精品解析：广东省深圳市2025-2026学年上学期八年级数学期中测试（练习卷）-提高版

广州省深圳市2025-2026年上学期初二数学期中测试（练习卷） 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．请考生规范答题，保持卷面整洁 2．考生在答卷前，务必将姓名、学校写在答题卡或试卷开头 3．如要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题只有一个答案符合题目要求） 1. 在，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A B. ，， C. D. 4. 已知，，则代数式值为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 6. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部C处与E处之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 第II卷（本卷共计76分） 二．填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 若一个正数平方根分别为和，则这个正数是 _________． 10. <<，且是两个连续的整数，则的值是___________． 11. 若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为________． 12. 若，则_________． 13. 如图，在中，，，．点D在上，且．连接，过点A作，且，连接，．则的长度为______． 三．解答题（本大题共7小题，第14题12分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题6分，第19题10分，第20题11分．共61分） 14 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请你写出正确的计算过程． 16. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是______，的小数部分是______； （2）若，其中是整数，且，求与的值． 17. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 18. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： 小亮 解：原式 小芳 解：原式 ． 当时，原式 （1） 的解法是错误的； （2）当时．求的值． 19. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． （1）①根据“黑神话悟空三角形”定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； （2）若是黑神话悟空三角形，，，求的长． 20. 已知，点是平面内任意一点(不与点重合)，若点P与中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为关于这两个点的一个“勾股点”．例如：当与点A，B的连线的夹角为直角，称点为关于A，B的“勾股点”． （1）如图（1），若点P是内一点，，试说明点是的一个“勾股点”； （2）如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，求的长； （3）如图（3），在中，，点为外一点，，，当点是关于A，B的“勾股点”时，的长度是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州省深圳市2025-2026年上学期初二数学期中测试（练习卷） 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．请考生规范答题，保持卷面整洁 2．考生在答卷前，务必将姓名、学校写在答题卡或试卷开头 3．如要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题只有一个答案符合题目要求） 1. 在，，，，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数，是解题的关键． 【详解】解：在，，，，，中，无理数有、和，共3个，故C正确． 故选：C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A、，不最简二次根式，本选项不合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不合题意； C、，不是最简二次根式，本选项不合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D 3. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4. 已知，，则代数式的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 5. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：． ∴大正方形面积为． ∴留下的阴影部分面积和为：． 故选：C． 6. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部C处与E处之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用勾股定理先求出，再得出，进一步计算即可解答． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， 故选：A． 7. 如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 8. 长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，，证明，推出，求得，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， 故选：C． 第II卷（本卷共计76分） 二．填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；利用这一性质求出的值，进而求出这个正数． 【详解】解：由题可知， ， 解得：， 则这个正数是. 故答案为：． 10. <<，且是两个连续的整数，则的值是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】直接利用的取值范围得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】∵7＜＜8，a＜＜b，其中a、b为两个连续的整数， ∴a=7，b=8， ∴a+b=7+8=15． 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键． 11. 若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 12. 若，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开数不小于零的条件是解题的关键．根据二次根式被开数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， 则． 故答案为：1． 13. 如图，在中，，，．点D在上，且．连接，过点A作，且，连接，．则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据，求出的长，证明，得到，，再用勾股定理进行求解即可．解题的关键是证明． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，第14题12分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题6分，第19题10分，第20题11分．共61分） 14 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍； （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除法法则运算，然后再合并即可； （2）根据二次根式的除法法则运算，再化简二次根式，然后再合并即可； （3）先化简二次根式，再合并，再根据二次根式的除法法则运算先化简二次根式即可； （4）根据二次根式的乘法法则运算，再合并即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 15. 下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请你写出正确的计算过程． 【答案】任务一：二，去括号后，括号内第二项没有变号 任务二：过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，能够正确运用去括号法则计算是本题的关键． 去括号时，括号前是“”号，去括号后，括号内的各项都要变号．故而可判断解答过程从第二步开始出现错误，再根据去括号法则更正错误，并写出正确的计算过程即可． 【详解】解：任务一：从第二步开始出现错误， 错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号． 任务二：请你写出正确的计算过程． ． 16. 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是______，的小数部分是______； （2）若，其中是整数，且，求与的值． 【答案】（1），； （2）10，． 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得出，则的小数部分是；因为，所以，则的小数部分是； （2）因为，所以，先得出的整数部分是9，的小数部分是，根据，其中是整数，且，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴的整数部分是2， ∴的小数部分是； ∵ ∴ ∴ ∴的整数部分是2， 则 即的小数部分是； 【小问2详解】 解：∴ ∴ ∴ ∴的整数部分是9， 则 ∴的小数部分是 ∵，其中是整数，且， ∴， ∴ 17. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）居民从点A到点C将少走路程 （2）这片绿地的面积是 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； 【小问2详解】 解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 18. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： 小亮 解：原式 小芳 解：原式 ． 当时，原式 （1） 的解法是错误的； （2）当时．求的值． 【答案】（1）小亮 （2）10 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减，解题的关键是： （1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可； （2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答解． 【小问1详解】 解：， ， 原式 ， 小亮的解答是错误的． 故答案为：小亮； 【小问2详解】 ， ， ， 当时．原式． 19. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． （1）①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； （2）若是黑神话悟空三角形，，，求的长． 【答案】（1）①是；②是 （2）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，新定义“黑神话悟空三角形”，等边三角形的性质等知识，理解新定义“黑神话悟空三角形”的定义是解本题的关键． （1）①设等边三角形的边长为，则，在由“黑神话悟空三角形”的定义即可得出结论； ②由，即可得出结论； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； ②∵， ∴该三角形是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是黑神话悟空三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 20. 已知，点是平面内任意一点(不与点重合)，若点P与中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为关于这两个点的一个“勾股点”．例如：当与点A，B的连线的夹角为直角，称点为关于A，B的“勾股点”． （1）如图（1），若点P是内一点，，试说明点是的一个“勾股点”； （2）如图（2），已知点是的一个“勾股点”，，且，若，求的长； （3）如图（3），在中，，点为外一点，，，当点是关于A，B的“勾股点”时，的长度是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，根据，求出，即可证明结论； （2）先求出，得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． （3）分三种情况讨论：当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；当时，点D是的“勾股点”；其中只有第一种情况存在求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P是的一个“勾股点”． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴在中，． 【小问3详解】 解：点D可以是的“勾股点”． 由题意可知，分三种情况讨论． ① 当时，点D是的“勾股点”． 如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为点E，F． 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，点D是的“勾股点”． 由题可知， ∴． 又∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴此种情况不成立． ③当时，点D是的“勾股点”． ∵在中，， ∴是锐角， ∴此种情况不成立． 综上，点D可以是的“勾股点”，的长是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和勾股定理．作辅助线，熟练掌握三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形性质，余角的性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $