精品解析：陕西省西安市航天城第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

九年级数学暑假学业评估 （时间120分钟，全卷120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面4个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（    ） A. B. C. D. 3. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放(角的顶点与角的顶点重合)，若，则的度数是( ) A. B. C. ° D. 8. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，过点A作，交于点E，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 单项式次数是______ 10. 我国战国时期提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为尺，第二天再折断一半，其长为尺，…，第天折断一半后得到的木棍长应为__________尺． 11. 如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则＝_____． 12. 如图，在矩形中，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________． 13. 如图，正方形的边的周长为，是的中点，是上的动点，过点作，分别交于点．则的最小值是______． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：（a﹣b）（a+b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣2，b＝． 16. 用适当的方法解方程： 17. 一个大人一餐能吃4个面包，4个幼儿一餐只吃一个面包，现大人和幼儿共人，一餐刚好吃光个面包．这个人中大人和幼儿各有多少人？ 18. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD． 19. 如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩． （1）甲同学选择A通道的概率是______； （2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率． 20. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，四边形为矩形，O为中点，过点O作的垂线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中分组情况如下： 组：组：组：组：组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数为________°； （4）若该校有名学生，请估计该校睡眠时间不足小时的学生有多少人？ 23. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 24. 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有个棋子，第4个图形中有个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有___________个圆形棋子； （2）第个图形中有___________个圆形棋子；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由． 25. 拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： （1）若x满足，求的值． （2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 26. 综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； （2）【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学暑假学业评估 （时间120分钟，全卷120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下面4个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 2. 的倒数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：B． 3. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键， 根据科学记数法的表示方法，可表示为，从而得到答案． 【详解】解：， 故选：A. 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 5. 如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可． 【详解】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等； 第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等； 第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过判定新三角形与原三角形全等； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，解题的关键是熟练掌握三角形全等的相关知识． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，平方差公式，根据多项式除以单项式，合并同类项，积的乘方，平方差公式进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 7. 一副直角三角板按如图所示的位置摆放(角的顶点与角的顶点重合)，若，则的度数是( ) A. B. C. ° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：记交于点，如解图所示． 由题意，可知，．∵ ． ， 故选B． 8. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，过点A作，交于点E，若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质是解题的关键． 先根据菱形的性质、勾股定理求得边长，再运用等面积法求得，在中运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 单项式次数是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟记“一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”是解题的关键． 根据单项式的次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式次数：， 故答案为：． 10. 我国战国时期提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为尺，第二天再折断一半，其长为尺，…，第天折断一半后得到的木棍长应为__________尺． 【答案】 【解析】 【分析】可分别求出第一天、第二天、第三天折断一半后得到的木棍长，由此找到规律，进而得出第n天折断一半后得到的木棍长． 【详解】解：∵第一天折断一半，其长为尺， 第二天再折断一半，其长为尺，， 第三天再折断一半，其长为尺，， …， ∴第n天折断一半后得到的木棍长为尺． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11. 如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出3a﹣b＜0，a+2b＞0，a＜0，然后化简绝对值，从而可求得答案． 【详解】解：∵由题意可知：3a﹣b＜0，a+2b＞0，a＜0， ∴b﹣3a﹣（a+2b）=﹣a． 整理得：﹣b=3a． ∴． 故答案为：． 考点：绝对值；数轴． 12. 如图，在矩形中，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形基本性质，勾股定理和三角形中位线，熟练运用勾股定理求出三角形中的线段是解题关键； 连接，先通过矩形基本性质求得，再通过勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理列出方程求出x，再在中，根据勾股定理，得，再通过三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得，解得， 在中，根据勾股定理，得， 由折叠性质得， 又点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为： 13. 如图，正方形的边的周长为，是的中点，是上的动点，过点作，分别交于点．则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作，垂足为，可证，可得，将沿方向平移至，连接，当三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，， ∵正方形的周长为， ∴边长为， ∴，， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则， ∴， ∴，，则为等腰直角三角形， 当三点共线时，的值最小， 此时． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 三、解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算、化简绝对值，零次幂以及负整数指数幂，先运算乘方运算、化简绝对值，零次幂以及负整数指数幂，然后运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：（a﹣b）（a+b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣2，b＝． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把a,b的值代入即可 【详解】原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2 ＝2ab， 当a＝-2，b＝ 时，原式＝2×（﹣2）×＝﹣2． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，解题关键在于化简 16. 用适当的方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：，． 17. 一个大人一餐能吃4个面包，4个幼儿一餐只吃一个面包，现大人和幼儿共人，一餐刚好吃光个面包．这个人中大人和幼儿各有多少人？ 【答案】大人20人，幼儿80人 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设大人有人，则幼儿有人，根据面包数大人吃的面包幼儿吃的面包，即可建立方程求解． 【详解】解：设大人有人，则幼儿有人， 则， 解得， 幼儿：（人）， 答：大人人，幼儿人． 18. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD． 【答案】证明见解析； 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE． 【详解】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠ACE=60°， ∴∠ACD=∠BCE=120°， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 19. 如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度相同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园游玩． （1）甲同学选择A通道的概率是______； （2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式计算； （2）利用列表法表示出所有等可能结果以及满足题意的等可能结果，求出概率． 【小问1详解】 解：甲的选择有三种等可能结果：A、B、C，其中选择A占一种， 故选择A的概率为； 【小问2详解】 列表： 甲 丙 A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表中知，这个实验一共有9种等可能结果，其中相等的占三种， 故甲、丙两位同学从同一通道经过的概率为． 【点睛】本题考查利用列表法和利用概率公式求概率，解决问题的关键是列举出所有等可能的结果． 20. 如图，在中，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 作图如下： 【解析】 【分析】根据，点到的距离等于，判定点P一定在的角平分线上，由此作图即可． 本题考查了角的平分线的判定定理，角的平分线的基本作图，熟练掌握判定，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，点到的距离等于，判定点P一定在的角平分线上，则点P即为所求． 21. 如图，四边形为矩形，O为中点，过点O作的垂线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为中点，， 为的垂直平分线， ，， 则，． ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴， 四边形平行四边形． 又， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由条件可先证四边形为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论； （2）由菱形的性质可求得，设，在和中，分别利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ，， ， 设， 在中，， 在中，． ， 解得， ． 22. 为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中分组情况如下： 组：组：组：组：组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数为________°； （4）若该校有名学生，请估计该校睡眠时间不足小时的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） 补全的条形统计图如图所示； （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中组的人数与占比，计算求解即可； （2）根据组人数占比为，求出组人数为人，然后作差求出组人数，最后补全统计图即可； （3）根据组人数的占比乘以计算求解即可； （4）根据两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，本次共调查了（人）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：选择的学生有：（人）， 选择的学生有：（人）， 图略； 【小问3详解】 解：由题意知，组所对应的扇形圆心角度数为， ∴组所对应的扇形圆心角度数为． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校睡眠时间不足小时的学生约有人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息． 23. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 24. 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有个棋子，第4个图形中有个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有___________个圆形棋子； （2）第个图形中有___________个圆形棋子；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3）能摆放成功，理由如下： 解：由题可得：， 解得：， ∵为整数， ∴2025个圆形棋子在第个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放． 【解析】 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的计算是解题的关键， （1）根据题意可得到规律：每个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得到答案； （2）根据（1）中的过程，总结规律即可得到答案； （3）根据（2）中总结出的规律，列出式子即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知：第一个图形有个圆形棋子， 第二个图形有个圆形棋子， 第三个图形有个圆形棋子， 第四个图形有个圆形棋子， 以此类推， 第六个图形有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）得： 第个图形中有个圆形棋子； 故答案为：． （3）略 25. 拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： （1）若x满足，求的值． （2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ∴； 【小问2详解】 ∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 26. 综合与探究：已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度； （2）【深入探究】 E是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若是射线上的一个动点，，，求线段的长． 【答案】（1） 解：根据题意，画出图形如解图①， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135； （2） 证明：如解图②，在上截取，连接，则 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ． （3）3或7 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可，由正方形的性质可得，由，得到，根据平角的性质即可求解； （2）如解图②，在上截取，连接，则 ，可证，由此即可求解； （3）如解图①，四边形是正方形，可证，得到，如解图②，当点在线段上时，可得是等腰直角三角形，可得，，可得；如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接，则是等腰直角三角形，由题意可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如解图①， 四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 如解图②，当点在线段上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 如解图③，当点在延长线上时，延长至点，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 综上所述，线段的长为3或7． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $