2 >0,.-11- 当e-1,0时，0.0， fx1)+f-x2)>0,即fx)-fx2)>0,即fx1)f(x2), ∴.f八x)在(-1,1)上单调递减； 10分 (3)由+1))>0，得+1)>)) 12分 f(x)的定义域为(-1,1)且在(-1,1)上是单调递减的， [-1<x+1<1, 1 -1< -<1 x-1’解得-2<x<-√2， 16分 1 x+1< x-1 .不等式的解集为(-2，-√2). 17分 19.(17分) 解：(1)当a=2时，y=x)+g(x)=x+2-4+x-b=2(x+)-4-b, …1分 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第5页（共6页） 所以函数y=f代x)+g(x)的单调递增区间为(-0，-1)，(1，+∞)，单调递减区间为 (-1,0),(0,1);… …3分 (2)因为ae[3,4],且函数y=f(x)在[1，√a]上单调递减，在[√a,+∞)上单调递增， 又因为f(x)在[1，m]上的最大值为f(m),所以f(m)≥f1),…5分 即m+a-4≥1+a-4,整理可得m2-(a+1)m+a≥0， 所以(m-1)(m-a)≥0，所以m≥ax,即m≥4； …7分 (3)由不等式h(x1)-h(x2)<g(x1)-g(x2)对任意x1,x2∈[0,2](x,<x2)恒成立， 即h(x)-|g(x1)l<h(x2)-g(x2), 可令F(x)=h(x)-g(x)|,等价为F(x)在[0,2]上单调递增， …9分 而F=h(x)-g()=2+2s-x-bl=e+2b-1)x+6,≥6 x2+(2b+1)x-b,x<b …10分 分以下三种情况讨论： ①当6≤0时，F(x)=(2b-x+b,对称轴x12=6≤0，则6≥，无解 …12分 ②当0<b<2时，xe[0,b)时，F()=+(2b+1)x-6,=-2-1-号6<0，故y=F(x) 2 2 1 1 在[0，b)上单调递增；当x∈[b,2]时，F(x)=+(26-1)x+b,x=2-b≤b,则b≥4， 故6e2： … 14分 8当6≥2时，F(x)=x2+(26+1)x-b,x=2 -b<0,y=F(x)在[0,2]上单调递增； 16分 综上所述， [子 17分 注：解答题其它解法酌情给分 2025年9月邵阳市高一拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第6页（共6页）