精品解析：四川省泸州市合江县2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题

合江县2020年秋期义务教育阶段学生学业水平检测九年级数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 2. 下列说法正确的是（ ） A. 打开电视机，正在播放“中央新闻”，是必然事件 B. 某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票一定有1张中奖 C. 从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 3. 关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 以上都不对 4. 下列对于抛物线的描述错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于 D. 顶点是 5. 三角形的外心是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 6. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 7. 如图，，，是上的三个点，，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 113° D. 120° 8. 已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ） A. B. C. D. 9. 为执行“两免一补”政策，某地区2018年投入教育经费3600万元，2020年投入4900万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，以下说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每题3分共12分） 13. 在一个不透明的袋子中装有4个白球和2个红球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是___． 14. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后新的抛物线的顶点坐标是___． 15. 若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的周长为___． 16. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于4，则k的值为___． 三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 在矩形中，E是上一点，F是上一点，连接，过点F作，垂足为G，求证：． 四、解答题（本大题共2小题，每题7分，共14分） 20. 为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： （1）根据图中的信息求的值，并补全频数分布直方图； （2）若该汽车公司有1000辆该型号汽车，试估计耗油1L所行驶的路程低于的该型号汽车的辆数； （3）从被抽取的耗油所行驶路程在，这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率． 21. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）画出关于原点的中心对称图形； （3）画出绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形，直接写出的坐标 ． 五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A的坐标为． （1）求m的值和一次函数的解析式； （2）求的面积． 23. 某施工队要在相距10千米的A、B两地修一条笔直的公路，但在A地北偏东方向、B地北偏西方向的C处，有一个半径为3千米的大型集中村，问修建公路时，这个集中村是否有居民需要搬迁？（参考数据：） 六、解答题（本大题共2小题，每题12分共24分） 24. 如图，是的直径，是切线，切点是A，是弦，连接、，交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，，求证：； （3）若，求的值． 25. 如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，其中两点的坐标分别为和 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，作于点E，过点E作轴于点F，当最大时，求点P的坐标； （3）如图2，点M是抛物线对称轴上位于x轴上方的一动点，点N是第二象限内该二次函数图像上的动点，且位于抛物线对称轴左侧．若以点N为直角顶点的与相似，直接写出符合条件的点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2020年秋期义务教育阶段学生学业水平检测九年级数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四幅图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，多边形的性质，掌握相关定义是解题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 打开电视机，正在播放“中央新闻”，是必然事件 B. 某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票一定有1张中奖 C. 从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A. 打开电视机，正在播放“中央新闻”，是随机事件，故选项错误，不符合题意； B. 某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，故选项错误，不符合题意； C. 从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故选项正确，符合题意； D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选：C 3. 关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 4. 下列对于抛物线的描述错误的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于 D. 顶点是 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式，有的值可以知道开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标及对称轴，由的值可以知道与y轴的交点坐标. 【详解】解： ， 开口向下，故A对； 由上式可知对称轴为：，故B对; , 与y轴的交点为，故C对； 由解析式配方可知：顶点坐标为：； 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的概念和性质，对于的系数代表意义要搞明白，以及顶点坐标的求法要灵活配方. 5. 三角形的外心是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定和三角形外心的定义即可求解． 【详解】解：如图，点O是的外心， ∴， ∴点O在线段、、的垂直平分线上， ∴三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义、线段垂直平分线的判定，熟练掌握三角形外心的定义是解题的关键． 6. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可判断，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 7. 如图，，，是上的三个点，，，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 113° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】据圆周角定理求出∠AOB，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得，∠AOB=2∠BCA=50°， ∴∠BOC=∠AOC+∠BOA=113°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 8. 已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质进行判断． 【详解】解：∵，电压为定值， ∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图像，掌握图像性质是解题关键． 9. 为执行“两免一补”政策，某地区2018年投入教育经费3600万元，2020年投入4900万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，再根据“2020年投入4900万元”可得出方程． 【详解】解：2019年投入为，2020年投入为， ∴可列方程为：； 故选：A． 10. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 11. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，可得．再根据点C是AB的中点求出点C的坐标． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴圆心C的坐标为，即圆心C的坐标为 故选：A． 12. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，以下说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中说法正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向可判断a的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断c的正负，根据抛物线的对称轴并结合a可判断b的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴，时，，当时，y的正负，进一步即可判断②③；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①知：， ∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴当时，，故②错误； 当时，，把代入，得，故③正确； ∵二次函数图象的对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点是， 由题意知当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴，故④正确． 综上，说法正确的是：①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分共12分） 13. 在一个不透明的袋子中装有4个白球和2个红球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的求法，根据概率的求法，①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；根据概率公式求得其发生的概率即可． 【详解】解：袋子中球的总数为：， ∴摸到红球的概率为：． 故答案为． 14. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后新的抛物线的顶点坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方以及二次函数的平移，需要熟悉“左加右减上加下减”． 先对抛物线的表达式进行配方，配成顶点式，然后根据“左加右减上加下减” 进行平移，最后得出新的表达式即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 根据左加右减上加下减的平移特性， 平移后为：， 顶点为：， 故答案为：． 15. 若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的周长为___． 【答案】24 【解析】 【分析】本题重点考查的是一元二次方程根与系数的关系，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 设矩形的长宽分别为x、y，根据一元二次方程的根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设矩形的长宽分别为x、y， ∵矩形的长和宽是方程的两根， ∴根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ， ∴矩形周长为． 故答案为：24． 16. 如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积等于4，则k的值为___． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．作于E，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作于E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识．根据零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值、有理数的乘方进行计算，再进行加减法即可． 【详解】解： 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】， 移项得，， ， 或， 解得，． 19. 在矩形中，E是上一点，F是上一点，连接，过点F作，垂足为G，求证：． 【答案】 证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】考查了矩形的性质及相似三角形判定与性质，解题关键是灵活运用知识进行求解，证明即可证明结论． 【详解】略 四、解答题（本大题共2小题，每题7分，共14分） 20. 为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了辆该型号汽车耗油1L所行驶的路程作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： （1）根据图中的信息求的值，并补全频数分布直方图； （2）若该汽车公司有1000辆该型号汽车，试估计耗油1L所行驶的路程低于的该型号汽车的辆数； （3）从被抽取的耗油所行驶路程在，这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率． 【答案】（1）40，见解析 （2）650辆 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图以及列举法求概率的运用， （1）根据D所占的百分比以及频数，即可得到m的值； （2）根据A，B所占的百分比之和乘上该汽车公司有1000辆该型号汽车的总数，即可得到结果． （3）设行使路程在范围内的2辆车记为A、B，行使路程在范围内的2辆车记为C、D，利用列举法即可求出抽取的2辆汽车来自同一范围的概率． 【小问1详解】 解：，即， B组的车辆为：（辆）， 补全频数分布直方图如图： 【小问2详解】 （辆）； 【小问3详解】 设行驶路程在范围内的2辆车记为A、B，行驶路程在范围内的2辆车记为C、D，画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个， ∴抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为． 21. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）画出关于原点的中心对称图形； （3）画出绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形，直接写出的坐标 ． 【答案】（1） 所作如图所示； （2）所作如图所示； （3）所作如图所示；． 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于y轴对称的对应点，然后问题可求解； （2）分别得出点A、B、C关于原点对称的对应点，然后问题可求解； （3）根据旋转的性质进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A的坐标为． （1）求m的值和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形的面积，难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用. （1）由点A在反比例函数图像上，求出m的值得到点A坐标，代入一次函数解析式即可； （2）联立两个函数的解析式，即可求得点B的坐标，然后由求得答案. 【小问1详解】 解：∵点A在反比例函数上， ∴，解得， ∴A点坐标， ∵点A在一次函数上， ∴，解得， ∴该一次函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线与x轴交于点C， 令，解得， ∴一次函数与x轴的交点坐标C， ∵， 解得或， ∴， ∴， 23. 某施工队要在相距10千米的A、B两地修一条笔直的公路，但在A地北偏东方向、B地北偏西方向的C处，有一个半径为3千米的大型集中村，问修建公路时，这个集中村是否有居民需要搬迁？（参考数据：） 【答案】不需要搬迁 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．设，则，在中：，即，解得，计算后比较即可得到结论． 【详解】解：由题可知，过点C作于点D； 设，则， 在中：，即 解得 ∵ ∴集中村的居民不需要搬迁 六、解答题（本大题共2小题，每题12分共24分） 24. 如图，是的直径，是切线，切点是A，是弦，连接、，交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）连接，，求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别连接，，则，即可判定，有，结合切线的性质得，即可判定． （2）连接，设交于点F，根据直径所对的圆周角为直角得，由切线得垂直平分和平分，有，即可判定平行； （3）由平行线得，则有和，由等角对等边得，设，则，进一步证明，得，解得，结合得即可． 【小问1详解】 证明：分别连接，，如图， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 证明：连接，设交于点F，如图， ∵是的直径， ∴． ∵，是的切线， , 又， ∴垂直平分，平分， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∵，， ∴， 得， 即，解得（取正值） ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，涉及全等三角形的判定和性质、切线的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质． 25. 如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，其中两点的坐标分别为和． （1）求该抛物线的解析式； （2）P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，作于点E，过点E作轴于点F，当最大时，求点P的坐标； （3）如图2，点M是抛物线对称轴上位于x轴上方的一动点，点N是第二象限内该二次函数图像上的动点，且位于抛物线对称轴左侧．若以点N为直角顶点的与相似，直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】已知抛物线过和两点，将两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求出b和c的值，从而得到抛物线解析式. 【小问1详解】 解：两点的坐标分别为和，且都在抛物线的图像上 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 ∵抛物线与x轴交于点两点，对称轴为直线，B点的坐标为． ∴ 设直线的解析式为 解得 ∴直线的解析式为： 设，则 延长交于点G， ， 是等腰直角三角形 ∴当时，最大为 此时 【小问3详解】 由题意可得： 抛物线对称轴为，设， 已知，分两种相似情况： ①当时，，解得： ②当时，，解得： 【点睛】解决相似三角形与二次函数结合的问题，需要先确定相似的情况，再利用相似三角形的性质，结合坐标与图形的性质，通过建立方程求解点的坐标，体现了分类讨论思想和方程思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $