精品解析：陕西省榆林市府谷县2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷

府谷县2020～2021学年度第一学期期中调研试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷共4页，总分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的准考证号、姓名及考场号． 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答；选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的．） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 4. 一元二次方程配方后化为（ ） A B. C. D. 5. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）． A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ） A. 2∶5 B. 2∶3 C. 3∶5 D. 3∶2 8. 如图，在矩形中，点在上，且平分，，，的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 10. 如图，已知正方形的边长为2，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共90分） 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 已知，且与相似比，若，则______． 12. 分别写有数字、、的三张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取两张卡片，两张都抽到无理数的概率是________． 13. 《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为_________． 14. 边长为1的正方形，在边上取一动点E，连接，作，交边于点F，若的长为，则的长为____________________． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 在一个不透明袋子里有1个红球，1个黄球和个白球，它们除颜色外其余都相同，从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该试验，经过大量试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求的值. 17. 如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长． 18. 如图，的顶点A是线段的中点，，连接、，分别交、于M、N，连接，求证：． 19. 2021年我省开始实施“”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治（A）、地理（B）、化学（C）、生物（D）四门科目中任选2门选到化学（C）、生物（D）的概率． 20. 如图，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，求证：四边形是正方形． 21. 如图，在甲、乙两座楼中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明、小光视线所及位置如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②（，，），小明从点可以看到点处，小光从点可以看到点处，点是中点，院墙高5米，米，米，分别求小明、小光两人的观测点到地面的高度、． 22. 如图，四边形中，平分，，E为的中点． （1）求证：； （2）连接交于点F，求证：． 23. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，； （1）求证：四边形为菱形． （2）连接，若，求的长． 24. 如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC的长度不大于墙长． ⑴可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?如果不能，请说明理由． ⑵可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？如果不能，请说明理由． 25. 如图，在正方形中，，交、于、，交于、． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷县2020～2021学年度第一学期期中调研试题 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷共4页，总分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的准考证号、姓名及考场号． 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答；选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的．） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照系数化1、开平方的步骤求解即可. 【详解】系数化1，得 开平方，得 故答案为B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解,熟练掌握,即可解题. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理逐一判定后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，原命题错误，故此选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题错误，故此选项不符合题意； C、有三个角为直角的四边形为矩形，正确，故此选项符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大． 3. x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先把x=1代入方程x2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b的值即可． 【详解】将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0， ∴a﹣2b＝﹣1， ∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 即． 故选：A 【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）． A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，由三角形中位线定理可得，再由菱形的性质即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：D． 6. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴， A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D、添加不能证明，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ） A. 2∶5 B. 2∶3 C. 3∶5 D. 3∶2 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出＝，由AB∥CD可得出，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD． ∵DE∶EC＝2∶3， ∴＝＝＝． ∵AB∥CD， ∴， ∴＝＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，点在上，且平分，，，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形性质可得，，由角平分线定义和直角三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推论是解答本题的关键． 9. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况．因为一元二次方程有两个实数根，所以且，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即且， ∴且． 故选：C． 10. 如图，已知正方形的边长为2，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°，由折叠的性质得到∠BFE=∠BFM=90°，证明Rt≌Rt，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF，由余角的性质得到∠MFD=∠MDF，于是求得MF=MD，得MF=MD=MC=1，AE=EF=x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°， ∵将沿直线BE对折得到， ∴∠BFE=∠BFM=90°，AB=BF=BC， 在Rt与Rt中， ， ∴Rt≌Rt（HL）， ∴MF=MC， ∴∠MFC=∠MCF， ∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°， ∴∠MFD=∠MDF， ∴MD=MF=MC， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴MF=MC=DM=1， 设AE=EF=x， ∵， 即 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第二部分（非选择题，共90分） 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 已知，且与相似比为，若，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可解得答案． 【详解】解：，且与相似比为， ， ， ． 故答案为：20． 12. 分别写有数字、、的三张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取两张卡片，两张都抽到无理数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两张都抽到无理数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 由图可知所有等可能的结果共有6种情况数，其中两张都抽到无理数的2种， 则两张都抽到无理数的概率是； 故答案为：. 【点睛】此题考查画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 13. 《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形田地的长为x步，则宽为步．根据面积为864，即可列出方程．本题考查了一元二次方程的应用，审清题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 根据矩形面积长宽，得：， 故答案为：． 14. 边长为1的正方形，在边上取一动点E，连接，作，交边于点F，若的长为，则的长为____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形与相似三角形．熟练掌握正方形的性质，直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 由正方形的性质结合直角三角形性质可得出，结合可得出，可证出，再利用相似三角形的性质可求出CE的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 故答案为：或． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该方法是解题的关键． 根据因式分解法解题即可． 【详解】解： 或 解得：，． 16. 在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和个白球，它们除颜色外其余都相同，从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该试验，经过大量试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求的值. 【答案】2 【解析】 【分析】根据“摸到白球的频率稳定于0.5左右”利用概率公式列方程计算可得； 【详解】解：根据题意，得， 解得 答：的值是2. 【点睛】本题考查了用频率估计概率和概率公式，掌握概率公式是解题的关键. 17. 如图，在中，于D，M、N分别是、的中点，连接、，若，求四边形的周长． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据于D，M、N分别是、的中点， 可知，，那么，从而得出答案． 【详解】解：∵在中，于D，M、N分别是、的中点， ∴，， ， ∴， ∴四边形的周长为10． 18. 如图，的顶点A是线段的中点，，连接、，分别交、于M、N，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知，，从而有，，结合，推出，，结合，推出，根据相似三角形对应角相等，可知，从而得证． 【详解】证明：点A是线段的中点， ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 19. 2021年我省开始实施“”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治（A）、地理（B）、化学（C）、生物（D）四门科目中任选2门选到化学（C）、生物（D）的概率． 【答案】 【解析】 【分析】从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】设思想政治为 A， 地理为 B，   化学为 C， 生物为 D，画出树状图如下： ∵共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种 ∴P（选中化学、生物）==． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性，求出相应的概率． 20. 如图，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点分别作于点，于点，证明四边形为正方形，则，，证明，得到，即可得到结论． 【详解】证明：如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 21. 如图，在甲、乙两座楼中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明、小光视线所及位置如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②（，，），小明从点可以看到点处，小光从点可以看到点处，点是的中点，院墙高5米，米，米，分别求小明、小光两人的观测点到地面的高度、． 【答案】小明、小光两人观测点到地面的距离分别是30米、10米 【解析】 【分析】首先由题意可证得与，又由相似三角形的对应边成比例与点B是的中点，墙高5米，米，米，即可求得与的高，则可求得答案． 【详解】解：由题意可知． 又为公共角， ． ． 米，点是的中点， 米， 米，米， ， （米）． 为公共角， ， ， （米）， 答：小明、小光两人的观测点到地面的距离分别是30米、10米． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．解题的关键是根据实际问题抽象出几何知识，再由几何知识解题，还要注意数形结合思想的应用． 22. 如图，四边形中，平分，，E为的中点． （1）求证：； （2）连接交于点F，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 23. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，； （1）求证：四边形为菱形． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． （1）由，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）连接，先根据对角线互相垂直的四边形是菱形证四边形为菱形，再利用菱形的性质，结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 由（1）得：四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形菱形， ∴， ∵， ∴． 24. 如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC的长度不大于墙长． ⑴可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?如果不能，请说明理由． ⑵可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？如果不能，请说明理由． 【答案】(1).羊圈的边长AB是20米、BC为20米．(2)不能 【解析】 【分析】（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程． （2）把640代入解析式，即可解答． 【详解】(1).解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得（100﹣4x）x=400， 解得x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的边长AB是20米、BC为20米． (2)不能，（100﹣4x）x=640，因为方程无实数根． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程． 25. 如图，在正方形中，，交、于、，交于、． （1）求证：； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）易证∠BAG=∠AHD，∠ABD=∠ADB=45°，即可证明△ABG∽△HDA，可得，即可得出结论； （2）首先连接AC，由正方形ABCD，∠EAF=45゜，易证得∠ACE=∠ADN=∠CAD=45°，AC=AD，继而可得∠EAC=∠NAD，则可证得△EAC∽△NAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论； （3）根据两边的比相等，且夹角相等证明△GAH∽△EAF，得＝，所以EF=GH． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD， ∵∠EAF=45° ∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH， ∴∠BAG=∠AHD， 又∵∠ABD=∠ADB=45°， ∴△ABG∽△HDA， ∴， ∴BG•DH=AB•AD=AD2； （2）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°， ∴AC=AD， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAF=∠CAD， ∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF， ∴∠EAC=∠GAD， ∴△EAC∽△GAD， ∴＝， ∴CE=DG； （3）由（2）得：△EAC∽△GAD， ∴ ＝， 同理得：△AFC∽△AHB， ∴ ＝， ∴＝， ∴， ∵∠GAH=∠EAF， ∴△GAH∽△EAF， ∴＝， ∴EF=GH． 【点睛】此题考查相似三角形判定和性质，常运用两角相等判定两三角形相似，并熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质，第三问有难度，证明△GAH∽△EAF是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $