湖南省邵阳市2025-2026学年高二上学期9月拔尖创新班联考数学试题

2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)》 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B C B B A D C D 7.C【解析】设Q(m,n),由于点P(1,3)关于直线y=kx的对称点Q在圆C上（显然m≠1）， k-0.“,两气和家垫好矿 2 又点Q在圆C上，有(m-4)2+n2=4,即m2+n2-8m+12=0.两式结合，得Q(2,0).设0 为坐标原点，不难知△OPQ为等边三角形，延长PQ与圆C交于点G,故∠CQG=∠OQP=60°， 又CQ=CG=2,故△CQG为正三角形，PG=PQ+QG=2+2=4.故选C. 8.D【解析】若x=1是其中一个根，则有t=e,但此时方程(e-tx)(x-tnx)=0不足三个根， 故有e=1=x(单独分析x=1的情况，是因为此处lnx作分母). Inx 通过求导与分新，不难作出了=（(>0)，y点()的大致图象（如下因）， y=3 e y= Inx y=l 不难知0<a1<cec,且g=g-点：1式)， a b Inb Inc a6即e6 由于eb 即1e品e,be(1,e,而y品在(1，e)上单减.故e=6(2式. 由于，即 着c,即后ncb>l,hc>l,而y=在(1，+x)上单调道增，故=lc(3式). 由1式)得：C-6整理并代入2)(3式，得=e1nb=ene°=ac,即选项D正确 b Inb 而a+c>2√ac=2b(基本不等式且不取等).综上所述，故选D. 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第1页（共7页） 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABC 10、BCD【解析】选项A:设直线：=+号，与抛物线C:产=2r(>0)联立， 整理得y2-2pty-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), y12三p2,x1心2=故选项A错误 选项B:结合题意及抛物线的定义，有|AF=|AM=2p, 故=2p-号-头代入抛物线C:y=2p,得=p, 则kr=±√5.故选项B正确. 这项C:当A-2时，有ABL轴，北时Sau了×x0-分放这项C正境 选项D:不妨设点A在第一象限，S=?·4W=+号)。 同理，S=7·BN=-2+号)，而S,=之()p, 结合选项A运算的联立，x,+x2=(y1+y2)+p=2p+p, 故4s,s=-[(2np)号(p)=pr+1. 而$号=4)p=4[(%+)2-4]p=p(+1),则S号=4S,.故选项D正确 11.ABC【解析】选项A:若2 acosA+ccosB+bcosC=0, Ep 2sinAcosA+sinCcosB+sinBcosC =0,2sinAcosA+sin(B+C)=0,2sinAcosA+sinA =0, 上π故选项A正确 选项B:根据题意，由于S△ABc=S△Bn+S△ACD, :2π1y 3-2 XcxADxsin 1 xi0xn子c=46+, 32 故1+11 6+。4 ,故选项B正确 选项C:若AD·AC=0,则∠BAD=T 6 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第2页（共7页）》 BD 4 在△ABD中，由正弦定理得： TsinB' 由于B∈o,, BD=2 则BD的长度 sin 6 的取值范围 故选项C正确。 3 选项D:若A而.B元=0，根据等面积法有)besin 21、 32 x40=7ax4. 8 即bc=a.由余弦定理得：b2+e2-a2=2 bccos1 3”,整理可有(b+e)2=u2+hc=a女8 √3 8 8 8 故b+c= a2+二a,△ABC的周长L= 公+atn.又因为(6+e)2=a+8≥4c=4x8a, √3 3 3 √3 8 解得a≥8√3，故△ABC的周长L= a2+二a+a≥16+83，周长的最小值为16+83.故 3 选项D错误， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.√3 3.-914.g 14.号【解析】因为每次授掷出，点敖为5的概率为p(0<p<1),则每次投掷出其他，点数的概 率为1-p,故P=p(1-p)(1-p)+(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p=3p(1-p)(1-p)= 2(11p)≤2+11-号元&本不等支》 3 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1)解：在ABC中，由(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB, 得(a-c)(a+c)=(a-b)b, 3分 整理得d2+6-e2=ab,故cosC=2 5分 又：Ce(0,m),G=四 6分 3 (2)由(1)知A+B= 2-B4 由于△BC是锐角三角形，则0<B<,0 T T T 3 ， <B< 6 由正弦定理得：a之。c,即a 2sinA sinB,c= …8分 sinA sinB T sinB sin- 3 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第3页（共7页） 又b=2,故△ABC的周长L=2sim1+/ 2匹-B)+W5 2sin -+2= cosB+sin+32 sinB sinB sinB =3xCOsB+1 2 cos2B 3=√3× +3. sinB BB 33=V3x1 B 2sin 2 cos. tan 2 …10分 -+1 TB T Cos、 故L∈ 3x1 +3,√3× +3 …12分 T T tan 4 sin 6 解得△ABC的周长的取值范围为（√3+3,2√3+6）. …13分 16.(15分) (1)证明：由题可知a41-1=3(an-1)+3”,…2分 两边同时除以3得：一1_。-11 —且工 31=3 …4分 故}是以为首项，为公差的等差数列 …6分 (2)解：由(1)易知an=n·3m-1+1,…7分 前n项和Sn=1·3°+2·3+3·32+…+(n-1)·3m-2+n·3m-1+n …9分 令Tn=1·3+2·3+3.32++(n-1)·3-2+n·3-1, 故3T。= 1·3+2·32+3·33++(n-1)·3m-1+n·3”, 两式相减得27-30-3-3-3-3…3”=13》n3》3+分 1-3 11分 则7-份3+ 14分 3=7n=传》3+n .............. 15分 17.(15分) (1)解：由题知x)=e --a(x+ea-1-2)+lnx,故f(1)=a-(a-1)ea-1.…1分 f(x)=e（a--a+-el-(a-故r)=（el-1)a-l)…3分 x2 x 则切线方程为y-a+(a-1)ea-'=(e-l-1)(a-1)(x-1), 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第4页（共7页） 即y=(e-1-1)(a-1)(x-2)+1, 显然有当x=2时，y=1.…。 6分 故其所过定点P为(2,1).… …7分 2)证明：易知适数)-2.41-e医 2,>0.…8分 又a>l,.er1->el-x.令H(x)=e1-x,得H(x)=el-l. 易得y=H'(x)在(0,1)上单调递减，(1，+0)上单调递增故H'(x)≥H'(1),H(1)=0. ·y=H(x)在(0，+∞)上单调递增，H(x)>。>0,故e->0. …10分 则当0<x<时，(x)<0,f(x)单调递减；当x>时，(x)>0,f代x)单调递增， 12分 要证士>2na,只需证a->2m,>1. 1 xo a 令h(a)=a。2a,a≥1，故h'(a)=1+2-a-) a2 a a2 ≥0， 则h(a)在[1，+∞)上单调递增，故h(a)≥h(1)=0. 又a>1,则a-一>2lna. 15分 18.(17分) (1)证明：由题意得AB⊥AC,△PAB≌△P,AB,∴.AB⊥AP. 2分 .AC,AP,C平面ACP,.AB⊥平面ACP 又.PCC平面ACP,.AB⊥PC 4分 (2)(i)证明：当AP,⊥AC时，分别以AB,AC,AP 12 P 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角 坐标系，故C(0,4,0),P(0,0,22), D(-2,4,0).… …5分 设CP,的中点为Q,易知△ACP,的外接圆的圆心恰为 x*B 点Q,而Rt△ABC的外接圆的圆心为BC的中点，分 别过两个圆心作对应平面的垂线，则交点为0，根据已知条件，得点O(1,2,√2)， …7分 故0元=(-1,2，-√2)，PD=(-2,4,-22),.PD=20元.又0，C,P,D四点不共线， .OC//P D. …9分 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第5页（共7页） (2)(iⅱ)解： tang 为定值 10分 tanB 如图，以点A为坐标原点，AB,AC所在直线为x轴， y轴，建立空间直角坐标系，且PA=22. B(2,0,0),E(0,2,0),C(0,4,0), P1(0,22cos0,22sin0),其中∠P1AC=0. A 易得平面PEA和平面P,CA的一个法向量r=(1,0,0). E 设平面P,BE的一个法向量m=(x1,y1,), C 有m·0令20，得m=20,20.-2o0 ……… 12分 设平面P,BC的一个法向量n=(x2,y2,2), (n·BC=0, 有n丽=0 =22sin0,得n=(22si0,2sin0,2-2cos0).…13分 故|cosa= r·m |√2sin0 3-2√2c0s0 -tan a= r m √2sin20-2√2cos0+3 2 sin20 2sin0 3-2√2cos0 而|cos|= r·n tan'B= rn√4sin26-22cos6+3 4 sin20 故 tang =√2 17分 tanB 19.(17分) (1)解：根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为+9 a261, 即x= a ,又右焦点对应的极线方程为x=4.∴. C 又：e=7d=8+忙，解得a=2,6=5,c=1. …3分 x2y2 .E的标准方程为：43=1 ...................................................................... 4分 (2)(1)证明：由(1)可知√-=1，即P(1,0),点P关于E所对应的极线方程为x=4, 设B(1,y),C(x2,2),M(x3,y3),直线BC:x=my+1, 代入椭圆方程整理得：(3m2+4)y2+6my-9=0, 由韦达定理得：y+y2= 6m 9 3m2+41=3m2+4 6分 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第6页（共7页） x1+x2=m(y1ty2)+2= 3m2+46=(my+1)(my,+1)=-12m2+4 8 …8分 3m2+4 Y A,B,M三点共线，k=k4,得7=2) B m瓜. 4yiy2 =9+42(xt,) =0 0 →x PM⊥PN.…10分 (2)(i)解：.：△OMQ∽△NAQ, 5∠M00=∠A0,∠M00+∠Na0=7 ∴.OM⊥AN. ………11 由P,0)关于B对应的段线为直线：=兰，设直线BG:x=心机， 代入椭圆方程整理得：(3n2+4)y2+6nty+32-12=0, 由韦达定理得：y,+y,=6, 32-12 3n2+4?y3= …12分 3n2+4 场=a万)230=，0，切-12w2 …… 13分 3n2+4 22.42 A,B,M三点共线，ku4=64,即为=1 _3y1(2-t) 4 x,-26y心.k0n42x,-2 t ,y(2-t)y2 同理kw=kC=22kmkw-L,2x-2)-21, …15分 即(2-)y1y2+2(x,-2)(x2-2)=0,.(2-t)y2+2[x1x2-2(x1+x2)+4]=0, 故(2-t) 3-12+2× 3n2+4 12+4-2x,8+4=0,(2-)(32-12)+8(-2)2=0, 3n2+43n2+4 即-3(1-2)(1+2)+8(1-2)2=0.又0<1<2，故1=3 17分 注：解答题其它解法酌情给分 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准（数学）第7页（共7页）秘密★启用前 姓名 准考证号 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡 上“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。 4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)》 1.已知复数z=4-3i,则复数(1+i)z的虚部为 A.1 B.7 C.i D.7i 2.设全集U=x∈Zx2+x-6≤0，集合A={x∈Zlnx≤1}，则心，A中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 3. 已知椭圆C:疗 -1(o>b0),过C的右焦点作x轴的垂线交C于A,B两点，1AB=b, 则C的离心率e为 B. 3 D. 3 4.将函数y=3sin(+石）(o>0)的图象向左平移牙后得到函数y=g()的图象，若y=g() 的图象关于直线x=霄对称，则如的最小值为 c D.4 5.在△ABC中，已知AB=(1,√3)，BC=(2,-23),则△ABC的面积为 A.23 B.4 C.33 D.43 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=1,S。=17,则S2的值为 A.81 B.145 C.256 D.273 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第1页（共4页） 7.已知圆C:(x-4)2+y2=4,点P(1,5)关于直线y=x(k∈R)的对称点Q在圆C上，直 线PQ与圆C的另一个交点为G,则|PG为 A.2 B.2W2 C.4 D.2√5+2 8.若关于x的方程(e-tx)(x-tnx)=0恰有三个不同的实根a,b,c(a<b<c),则 A.a+c<2b B.a+c=2b C.ac>b2 D.ac=b2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在正三棱柱ABC-AB,C,中，2AB=AA=2,M是BC的中点，N是线段CC,上的动点，则 A.AM⊥CC1 B.正三棱柱ABC-A,BC,的体积为5 C.若AB,⊥MW,则CW= 8 D.直线MN与AB,是异面直线 10.设抛物线C:y2=2px(P>0)的焦点为F,O为坐标原点，过点F的直线交C于A,B两 点，过点A,B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M,N,连接MF,NF,则 A若4，B两点的纵坐标分别为2，则三 B.若|AF|=2p,则直线AF的斜率kF=±√3 C若B=-2,则△01B的西积为号 D.记△AMF,△MFN,△BNF的面积分别为S1,S2,S3,则S号=4S,S3 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 acosA+ccosB+bcosC=0,点D在线 段BC上，且AD=4,则 2T A.角A的大小为 3 B.若AD为∠BAC的角平分线，则+L=1 C若A·A花0.则线段D的长度的取值范周为，，+⊙ D.若AD·BC=0,则△ABC的周长的最大值为16+83 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12尼知aeo,》,wa=2s设，则am 13.若函数f(x)=(lx)2+nx2+x3在点(2，f(2),(4,f(4)处的切线互相平行，则a= 14.抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为p(0<p<1).若连续抛掷这枚骰 子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的 最大值为 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB. (1)求C; (2)若b=2,求△ABC的周长的取值范围. 16.（15分)设数列{an}满足a1=2,an+1=3an+3”-2(n∈N°). (1)证明： 侣}为等老数别 (2)求数列{an}的前n项和Sn 17.(15分)已知函数-a(6-2)+h,其中a,b均为实数 (1)若b=e-,f(x)在点(1，f(1))处的切线过定点P,求P的坐标； (2)若>1，b=0,x)在x=0处取得最小值，证明：11 >2Ina. xo a 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第3页（共4页） 18.(17分)如图（一），在△PBC中，BA⊥PC于点A,2AP=2AB=AC=4,四边形ABCD是 平行四边形.将△PAB沿AB折起至△PAB的位置，如图（二）所示，连接P,C,PD. (1)证明：P,C⊥AB; (2)E是AC的中点，连接P,E,BE,记二面角B-P,E-A为a,二面角B-P,C-A为B. (1)设三棱锥P,-ABC的外接球球心为O,证明：当AP,⊥AC时，OCPD; tana (ii) 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 tanB D P >D B B 图（一） 图（二） 19（(7分)已知裤国：三号1(。b>0)的右顶点为A,商心率=方定义：点（，0 关于6所对应的极线方程为+山，右焦点关于6所对应的极线方程为山 (1)求E的标准方程： (2)设点P(t,0)(0<1<a)关于E所对应的极线为直线l,1与x轴交于点Q,过点P作直线 (不与x轴重合)交E于B,C两点，直线AB,AC与I分别交于点M,N,如图（三）. (i)连接PM,PN,证明：当t=√a-b时，PM⊥PW; (iⅱ)连接OM,试问：当t取何值时，△OMQ∽△NAQ. B P M 图（三） 2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷（数学）第4页（共4页）