14.2 三角形全等的判定 强化训练 -2026—2027学年人教版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 一、单选题 1．小强在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中， 回顾了作图的过程，他发现△O'C'D'≌△OCD， 得到全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是（　　） A．HL B．SSS C．SAS D．ASA 4．如图，，则（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是（　　） A．OA＝OB B．E是AC的中点 C．△AOE≌△BOD D．AE＝BD 6．如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．如图，已知 的顶点A、C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　） A．BC+AD＝CD B．E为CD中点 C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD 二、填空题 9．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=　 　 10．如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 　 　． 11．如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是　 　．（只需写一个，不添加辅助线） 12．如图，延长，在的延长线上截取，延长，在的延长线上截取，则这两个三角形全等的依据是（写出全等依据的简写）． 13．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AD=5，AC=8，则AB的取值范围是　 　． 14．如图，B、C、E共线AB⊥BE，DE⊥BE，AC⊥DC，AC=DC，又AB=2cm，DE=1cm，则BE=　 　。 15．已知：如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有　 　对全等三角形． 16．如图，∠B=∠E=90°，AB=a，DE=b，AC=CD，∠D=60°，∠A=30°，则BE=　 　. 17．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（2，2）处，两直角边分别与坐标轴交于点A、B，则OA+OB的值为　 　． 18．如右图，在和中，，，．过A作于点G，的延长线与交于点F，连接． （1）若，，则　 　； （2）若，，则四边形的面积为　 　． 19． 如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，若点C 的坐标为（-1，0），点 A 的坐标为（-4，2），则点 B 的坐标为　 　. 20．等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、AB上两点，连结BD、CE，BD=CE，且BC>BD，∠A=48°，∠BCE=36°，则∠ADB的度数等于　 　。 21．如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则　 　． 22．如图，在边长为1的菱形ABCD中， ，将 沿射线BD的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为　 　. 三、解答题 23．如图，已知，和相等吗？请说明理由． 24．如图，在和中，B，E，C，F在同一直线上，下面给出四个论断： （1）； （2）； （3）； （4）. 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明. 25．如图，在中，、分别是、边上的高线，若、为角平分线，且，求的长． 26．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，图中AE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论． 27．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等. 28．已知：线段a，∠α． 求作：△ABC，使AB=BC=a，∠B=∠α． 29．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E。 （1）求∠BCD的度数 （2）求证：CD=2BE （3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系。 30．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F. （1）求∠EFD的度数； （2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论． 31．五边形ABCDE的对角线AC、AD分别平分和，若，试证明：. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：在△OCD与△O'C'D'中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）． 故答案为：A． 【分析】根据作图痕迹可得得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，再利用SSS的判定定理可以得到三角形全等，从而求解． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：如图： ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°， 在△ACB和△ACD中， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）. 故答案为：B. 【分析】根据SAS可证△ACB≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等，可得AB＝AD. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，CM=CN，又OM=ON，OC为公共边， ∴△COM≌△CON， ∴∠AOC=∠BOC， 即OC即是∠AOB的平分线． 故选B． 【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴，即， ∵， ∴ ∴. 故答案为：B. 【分析】易得，可证明，根据全等三角形的性质，即可得解. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠C=∠C=90°， ∴△ACD和△BCE是直角三角形， 在Rt△ACD和Rt△BCE中 ， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）， ∴∠B=∠A，CB=CA， ∵CD=CE， ∴AE=BD，故D符合题意， 在△AOE和△BOD中 ， ∴△AOE≌△BOD（AAS），故C符合题意， ∴AO=OB，故A符合题意， AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，故B不符合题意， 故答案为：B． 【分析】根据题意和全等三角形的判定及性质，可以判断各个选项中的结论是否成立. 6．【答案】A 7．【答案】B 【解析】【解答】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示： 直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E， 根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4， 四边形ABCD是平行四边形， ∴OA∥BC，OA＝BC， ∴∠AOD＝∠CBE， 在△AOD和△CBE中， ， ∴△AOD≌△CBE（AAS）， ∴OD＝BE＝1， ∴OB＝OE＋BE＝5， 故答案为5. 【分析】先求出∠AOD＝∠CBE，再求出△AOD≌△CBE，最后计算求解即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：延长BE，AD交于点F， ∵AD∥BC， ∴∠CBA+∠BAD＝180°， ∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA， ∴∠BAE＝ ∠BAD，∠ABE＝ ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠AEB＝90°， 故选项C不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ABF＝∠F，∠C＝∠D， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（AAS）， ∴BE＝EF， ∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠FED， ∴△BCE≌△FDE（AAS）， ∴CE＝DE， ∴E为CD中点， 故选项B不符合题意； ∵△BCE≌△FDE， ∴S△ABF＝S四边形ABCD， ∵E为CD中点， ∴S△ABE＝ S△ABF， ∴S△ABE＝ S四边形ABCD， 故选项D不符合题意； ∵△ABE≌△AFE（AAS），△BCE≌△FDE（AAS）， ∴AB＝AF，BC＝DF， ∵AF＝AD+DF＝AD+BC， ∴AB＝AD+BC， ∵AB与CD不一定相等， ∴BC+AD＝CD不一定成立； 故选项A符合题意． 故答案为：A． 【分析】C、先根据二直线平行，同旁内角互补，得∠CBA＋∠BAD＝180°，再根据角平分线的定义得∠BAE＋∠ABE＝90°，从而根据三角形的内角和定理得∠AEB＝90°，据此判断C选项； B、延长BE，AD交于点F，先用AAS证明△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得BE＝EF，再用AAS证明△BCE≌△FDE，根据全等三角形的性质得CE＝DE，即E为CD中点，据此判断B； D、根据△BCE≌△FDE，得S△ABF＝S四边形ABCD，再根据E为CD中点，得S△ABE＝S△ABF，最后得S△ABE＝S四边形ABCD，据此判断D； A、由△ABE≌△AFE，△BCE≌△FDE，得AB＝AF，BC＝DF，再根据AF＝AD＋DF＝AD＋BC，得AB＝AD＋BC，因此BC＋AD＝CD不一定成立，据此判断A． 9．【答案】6. 10．【答案】 11．【答案】（答案不唯一） 12．【答案】 13．【答案】2＜AB＜18 【解析】【解答】延长AD至E使DE=AD，连接CE， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC， ∴AB=CE， ∵AC=8，AE=2AD=10， ∴AE-AC=2＜CE＜AC+AE=18， ∴2＜AB＜18． 【分析】延长AD至E使DE=AD，连接CE，可证明△ADB≌△EDC，则可得AB=CE，在△ACE中，AC=8，AE=5×2=10，根据三角形三边关系即可求得EC的范围. 14．【答案】3cm 【解析】【解答】 在在 和 中 故答案为： 【分析】先利用“一线三等角”再加一组边相等证出三角形全等，再利用三角形全等的性质：对应边相等即可。 15．【答案】3 【解析】【解答】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB， ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 【分析】首先利用SSS判断出△ADB≌△ACB；根据全等三角形对应角相等得出∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，再利用SAS判断出△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． 16．【答案】a+b 【解析】【解答】解：∵∠E=90°，∠D=60°， ∴∠DCE=90°-60°=30°=∠A， 在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°，∠A=∠DCE，AC=CD， ∴△ABC≌△CED（AAS） ∴BC=DE=b，CE=AB=a， ∴BE=BC+CE=a+b. 故答案为：a+b 【分析】根据三角形的内角和得出∠DCE=30º=∠A，然后利用AAS判断出△ABC≌△CED，根据全等三角形的对应边相等得出BC=DE=b，CE=AB=a，根据线段的和差即可得出答案。 17．【答案】4 【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则四边形PNOM是正方形， ∴PN=PM=ON=OM=2，∠NPM=∠APB=90°， ∴∠NPB=∠MPA 在△PNB和△PMA中， ， ∴△PAM≌△PBN， 则AM=BN，OM=ON， ∴OA+OB=OM+ON=4． 故答案为4． 【分析】作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，求出∠PAM=∠PBN，证△PAM≌△PBN，推出AM=BN，OM=ON即可． 18．【答案】14；33 19．【答案】（1，3）或（−3，−3） 【解析】【解答】解：如图1， 当点B在第一象限时，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°， ∴∠EAC＋∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°， ∴∠EAC＝∠BCF， 在△AEC和△CFB中， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴AE＝CF，EC＝BF， ∵A（−4，2），C（−1，0）， ∴AE＝2，OE＝4，OC＝1， ∴BF＝EC＝4−1＝3，CF＝AE＝2， ∴OF＝CF−OC＝2−1＝1， ∴B（1，3）． 同理，如图2，当点B在第三象限时，此时点B'（−3，−3）， 故答案为：（1，3）或（−3，−3）． 【分析】分两种情况：①当点B在第一象限时，②当点B在第三象限时，利用三角形全等的判定与性质求解即可得． 20．【答案】102°或78° 【解析】【解答】解：作BG⊥AC于点G，作CH⊥AB于点H，如图： ∴∠BHC=∠EHC=∠CGB=∠DGB=90°， ∵AB=AC， ∠A=48°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=66°， 在△BCH和△CBG中， ∵， ∴△BCH≌△CBG（AAS）， ∴CH=BG， 在Rt△BDG和Rt△CEH中， ∵， ∴Rt△BDG≌Rt△CEH（HL）， ∴∠BDG=∠CEH， ∴∠ADB=∠AEC， ∵∠AEC=∠ABC+∠BCE=66°+36°=102°， ∴∠ADB=102°. 将BD沿BG作轴对称变换得BD'=BD， 则∠AD'B=∠BDC=180°-102°=78°. 故答案为：102°或78°. 【分析】作BG⊥AC于点G，作CH⊥AB于点H，由垂直定义得：∠BHC=∠EHC=∠CGB=∠DGB=90°，根据等腰三角形性质得∠ABC=∠ACB=66°，根据全等三角形判定AAS得△BCH≌△CBG，由全等三角形性质得CH=BG，再由全等三角形HL得Rt△BDG≌Rt△CEH，根据全等三角形性质得∠BDG=∠CEH，根据邻补角得∠ADB=∠AEC，由三角形外角性质即可求得答案.将BD沿BG作轴对称变换得BD'=BD，则∠AD'B=∠BDC=180°-102°=78°，即可得出结果. 21．【答案】12 【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G， ∵BD⊥AB， ∴∠ABC+∠DBG=90°， ∵∠BDG+∠DBG=90°， ∴∠ABC=∠BDG， 在△ABC和△BDG中， ， ∴△ABC≌△BDG（AAS) ∴AC=BG 在△ECF和△EGD中， ， ∴△ECF≌△EGD（AAS) ∴EG=CE=BC=3， ∴AC=BG=BC+CE+EG=6+3+3=12. 故答案为：12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，能够过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G构成全等三角形是解题的关键；利用AAS证明出△ABC≌△BDG和△ECF≌△EGD，然后利用对应边相等求出AC. 22．【答案】 【解析】【解答】解：如图，过点C作直线 ，以直线l为对称轴作点 的对称点E，连接CE， ，AC， 设AC与BD交于点O， 与直线l交于点F，则 ， ， ， 由 ， ， 易得 ， ， ， 由平移的性质可知 ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 在 中，由三角形的三边关系可得 ， 当点 ，C，E共线时， ，即 的最小值是 ， 故答案为： . 【分析】过点C作直线 ，以直线l为对称轴作点 的对称点E，连接CE， ，AC，证明 ，求得 ，根据三角形三边关系可知当点 ，C，E共线时， 的最小值是 . 23．【答案】解：，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】根据已知条件∠AOC=∠BOD和隐含条件重叠角∠AOD可知∠AOB=∠COD，结合∠B=∠D，OA=OC，利用AAS即可证得△AOB≌△COD，进而得出对应角∠A=∠C. 24．【答案】（1）解：如果，，，那么. 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴ 【解析】【分析】如果AB=DE，∠ABC=∠DEF，BE=CF，那么AC=DF；根据线段的和差易得BC=EF，从而根据SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应边相等即可得出结论. 25．【答案】解：∵， ∴ ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴． ∵为角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】先通过余角的性质得到，再通过ASA判定得到，然后利用角平分线的定义得到，进而通过ASA判定证得，即可求得BE的长度. 26．【答案】解：AE=BD，AE⊥BD，如图， ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠ACD=∠ACD， ∴∠DCB=∠ECA， 在△DCB和△ECA中， ， ∴△DCB≌△ECA（SAS）， ∴∠A=∠B，BD=AE ∵∠AND=∠BNC，∠B+∠BNC=90° ∴∠A+∠AND=90°， ∴BD⊥AE 【解析】【分析】根据SAS即可求得△DCB≌△ECA，求得∠B=∠A．因为∠AND=∠BNC，根据三角形的内角和定理就可求得∠A+∠AND=90°，从而证得BD⊥AE． 27．【答案】解：如图，在 和 中， 已知： ， ， ， ， ， 求证： . 证明： ∵ 分别是 ， 的中线， ∴ 又 .∴ . 和 中， ∴ . 在 和 中 【解析】【分析】根据题意画出图形，分清命题的题设和结论，写出已知和求证，利用SSS证明ΔABD≅ΔA1B1D1，根据全等三角形的性质得出∠B=∠B1 再利用SAS证明ΔABC≅ΔA1B1C1即可。 28．【答案】解：△ABC就是所求的图形． 【解析】【分析】首先作∠B=∠α，然后在∠B的两边上截取AB=BC=a，然后连接AC，即可作出． 29．【答案】（1）解：由CB=AC，∠BCA=90°，得∠A=∠CBA=45°， 在△ACD中，AC=AD， ∴∠ACD=67.5° ∴∠BCD=90°-∠ACD=22.5° （2）解：过点A作AF⊥CD于F，AC=AD， ∴CD=2CF， 又∵BE⊥直线CD于E， ∴∠BEC=∠AFC=90° 又∵∠BCE+∠DCA=∠FAC+∠DCA=90° ∴∠BCE=∠CAF 又∵BC=AC， ∴ △CBE≌△ACF ∴ CF=BE． 即CD=2CF=2BE. （3）解：BC=2CO-BD 【解析】【分析】（1）根据CB=AC，可得出∠A的度数，从而计算出∠BCD的度数。 （2）根据全等三角形的判定定理，可求得 △CBE≌△ACF ，得出CD=2BE。 （3）根据O是AB的中点，写出三条线段的数量关系。 30．【答案】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60° ∴∠BAC=30°， ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线 ∴∠FAC=∠BAC=15°，∠FCA=∠ACB=45° ∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°， ∴∠EFD=∠AFC=120°； （2）解：FE与FD之间的数量关系为FE=FD； 证明：在AC上截取AG=AE，连接FG， ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD 又∵AF为公共边 在△EAF和△GAF中 ∵AE＝AG，∠EAF＝∠FAG，AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF ∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°， ∴∠CFG=60°， 又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45° 在△FDC和△FGC中 ∵∠DFC＝∠GFC，FC＝FC，∠FCG＝∠FCD， ∴△CFG≌△CFD， ∴FG=FD ∴FE=FD． 【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，然后根据角的平分线定义可得∠FAC和∠FCA的度数，最后根据三角形的内角和计算即可； （2）先根据SAS证明△AEF≌△AGF，然后根据ASA证明△CFG≌△CFD即可解答. 31．【答案】证明：在CD上取CF=BC，连接AF. ∵ ∴ ∵AC分别平分 ∴ 在与中， ∴ ∴ 同理可证： ∴， ∴ . 【解析】【分析】在CD上取CF=BC，连接AF，由SAS先证明△BCA≌△FCA，利用全等三角形性质得AB=AF ，同理可证△ADF≌△ADE，得AE=AF，即可得到结论. 学科网（北京）股份有限公司 $