精品解析：广东省广州市海珠区中山大学附属中学2022-2023学年七年级下学期数学竞赛

2023年2月中大附中7年级数学竞赛试题 1. 如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去第n个图中有不同角的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形总结出一般规律是解题关键．根据图形得出第个图中有个不同角，即可得解． 【详解】解：图①中有个角； 图②中有个不同角； 图③中有个不同角； … ∴第个图中有个不同角， 故答案为： 2. 已知a，b是有理数，且，，，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的结论序号是______（把所有正确的序号都填上）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①错误，②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 3. 如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为9，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段______上． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据，计算出每一个线段的长度，再把的长度与进行比较即可． 【详解】解：∵A点表示数为9，E点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴B点表示的数为， ∵， ， ∴， ∴数所对应的点在B点左侧， ∴数所对应的点在点之间， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，掌握两点之间的距离是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键． 4. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，即可得到答案． 【详解】解：设第三行与第二列交点的数为,根据九宫图的填法， ∴， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数加减法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 5. 若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】将转化，即可得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴一元一次方程的解为：， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，以及解一元一次方程．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 6. 2016年是杭州马拉松30周年，林华报名参加了7公里小马拉松赛．前两公里是起步阶段，第2公里比第1公里快1分钟；第3公里至第5公里是途中跑阶段，每公里比前一公里快20秒；第6公里至第7公里是冲刺阶段，每公里比前一公里快45秒．已知林华的比赛成绩是47分22秒，则他在第4公里所花时间为______秒． 【答案】411 【解析】 【分析】 【详解】设第4公里所花时间为x秒 1 2 3 4 5 6 7 x 解得： 7. 下午2点25分这一时刻，钟表上的时针和分针所成锐角度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分针每分钟旋转6度，时针每分钟旋转0.5度，由此即可求出答案． 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】解答此题的关键是，知道时针每分钟旋转的度数，以及分针每分钟旋转的度数，由此即可解答． 8. 已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义，则的系数为0，且x系数，，得出；由，得，即可得到，，化简绝对值，即可得到答案． 【详解】∵是一个关于x的一元一次方程， ∴的系数为0，且x系数， ∴，， 即且， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4 【点睛】本题考查绝对值、一元一次方程的定义、整式的加减，解题的关键是知道如何去绝对值以及一元一次方程的定义. 9. 一组同学被分派去给1775棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗．1小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3小时10分钟．则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为______． 【答案】945 【解析】 【分析】 【详解】设开始有n位同学，每次有k位同学被分派去做其它工作．因为每位同学浇完一棵小树苗需要2分钟，所以10分钟内每位同学浇完5棵小树苗．因此， 即 ． 因为n和k都是正整数，所以必须是19的倍数．并且使得n，，和也是正整数的k值仅有一个，即，从而．故在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为 10. 如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则________． 【答案】##6厘米 【解析】 【分析】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．设运动时间为秒，，将图中线段用和的代数式表示出来，再根据求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，，则， 依题意得，，，， 根据在运动过程中，总有得：， 解得：， 故答案：． 11. 已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键在于灵活运用整体思想，消元思想．将代入得，由①②得关于的代数式⑤，再利用整体思想，设，可将原方程化简为：，由③④得关于的代数式⑥，由⑤、⑥消元即可得出m、n的值，即可求出方程的解． 【详解】解：将代入， 得， 由①②得， 设，原方程化简为：， 由③④得：， 将⑤代入⑥得：， 整理得：； ∴ ，即， 解得：． 故答案为：． 12. 已知，其中表示十位为a的两位数，其他类似，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，有理数乘法的运算，熟练根据整数乘法的特征进行推理是解题的关键．根据，得到，进而求出的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 已知，， ∴， 计算______． 【答案】145 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 14. 现有145本书，分给若干同学，不管怎样分，都至少有1个同学分到5本或5本以上，则同学的人数最多有______个． 【答案】36 15. 如图，共有______个三角形． 【答案】28 16. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船成功发射，中国航天再次成为全球焦点．为了纪念此次太空任务成功，某校航空科技社团决定为同学们定制“胸针”、“笔记本”、“丝巾”三款神舟小礼品，其中胸针每枚6元、笔记本每本12元、丝巾每条15元．社团规定每位同学只能选两份小礼品（可以重复）．小南将同学们的登记情况分成3组，A组每人登记一枚胸针和一本笔记本；B组每人登记一枚胸针和一条丝巾；C组每人登记一本笔记本和一条丝巾，这样预计总共花费1017元．正式购买时，A组有m人换成每人购买两条丝巾，C组也有m人换成每人购买两枚胸针，购买当天发现A组与C组的实际花费之和比B组实际花费的2倍多45元，则m的值为 _____． 【答案】9 【解析】 【分析】可设A组有a人，B组有b人，C组有c人，根据A组每人登记一枚胸针和一本笔记本；B组每人登记一枚胸针和一条丝巾；C组每人登记一本笔记本和一条丝巾，这样预计总共花费1017元，可得6a＋7b＋9c＝339①，根据正式购买时，A组有m人换成每人购买两条丝巾，C组也有m人换成每人购买两枚胸针，购买当天发现A组与C组的实际花费之和比B组实际花费的2倍多45元，可得6a－14b＋9c＝m＋15②,①－②得m＝324－21b③，再根据a，b，c，m都为正整数，m＜a，m＜c，依此可求m的值． 详解】解：设A组有a人，B组有b人，C组有c人， 依题意有：18a＋21b＋27c＝1017， 解得：6a＋7b＋9c＝339①， 依题意有：18（a﹣m）＋30m＋27（c﹣m）＋12m＝2×21b＋45， 解得6a﹣14b＋9c＝m＋15②， ①﹣②得m＝324﹣21b③， ∵a，b，c，m都为正整数，m＜a，m＜c， ∴b＝15，m＝9． 故答案：9． 【点睛】本题考查了应用类问题。解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 17. 若，，，均为素数，且满足，，则的最小值是________． 【答案】17 【解析】 【分析】根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到，则是合数，且为4的倍数，以此为突破，求得 【详解】①,② ①×2-②得：， 即， 求的最小值，则尽量小 当时，， 根据20以内的素数可知，，或者 此时，此时为合数，故不符合题意， 当时， 此时， 经检验，皆为素数，满足题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解题的关键． 18. 用表示大于的最小整数，例如，，．用表示，两数中较大的数，例如，按上述规定，如果整数满足，则的值是_______． 【答案】3或##或 【解析】 【分析】由x是整数，知，分和两种情况讨论，分别列方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵x是整数， ∴， 分和两种情况讨论， 当时，， ∴， 解得， ，满足条件； 当时，， ∴， 解得， ，满足条件； 综上，值是3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 19. 已知点 C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为__________________ . 【答案】8或9 【解析】 【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利用二元一次方程的解的概念进行求解即可. 【详解】如图，图中共有线段6条，分别AC、CD、DB，AD、BC、AB， 由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29， ∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB， ∴3AB+CD=29， 又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ， ∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2， 即AB的长度为8或9， 故答案为：8或9. 【点睛】本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 20. 已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为___． 【答案】10或20或70 【解析】 【分析】根据时间和速度分别得和的度数，再由角的和与差表示出，即可列方程求解可得结论，需要注意分类讨论． 【详解】由题意得： 当与没有相遇前，此时，， ， ∴， 解得：； 当与相遇以后在右边时，此时，， ， ∴， 解得：； 当与相遇以后在左边时，此时，， ， ∴， 解得：； 综上所述，当时，两条射线旋转的时间t的值为10或20或70． 故答案为：10或20或70． 【点睛】本题考查了角度运动问题，分类讨论并画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年2月中大附中7年级数学竞赛试题 1. 如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去第n个图中有不同角个数为______． 2. 已知a，b是有理数，且，，，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确结论序号是______（把所有正确的序号都填上）． 3. 如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示数为9，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段______上． 4. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 5. 若关于的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是______． 6. 2016年是杭州马拉松30周年，林华报名参加了7公里小马拉松赛．前两公里是起步阶段，第2公里比第1公里快1分钟；第3公里至第5公里是途中跑阶段，每公里比前一公里快20秒；第6公里至第7公里是冲刺阶段，每公里比前一公里快45秒．已知林华的比赛成绩是47分22秒，则他在第4公里所花时间为______秒． 7. 下午2点25分这一时刻，钟表上的时针和分针所成锐角度数为________． 8. 已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为______． 9. 一组同学被分派去给1775棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗．1小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3小时10分钟．则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为______． 10. 如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则________． 11. 已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为______． 12. 已知，其中表示十位为a两位数，其他类似，则______． 13 已知，， ∴， 计算______． 14. 现有145本书，分给若干同学，不管怎样分，都至少有1个同学分到5本或5本以上，则同学的人数最多有______个． 15. 如图，共有______个三角形． 16. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船成功发射，中国航天再次成为全球焦点．为了纪念此次太空任务成功，某校航空科技社团决定为同学们定制“胸针”、“笔记本”、“丝巾”三款神舟小礼品，其中胸针每枚6元、笔记本每本12元、丝巾每条15元．社团规定每位同学只能选两份小礼品（可以重复）．小南将同学们的登记情况分成3组，A组每人登记一枚胸针和一本笔记本；B组每人登记一枚胸针和一条丝巾；C组每人登记一本笔记本和一条丝巾，这样预计总共花费1017元．正式购买时，A组有m人换成每人购买两条丝巾，C组也有m人换成每人购买两枚胸针，购买当天发现A组与C组的实际花费之和比B组实际花费的2倍多45元，则m的值为 _____． 17. 若，，，均为素数，且满足，，则的最小值是________． 18. 用表示大于的最小整数，例如，，．用表示，两数中较大的数，例如，按上述规定，如果整数满足，则的值是_______． 19. 已知点 C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为__________________ . 20. 已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为___． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $