2.2 课时1 基本不等式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 课时1 基本不等式 作者编号:32006 学习目标 1. 了解基本不等式的证明过程. 2. 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 3. 掌握利用基本不等式求函数的最值问题. 作者编号:32006 A B C D E F G H a b 新课引入 一般地,∀,b∈R,有 +≥2 当且仅当时,等号成立. 作者编号:32006 新课学习 如果,我们用分别代替上式中的,可得 ≤ (1) 当且仅当=时 ,等号成立. 算术平均数 几何平均数 ≥ 通常称不等式(1)为基本不等式(basic inequality).其中,叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数. 作者编号:32006 新课学习 重要不等式与基本不等式的比较 +≥2 ≤ 用范围 ∈R 形式 一边平方和,一边乘积的2倍 一边和的一半,一边乘积的算术平方根 取等号的条件 作者编号:32006 新课学习 基本不等式的证明 方法一:(作差法) ∵ ∴ = =- =- ≤0 ∴ ≤ 方法二:(分析法) 要证 ≤, 只要证2≤+. 只要证2 ≤0 即证-≤0 只要证≥0 显然≥0成立,当且仅当时,等号成立. 执 果 索 因 作者编号:32006 探究 可证∽,因而CD=.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为 ≤ .显然,当且仅当点C与圆心重合,即当,上述不等式的等号成立. 在图2.2-1中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=,BC=.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图,得出基本不等式的几何解释吗? C D B E A 圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长,当且仅当弦过圆心时,二者相等. 作者编号:32006 新课学习 基本不等式常用的变形 ≤ ≥ ≥2 ≤ (1)基本不等式的一边是“和式”,另一边是“积式”; (2)基本不等式的前提是非负数; (3)基本不等式取等号的条件. 作者编号:32006 例题剖析 例1 已知>0,求 的最小值. 分析:求 的最小值,就是要求一个(=),使>0,都有≥.观察=1.联系基本不等式,可以利用正数和的算术平均数与几何平均数的关系得到=2. 解:因为>0,所以≥2=2 当且仅当 ,即=1时,等号成立,因此所求的最小值为2. 作者编号:32006 例题剖析 例2 已知都是正数,求证: (1)如果积等于定值P,那么当时,和有最小值2; 证明:因为,都是正数,所以≥ (1)当积等于定值P时,≥ , 所以≥2, 当且仅当 时,上式等号成. 于是,当时,和有最小值2 作者编号:32006 例2 已知都是正数,求证: (2)如果和等于定值S,那么当时,积有最大值. 例题剖析 当和等于定值S时, ≤ , 所以 ≤. 当且仅当 时,上式等号成. 于是,当时,积有最大值. 作者编号:32006 方法提炼 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则. (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件: (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立. 以上三点,缺一不可 作者编号:32006 例3 已知都是正数且=1,求证:≥9. 例题剖析 证明:由题意知 =+ =3+()+()+() ∴≥2,≥2,≥2 当且仅当 时,取等号. ∴≥9. 作者编号:32006 方法提炼 可利用基本不等式证明题目的类型 所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 利用基本不等式证明不等式的注意点: (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立 (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. (4)注意“1”的代换. 作者编号:32006 随堂小测 1、判断正误: (1)不等式 +≥2与 ≤有相同的适用范围.( ) (2)若 ,则≤ 恒成立. ( ) (3)当 同号时,≥2. ( ) (4)当>0时,的最小值为2. ( ) (5)已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.( ) √ √ √ 作者编号:32006 随堂小测 2、 不等式( ≥2成立的前提条件为( ) A. ≥ B.> C. ≤ D. 3、 下列不等式正确的是 ( ) A.+ ≥2 B.(-)+(-)≤-2 C. ≥2 D. ≤-2 B C 作者编号:32006 随堂小测 4、若0<<1,0<<1,且≠,则,2,2,中最大的是 ( ) A. B.2 C.2 D. D 5、已知m=(>2),n=4- (≠0),则m,n之间的大小关系是 ( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定 A 作者编号:32006 方法提炼 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的条件,合理拆项或配凑.在拆项或配凑的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能. 作者编号:32006 随堂小测 6、(1)已知 >2,求的最小值; 解:∵ >2,∴ -2>0 ∴ = -2+ ≥ 2 +2=6 当且仅当 -2= ,即=4时,等号成立. ∴的最小值为6 作者编号:32006 随堂小测 6、(2)已知0< <,求的最大值; 解:∵0< <,∴>0 ∴=≤ = 当且仅当 =1- ,即=时,等号成立. ∴的最大值为 作者编号:32006 随堂小测 6、(3)已知 >0,>0,且 ,求的最小值; 解:∵ >0,>0,且 ∴=()()=10+ ≥10+2 =18 当且仅当 ,即时,等号成立. 故当,时,的最小值18. 作者编号:32006 方法提炼 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题: (1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化,以及等式中常数的调整,做到等价变形. (2)代数式的变形,以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 作者编号:32006 课堂总结 基本不等式 定义 ≤ 几何解释 A B D C E 证明方法 作差法、分析法 证明、求最值 一正二定三相等 作者编号:32006 $