精品解析：黑龙江省绥化市明水县明水县第二中学2025-2026学年八年级上学期开学数学试题

明水二中八年级上学期期初数学测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项） 1. 下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个三角形两边的长分别为和，那么第三边的边长可能是下列各数中的（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ） A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（共12小题，每小题3分，共36分） 11. 估算的值___________． 12. 若等腰三角形的周长是20cm ,一边长是5cm, 则其他两边的长为___________. 13. 如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是________． 14. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是________． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 16. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是________． 17. 如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线） 18. 如图，于E，于F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④，中正确的是____． 19. 已知，，若，则=_______________． 20. 如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为_____． 21. 若中不含x的一次项，则m的值为__________． 22. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是________． 三、解答题（本大题共54分） 23. 分解因式： （1）； （2）． 计算： （3） （4）． 24. 先化简，再求值： （2a＋b）（2a－b）＋b（2a＋b）－4a2b÷b，其中a＝－，b＝2 25. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 26. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求证：AC＝DF． 27. 如图，在中，. （1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，并标出D点（不写作法，保留作图痕迹）. （2）在（1）的条件下，连接AD，求证：是等边三角形. 28. 阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为___________； （2）求代数式的最大值或最小值； （3）试比较代数式与的大小，并说明理由． 29. 阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明水二中八年级上学期期初数学测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项） 1. 下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A 是轴对称图形，不合题意； B.是轴对称图形，不合题意； C.是轴对称图形，不合题意； D.不是轴对称图形，符合题意； 故选D 2. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A． ，正确． B． 故错误． C． 故错误． D． 故错误． 故选A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为， 故选：A． 4. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：在中，作边上的高，作法正确的是： 故选：C 5. 已知一个三角形两边的长分别为和，那么第三边的边长可能是下列各数中的（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系进行判断． 【详解】解：∵一个三角形两边的长分别为3和7， ∴7－3＜第三边＜7＋3， 即4＜第三边＜10， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟记“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 7. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数． 【详解】∵等边三角形的顶角为60°， ∴两底角和=180°-60°=120°， ∴∠α+∠β=360°-120°=240°， 故选：C． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题. 8. 如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：以为公共边可画出，，三个三角形和原三角形全等． 以为公共边可画出三个三角形，，和原三角形全等． 以为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等， 所以可画出6个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及格点的概念，熟练掌握三条对应边分别相等的三角形是全等三角形是解题的关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】作DE⊥AB于E， 由基本作图可知，AP平分∠CAB, ∵AP平分∠CAB，∠C=90∘，DE⊥AB， ∴DE=DC=2， ∴△ABD的面积 故选：B. 10. 如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ） A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 二、填空题（共12小题，每小题3分，共36分） 11. 估算的值___________． 【答案】7.9 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据“夹逼法”求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7.9． 12. 若等腰三角形的周长是20cm ,一边长是5cm, 则其他两边的长为___________. 【答案】7.5cm，7.5cm 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】∵当腰为5cm时，底边长=20-5-5=10cm， 又∵5+5=10，故不能构成三角形； 当底为5cm时，三角形的腰=（20-5）÷2=7.5cm， ∴其他两边长为7.5cm，7.5cm． 故答案为7.5cm，7.5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 13. 如图是的中线，，若的周长比的周长大，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 根据中线的定义得出，的周长比的周长大，得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D、E分别为边、， ∴，， ∴， ∵点F为的中点， ∴； 故答案为：2． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 16. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可求得∠ABC的度数，再由平行的性质可得∠DEC的度数，由等腰三角形性质及三角形外角的性质即可求得∠BDE的度数． 【详解】∵∠A＝70°，∠C＝30° ∴∠ABC=180°−∠A−∠C=80° ∵DE∥AB ∴∠DEC=∠ABC=80° ∵DE=BE ∴∠BDE=∠DBE ∵∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE ∴ 故答案为：40° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，平行线的性质及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握它们并能正确运用是关键． 17. 如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线） 【答案】或或. 【解析】 【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等． 【详解】∵ ，， ∴可以添加 ，此时满足SAS； 添加条件 ，此时满足ASA； 添加条件，此时满足AAS， 故答案为或或； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法． 18. 如图，于E，于F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④，中正确的是____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，再根据图形即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，符合题意； 又∵，， ∴， ∴，，即平分，②正确，符合题意； ∴，④正确，符合题意； 在中，，∴，③错误，不符合题意； 综上所述，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 19. 已知，，若，则=_______________． 【答案】-1 【解析】 【详解】解：，， 故答案为 20. 如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】如图，作E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，利用折叠的性质得出AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，然后进一步得出EG＝AE＝AD，根据当AD⊥BC时，AD最短进一步求取最小值即可. 【详解】 如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G， 由折叠可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC， 又∵∠BAC＝75°， ∴∠EAF＝150°， ∴∠EAG＝30°， ∴EG＝AE＝AD， 当AD⊥BC时，AD最短， ∵BC＝7，△ABC的面积为14， ∴当AD⊥BC时，AD＝4＝AE＝AF， ∴△AEF的面积最小值为： AF×EG＝×4×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了几何折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 21. 若中不含x的一次项，则m的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据与的乘积中不含x的一次项,可得，进一步求解即可. 【详解】 ， 根据不含x的一次项可得：， 则． 故答案为：8 22. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是规律探究题，涉及等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是得出角的变化规律，先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外交的性质和等腰三角形的性质分别求出的度数，然后分析上面计算出的角度，找出规律即可得出第n个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，， ， ，是的外角， ， 同理可得：，，， 第n个三角形中以为顶点的底角度数是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共54分） 23. 分解因式： （1）； （2）． 计算： （3） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、零指数幂、多项式除以单项式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先提取公因式x，然后根据平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可； （3）根据零指数幂的意义，乘方的意义等计算即可； （4）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 24. 先化简，再求值： （2a＋b）（2a－b）＋b（2a＋b）－4a2b÷b，其中a＝－，b＝2 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，单项式乘多项式，单项式除单项式的法则化简，再代入求值． 【详解】， ， =， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点，注意运算顺序及符号的处理是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，；，， （2） 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作： 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求证：AC＝DF． 【答案】 证明：∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 又∵， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS） ∴AC＝DF 【解析】 【分析】由已知BF＝CE，可得BC＝EF；由，可得∠B＝∠E，易证△ABC≌△DEF，即可得出AC＝DF． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△DEF． 27. 如图，在中，. （1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，并标出D点（不写作法，保留作图痕迹）. （2）在（1）的条件下，连接AD，求证：是等边三角形. 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC，根据等边对等角可得∠CAD=∠C，进而可得∠ADB=∠B=∠DAB=60°，然后可得答案． 【详解】（1）如图所示： （2）∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°， 又∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA=DC，∴∠CAD=∠C=30°， ∴∠DAB=60°，∴∠ADB=∠B=∠DAB=60°， 即△ABD是等边三角形． 【点睛】本题考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 28. 阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为___________； （2）求代数式的最大值或最小值； （3）试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）3 （2）最大值为10 （3） 解：，理由如下： ； ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式： （1）参照范例的解题方法进行分析解答即可； （2）参照范例的解题方法进行分析解答即可； （3）先求出两个代数式的差，再用范例中的方法判断所得差的值的正负即可得到两个代数式的大小关系． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值为3； 故答案为：3 【小问2详解】 ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 【小问3详解】 略 29. 阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 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