河南省商丘市九师联盟2026届高三上学期开学考试数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.D由集合A={0,1},B={x|0<x<3},得A∩B={1.故选D. 2.B因为i=2+i,所以=2+i_=(-iD(2+i)=1-2i,所以=1十2i故选B. 1 3.C由2sin2a=1-cos2a,得4 sin acos=2sima,又a∈(0，受)，所以tana=2.故选C. 4A不妨跟号-y=1的一条裔近线的方程为-ay=0,又F(c,0),且心=1十0，所以FHl=9=二=1放 /+aZ 选A. 5.D因为C市=号Ci+C),所以D为AB的中点，设Cò=a,Di=,则Ci=a+bC=a-b,所以Ci·C (a+b)·(a-b)=a-b,又AB=2CD=2AD,所以|a=|bl,即CA.C市=0，所以CA⊥C克，即∠ACB=交.故选D 6.C直线l,l2平行或重合的充要条件是(2a十1)a=(a+2)a,所以a=0或a=1.将a=1代人直线4，l2的方程，得l: 3x十y+1=0,l2:3.x十y十2=0，易知l1∥l2;将a=0代入直线l,2的方程，得l1:x+1=0,2:2x+2=0,直线，2重 合，故a=0舍去.综上所述，“a=1”是“l1∥l2”的充要条件.故选C. 2.C方法-由题意，得a-。1-a2。十1.即。.1，所以{已是首项 为1，公差为1的等差数列，所以。=，即a,=”=20膘放选C 方法二：因为a=0,a+1=2-a 11 1 1 2 1 1 3,a=2-a2 2 4…,a= 3 ”号，所以as名膘故选C 8.A由题设知，三棱锥P-AMN满足PM⊥PN,PA⊥PM,PA⊥PN,显然符合墙角模型，设三棱锥P-AMN外接球的 半径为R,则(2R)2=PM+PN2+PA=22+22+42=24,三棱锥P-AMN外接球的表面积为π×24=24π，故选A. 9.ADf(x)的最小正周期T-高=受，故A正确：/(x)的图象不是轴对称图形，故B错误：由红一受<2x+牙<kx 十受，kc7,得号音<<专x十吾∈即了(x)的单调递蜡区间为（台x号x,专+吾），4∈乙取=0,1，得 函数f(x)不在(0，子)上单调递增，放C错误：由2z十至=合，k∈乙.得x=冬x一吾，k∈Z,所以函数f()图象的对 称中心为（午一吾，0），k∈乙，令=2知f(x)的图象关于点（管，0）对称，故D正确.故选AD. 10.ACD因为f(x十1)为奇函数，所以f(1一x)+f(1+x)=0,令x=0,得2f(1)=0,所以f(1)=0,故A正确：因为 f(3-x)=f1+x),所以f(x)=f(4-x),又f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)=-f(2-x),所以f(4-x)= 一f(2-x),即fx)=一f(x-2),所以f(.x一4)=f(),即4是f(x)的周期，存在函数f(x)=cos(受x)使得f(x) 满足题目中条件但最小正周期为4，故2不是f(x)的周期，故B错误，C正确；由A和C知f(4k+1)=0,k∈Z,所以 芝f(4+1D=0,放D正确放选ACD 【高三开学考·数学参考答案第1页（共4页）】 G 11.ABD对于A,连接AC,则MN∥AC,AC∥AC,所以MN∥AC,又AC1丈平面B1MN,MNC平面BMN,所以 AC1∥平面BMN,故A正确；对于B,连接BC,在正方体中，BC⊥BC,DC⊥平面BCCB,又BC1C平面BCC1B1, 所以DC⊥BC,又BC∩DC=C,B1C,DCC平面A1B1CD,所以BC⊥平面A1B1CD,又A1NC平面ABCD,所 以BC上AN,放B正确：对于C,过△AMN的截面为梯形MNCA,AC=厄，MN=号，AM=CN √+（三丁-写，所以其周长为2++2×写=多厄+5，故C错误：对于D,截面AMN将正方体分成三棱台 DMN-D,AC和剩余的部分，三棱台DMN-DAC的体积为号X1×(号X号X+号×1X1+ √×7××X1X)-剩余部分的体积为员-员，所以-×等=放D正确放选AD, 12.-2 2(-)的通项为工1=C)（-1 ）=(-1)rC0x5-r,0≤r≤10，r∈N,令5-r=0,得 r=5,所以(-） 的展开式中的常数项为（一1）C。=一252. 4 3x+4y=0, I= x=- 13(号，-号)或(-号，是）设c=(y,则 所以 x2+y=1, 或 所以c=(告，-是）或 y=- 5 y=5 (-) 14.(0,）方程f(x)=g(x),即nx=m,因为>0，所以m=血工=3血工，令h(x)=血工，则() 31n2,当0<<e时，h'(x)>0,h(x)在(0，e)上单调递增，当x>e时，(x)<0,h(x)在(e,十∞)上单调递 减.所以h()m=九(e)=名，且当x>1时，A()>0,所以在关于x的方程f()=g()恰有两个实数根时， me(,). 15.解：(1)因为+ac=a2+2,所以coB=2+-6- 2ac 3分 又0<B≤π，所以B=写， …5分 (2)油正弦定理，得B=2R,又R=2,所以6=4×号=25 7分 因为sinA=2sinC,所以a=2c,… 8分 由b+ac=a2+c2,得(2√3)2+2c2=4c2+c2,所以c2=4,c=2, 10分 又a=2c,所以a=4. 11分 所以△ABC的面积为7 acsin B=-号×4X2Xsin号=25. …13分 16.解：该事件的样本空间2={（x,y,之)xy,之∈{1,2,3,4,5,6}， 1分 所以n(2)=63=216. …2分 (1)设事件A=“点数都为奇数”，即样本点(x,y,z)的个数是3×3×3=27， 所以n(A)=27,…3分 【高三开学考·数学参考答案第2页（共4页）】 G 所以P(A)=A)=1 n(2)8 …4分 (2)设事件B=“至少出现一次3点”，则事件B=“三次均未出现3点”， 所以P(B)=1-P(B)=1-(号)》'=品 8分 (3)设事件C=“三个点数之和为8”， x+y+2=8, 则样本点(x,y,之)满足：1≤x,y,2≤6，… …10分 (x,y,z∈N, x,y,2取值有以下情况：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4：2,3,3. n(C)=2A十3A=21, …13分 所以P(O-8=头- n(2)216=72 …15分 17.解：(1)令A=a,AD=b,AA=c, 则BD=Bd+DD=Bd+AA=AD-Ai+AA=b-a十c,… …2分 所以BD2=|BD|2=(b-a十c)2=|b|2+|a2+|c|2-2a·b-2a·c+2b·c,…3分 因为|a=b|=1,|c|=2,(a,b)=90°，(a,c>=b,c)=60, 所以BD2=6,即BD1=6. …5分 (2)AC=AC=a十b,设直线BD1和AC所成角为0， cos 0=I cos(BD,AC1=(b ate).(a+b) b-a+c a+b 8分 =b2-a2+bc+a…cl 1-1+2X1×+2×1× 3 b-a+ca+b …10分 √6X√2 (3)过A1作AOL平面ABCD,垂足为O,设AO=xAB+yAD=a+b,所以A1O=A0-AA=m十3b-c, 由A10LAB,得(m十b-c）·a=0,即02+0·b-a·c=0,x-1=0,x=1,…11分 由A1O⊥AD,得(.x0+3b-c)·b=0,即x0·b+3b2-b·c=0,y-1=0,y=1.…12分 所以A10=a+b-c,h=A1O=√A0=√/a+b-c)=a2+b+c+2a·b-2a·c-2b·c=2.…13分 所以平行六面体ABCD-A1B1CD的体积V=Sh=12X2=√2.… …15分 18.1)解：e=台-√1-(2）=号，2=26， …2分 又(22)在C上，所以号+是-1，解得云=8,6=4所以C的方程为行+兰-1 4分 AP 2 IAPIIPQ|sn∠APQ (2)①证明：因为|AP|·S2=|BP|·S,所以 |API sin∠APQ BP 2|BPI PQI sin.∠BPQ BP sin∠BPQ 所以sin∠APQ=sin∠BPQ,… …6分 因为Q在线段AB上且与A,B不重合，所以∠APQ+∠BPQ=∠APB∈(0，π)，所以∠APQ=∠BPQ …8分 又PQ与x轴平行，所以直线AP,BP的斜率互为相反数，即k加十k即=0.…9分 ②解：设A(x,y),B(,2),P(x0,%), 【高三开学考·数学参考答案第3页（共4页）】 G 由AB,P都在C上，得号+兰-1，号+兰-1，号+-1， 所以一=子(--%=合(-). …11分 1.x十@=2二业， 区+m”士”=0，所以)十十0，做专a …13分 x102一x0 (-6)(1十)Tx2-x% 所以x1x2+x0x2-x1x0一z%=2yy2十2yh2一2y1%一2y8. 同理：x201+x00一x2x0一=221十20y一223%一2y6. ……15分 以上两式相减，得2x(2一1)=4%（为-为），即k·k=业二·也=号 x2xxm-2· …17分 19.解：(1)由题意知f(x)=3ax2+2cosx一m,且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x, 所以(0)=1，即2一m=1,解得m=1.… …2分 (2)由(1)知，m=1, 当a=1时，f(x)=3.x2+2cosx-1.… …3分 令f(x)=g(x),则g'(x)=6x-2sinx=2(3.x-sinx), Ah(x)=3x-sin x,h'(x)=3-cos >0, 所以h(x)在R上单调递增，且h(0)=0,… …5分 所以x>0时，h(x)=7g(x)>0,所以g(x)=∫(x)在(0，+∞)上单湖递增；当x<0时，h()=g(x)<0, 所以g(x)=了(x)在(-o∞，0)上单调递减. 7分 所以f(x)mm=f(0)=1>0,所以f(x)在R上单调递增. 8分 (3)由曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x,得f(0)=0, 又f(x)=3a.x2+2cosx-1,所以f(x)=a.x3+2sinx-x.… 9分 当x=0时，f(0)=0,则f(x)≥0恒成立，所以a∈R. 当x>0时，由f(x)≥0，得a≥-2sm工 令F(r）=I-2sinL,则F(x)=2(3sinI1cos2 T3 …10分 x 令G(x)=3sinx-x-xcos x,则G'(x)=rsin x十2cosx-1, 再令H(x)=xsin x十2cosx-1,则H'(x)=xcos x-sinx,令K(x)=xcos x-sinx. …12分 ①当0<x≤x时，K(x)=-xsix<0,故K(x)在(0，π]上单调递减，又K(0)=0,所以H(x)=K(x)<K(0)= 0,故H(x)在(0，π]上单调递减，因为H(0)=1>0,H(π)=一3<0，所以存在x∈(0，π)，使得G(x6)=H(x) =0,于是G(x)在(0，xo)上单调递增，在(x,π)上单调递减.… …13分 由于G(0)=0,G(π)=0，于是x∈(0，x]时，G(x)≥0，此时F(x)≥0，所以F(x)在(0，π]上单调递增，F(x)在 (0,x]止的最大值为F(x)=是 …14分 ②当x>x时，令L(x)=2sinx+买 -x>.期1（)=2asx+琴-1>-2+学-1=0. 元2 所以L(x)在6，+o)上单调递增，此时L()>L(x)=0,故当xE(x,+o∞)时，F(x)=一<是，…16分 x 由①②知F(x)=一2n在(0，十o)上的最大值为，所以心2，即a的取值范围是[是十o∞).…17分 【高三开学考·数学参考答案第4页（共4页）】 G高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色基水签学笔将密封线内项目填写清遁。 3.考生作答时，请将答案答在甚趣卡上，选择题每小戆选出答案后，用1B船笔把答题卡上婷虚趣曲药 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫来黑色盏水签字笔在答题卡上各题的答题園城内伟器， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4本巷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目萋 求的。 1.若集合A=(0,1),B=(x0<x<3),则A∩B= A.{0,1) B. C.(0) D.(I) 2.若复数z满足zi=2十i,则z= A1-2i B.1+2i C.-1+21 D.-1-2i 3.若a∈(0，受)，2sin2a=1-cos2a,则tana= A司 B.1 C.2 D.4 4已知双曲线C哈-y=1a>0的右焦点为R,过点F作C的一条新浙近线的垂线，垂足为H,则F一 A.1 B.a C.√2 D.2 5.在△ABC中，点D满足Ci=号(Ci+C亩，且AB=2CD,则∠ACB= A晋 B c D. 6.已知直线l:(2a十1)x十ay+1=0,2:(a十2)x十ay十2=0，则“a=1”是“l1∥2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知数列{an)满足a1=0,2an+1一a,·an+1=1,n∈N,则a2o26= A号器 a号8器 C.0 n88 【高三开学考·数学第1页（共4页）】 G 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8.已知正方形ABCD的边长为4，BC和CD的中点分别为M,N,沿AM;MN,NA折起来使得B,D,C 重合于P,得到三棱锥P-AMN,则三棱锥P-AMN外接球的表面积为 A.24r B.18元 C.12π D.6元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.对于函数f(x)=tan(2x+牙)，则 Af(x)的最小正周期为 B.f(x)的图象关于x=一对称 C.f(x)在(0，于)上单调递增 Dfx)的图象关于点(，0)对称 10.若f(x+1)为奇函数，且f(3-x)=f(1十x),则 A.f(1)=0 B.f(x)的一个周期为2 C.f(x-4)=f(x) D.器f+1)=0 11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD中，M,N分别为AD,CD的中点，过A1,M,N三点的截面 将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为V,体积大的几何体的体积记为V2,则 A.A1C∥平面BMN B.BC1⊥A1N C.截面A1MN的周长为2√2+√5 n-品 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(匠-启》”的展开式中的常数项为 13.已知向量a=(3,4),cLa,且c=1,则向量c的坐标为 14.已知函数f(x)=lnx3,g(x)=mx,若关于x的方程f(x)=g(x)恰有两个实数根，则实数m的取值 范围是 【高三开学考·数学第2页（共4页）】 G ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2十ac=a2+c2,sinA=2sinC. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的外接圆半径R=2,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 将一枚质地均匀的正方体骰子（点数分别为1,2,3,4,5,6）连续抛掷三次，求下列事件的概率 (1)点数都为奇数； (2)至少出现一次3点； (3)三个点数之和为8. 17.(本小题满分15分) 在平行六面体ABCD-A1BCD1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，且 ∠A1AB=∠A1AD=60°，求： (1)BD1的长； (2)直线BD1和A1C所成角的余弦值； (3)平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积. 【高三开学考·数学第3页（共4页）】 G ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C菩+芳=1(a>b>0)的离心率为，且C过点(2，w2)。 (1)求C的方程； (2)直线l:y=(x一1)(>0)与C交于A,B两点，过C上的点P(与A,B不重合且不在坐标轴上)作 x轴的平行线交线段AB于点Q(与A,B不重合)，直线OP的斜率为'(O为坐标原点)，△APQ 的面积为S1,△BPQ的面积为S2,若|AP|·S2=|BP|·S,直线AP,BP的斜率都存在，分别 记为kAP,P ①求证：kAP十bP=O; ②判断飞·是否为定值？并说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知定义域为R的函数f(x)的导函数f'(x)=3ax2+2cosx一m,且曲线y=f(x)在点(0，f(0)处 的切线方程为y=x. (1)求m的值； (2)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)≥0在x∈[0，十∞)上恒成立，求a的取值范围. 【高三开学考·数学第4页（共4页）】 G ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣