精品解析：北京市十一学校2020-2021学年八年级上学期开学数学试卷

2020-2021学年北京市十一学校八年级（上）开学数学试卷 一、填空题（每空3分，共30分） 1. 下列各式：，，，其中分式有_______个． 2. 分式当_____时分式的值为零，当_____时，分式有意义． 3. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______米 4. 若分式的值为正数，x的取值范围是__． 5. 若整数m使为正整数，则m的值为____________． 6. 将分式改写成两个分式的乘积形式是__． 7. 若分式方程无解，则a=_____________. 8. 已知，则___________________，_______． 二、计算题：（每题5分，共25分） 9. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 三、解分式方程（每题5分共15分） 10. （1）； （2）； （3）解关于的方程：． 四、解答题：（每题6分，共30分） 11. 已知，求的值． 12. 已知，试确定A，B的值． 13. 已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 14. 关于的方程去分母转化为整式方程后产生增根，求的值． 15. 车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少12分钟，问两组每小时各加工多少个件？ 一、填空题（每题3分，共60分） 16. 若，则_________． 17. ________________． 18. _________． 19. 计算：______． 20. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据图写出一个代数恒等式是:__________. 21. 用如图所示的大小正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的矩形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张． 22. 若一个单项式与的积为，则这个单项式为________． 23. 若，且，则值是________． 24. 如图，中，，平分，，则的面积是____________． 25. 如图，E是的中点，平分，，则________． 26. 如图，，且∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，∠CFD=___________°． 27. 如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则_____． 28. 若是一个完全平方式，则________． 29. 已知实数a，b满足，则______． 30. 已知一个三角形的两边长分别为4和5，则第三边长x的取值范围是_____． 31. 在中，，则是_____三角形． 32. 如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成________个三角形（用含n的代数式表示）． 33. 凸六边形的对角线条数为_____条． 34. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是_______． 35. 如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为__________． 六、解答题（共6小题，满分41分） 36. 计算： （1）． （2）． 37. 化简后求值：， 其中： 38. 如图：中，、平分和，若，求的度数． 39. 已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 40. 如图，为的平分线，于，，，试说明：． 41. 如图，已知：，，AE是的中线，求证：． 一、选择题、填空题（本题共12分） 42. 在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A. B. C. D. 43. 一个自然数的n次方（n＝1，2，3，…）的末位数字是按照一定规律变化的．末位数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的n次方后的末位数字如表所示． 末尾数字的n次方 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1次方 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2次方 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 3次方 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 4次方 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 5次方 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … … … … … … … … … … … 那么的末位数字是_____． 三、解答题（本题共28分） 44. 对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，中，是线段的投影点的是 ； （2）已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； （3）已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 45. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，直线过点O． （1）求证：； （2）直接写出线段、的等量关系 ； （3）M和N是坐标轴上两个动点，M从A出发，沿路线运动，速度为1，到B点处停止；动点N从B出发，沿运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点G，于点F．请直接写出时M点的坐标 ． 46. 如图1，A、C是平面内的两个定点，∠BAC=20° ，点P为射线AB 上一动点，过点P作PC的垂线交直线AC于点D．设∠APC的度数为x°，∠PDC的度数为y°．小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如图1，当x=40°时，依题意补全图形： （2）在图2中，按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格： x° 40 60 80 100 y° （3）在平面直角坐标系xOy中， ①描出表中各组数值所对应的点（x， y）； ②通过研究①中点构成的图象，当y=50时， x的值为_________； （4）用含x的代数式表示y为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年北京市十一学校八年级（上）开学数学试卷 一、填空题（每空3分，共30分） 1. 下列各式：，，，其中分式有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：、、的分母中含有字母，属于分式．共有3个分式． 故答案为：3． 2. 分式当_____时分式的值为零，当_____时，分式有意义． 【答案】 ①. x=﹣3 ②. x≠##x≠0.5 【解析】 【详解】解：∵分式， ∴，解得x=−3， 故答案为：x=−3； ∵分式有意义， ∴1−2x≠0，解得x≠. 故答案为x≠0.5． 3. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______米 【答案】3.4×10-7 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】0.00000034=3.4×10-7， 故答案为：3.4×10-7． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 若分式的值为正数，x的取值范围是__． 【答案】或； 【解析】 【分析】根据分式的值为正数可列不等式组，解不等式组可求解x的取值范围． 【详解】由题：∵ 分式的值为正数， ∴或 解得：或； 故填：或． 【点睛】本题考查分式的定义及性质，重点在理解分式正负情况的分类讨论． 5. 若整数m使为正整数，则m的值为____________． 【答案】0，1，2，5 【解析】 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵为正整数， ∴是6的正因数， 即，2，3，6． 解得，1，2，5， 故答案为：0，1，2，5． 6. 将分式改写成两个分式的乘积形式是__． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】 【详解】， 故答案为：（答案不唯一）． 7. 若分式方程无解，则a=_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】先通过去分母，把分式方程化为整式方程，求出，根据分式方程无解，可得是分式方程有增根，进而即可求解． 【详解】， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即：8-a=4， ∴a=4． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，学会去分母，把分式方程化为整式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义：使分式方程的分母等于零的根，是解题的关键． 8. 已知，则___________________，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，根据求出，，再变形后代入，即可求出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 除以a得：， ∴两边平方得：， ∴， ∵， ∴， ∴两边乘以2得：， ∴， 故答案为：，． 二、计算题：（每题5分，共25分） 9. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4）1 （5） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，梳理掌握计算顺序和计算法则是解题的关键； （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减可得； （2）先计算乘方、将除法转化为乘法，再约分即可得； （3）先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可得； （4）先利用乘法分配律展开，再计算加减可得； （5）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 三、解分式方程（每题5分共15分） 10. （1）； （2）； （3）解关于的方程：． 【答案】（1）；（2）无解；（3） 【解析】 【分析】（1）分式方程两边同乘(x-1)(2x+3)，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程两边同乘(x+2)(x-2)，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （3）分式方程两边同乘abx，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1） 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2） 去分母得：， 解得：， 经检验是增根， ∴分式方程无解； （3） 去分母得：，即， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 四、解答题：（每题6分，共30分） 11. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式运算先得到，再整体代入即可． 【详解】解：， ， 则， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的运算及性质，解题关键是把已知的等式变形，得到与要求的代数式相关的式子，然后整体代入． 12. 已知，试确定A，B的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． 13. 已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 14. 关于的方程去分母转化为整式方程后产生增根，求的值． 【答案】－10或－4 【解析】 【分析】方程两边同时乘以将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可. 【详解】解：方程两边同乘以，得， 当时，， 关于的方程的增根为， 当时，； 当时，， 故的值为或． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数. 15. 车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少12分钟，问两组每小时各加工多少个件？ 【答案】甲组每小时加工1250个零件，乙组每小时加工1000个零件 【解析】 【分析】设乙组每小时加工个零件，则甲组每小时加个个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少12分钟，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙组每小时加工个零件，则甲组每小时加个个零件， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲组每小时加工1250个零件，乙组每小时加工1000个零件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 一、填空题（每题3分，共60分） 16. 若，则_________． 【答案】1999 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法法则，掌握同底数幂的相乘、底数不变、指数相加为解题的关键． 由同底数幂相乘的运算法则以及已知条件列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：1999． 17. ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式的法则计算可得． 【详解】解：， 故答案为：． 18. _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，掌握相关公式是解题的关键；先算乘方，再算乘法，即可得出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 19. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了平方差公式，能熟练运用平方差公式进行整式的乘法是本题的关键． 20. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据图写出一个代数恒等式是:__________. 【答案】2a(a+b)=2a2+2ab 【解析】 【详解】解：长方形的面积等于：2a(a+b)， 也等于四个小图形的面积之和： 即 故答案为： 21. 用如图所示的大小正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的矩形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张． 【答案】 ①. 2 ②. 3 ③. 1 【解析】 【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可作出判断． 【详解】解：长为，宽为的矩形面积为， A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， 则可知需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张． 故答案为：2；3；1． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 22. 若一个单项式与的积为，则这个单项式为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 23. 若，且，则值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 24. 如图，中，，平分，，则的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 如图，E是的中点，平分，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，垂足为F．由三角形的内角和定理求得，由角平分线的定义可知，由平行线的判定定理可知，由平行线的性质可求得，由角平分线的性质可知，则，根据可证明，从而得到． 【详解】解：过点E作，垂足为F． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故选答案为． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得是解题的关键． 26. 如图，，且∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，∠CFD=___________°． 【答案】95 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAB，进而可求出∠CAB=55°，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴∠EAD=∠CAB， ∵∠EAB=120°，∠CAD=10°， ∴∠EAD=∠CAB=55°， ∴∠CFD=∠FAB+∠B=10°+55°+30°=95°， 故答案为：95． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键． 27. 如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则_____． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理和外角性质，先根据三角形的内角和定理，结合已知求得、的度数，再根据折叠性质求得，的度数，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠性质得，， ∴， 故答案为：80． 28. 若是一个完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方式的定义即可求出k的值，熟练掌握完全平方式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， 故答案为：． 29. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 30. 已知一个三角形的两边长分别为4和5，则第三边长x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理，求出第三边范围； 【详解】由三角形的三边关系可知： ， 则， 第三边长x的取值范围： ， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即第三边大于两边之差，小于两边之和；解题的关键是列出第三边的范围． 31. 在中，，则是_____三角形． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理结合已知列式求出的度数，进而得出和的度数，然后可得答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟知三角形的内角和是是解题的关键． 32. 如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成________个三角形（用含n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线的概念，掌握过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形成为解题的关键． 根据从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形．故过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形． 【详解】解：过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形， 故答案为． 33. 凸六边形的对角线条数为_____条． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形有条对角线进行求解即可． 【详解】解：凸六边形的对角线条数为条， 故答案为：9． 34. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是_______． 【答案】15##十五 【解析】 【分析】本题考查多边形得内角和，根据多边形的内角和公式，进行求解即可． 【详解】解：设所求n边形边数为n， 则， 解得． 故这个多边形的边数是15． 故答案为：15． 35. 如图，的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交于T，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于T， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ∴， 的面积为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题． 六、解答题（共6小题，满分41分） 36. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的简便运算，整式的混合运算，完全平方公式，掌握算理是解决问题的关键． （1）把化为，然后利用完全平方公式计算； （2）利用完全平方公式展开，然后去括号后合并即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 37. 化简后求值：， 其中： 【答案】，19 【解析】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式，把代数式去括号，合并同类项，从而将整式化为最简形式，然后把a、b的值代入即可． 【详解】解：原式 当，时，原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 38. 如图：中，、平分和，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，则，然后把的度数代入计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴． 39. 已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【答案】 证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【解析】 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略 40. 如图，为的平分线，于，，，试说明：． 【答案】 解：∵， ∴， ∵为的平分线，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以求出结论． 【详解】略 41. 如图，已知：，，AE是的中线，求证：． 【答案】 证明：延长AE至F，使EF =AE，连接BF． 在与中， ， ， ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】延长AE至F，使EF =AE，连接BF，于是证得△AED≌△FEB，根据全等三角形的性质得到BF=DA，∠FBE=∠ADE，推出∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，证得△ABF≌△CDA，于是得到AC=AF，等量代换即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 一、选择题、填空题（本题共12分） 42. 在互联网时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个学生身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生的编号，其编号为，如图第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，编号为（其中），表示该生的编号为28，下面表示编号为10的学生的识别图案是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中的转换方法，利用有理数的乘方法则逐项计算是解题的关键；根据编号的转换方法，将四个选项中的识别图案转换成编号，取其编号为10的选项即可得出结论． 【详解】解：A、； B、； C、； D、． 故选：C． 43. 一个自然数的n次方（n＝1，2，3，…）的末位数字是按照一定规律变化的．末位数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的n次方后的末位数字如表所示． 末尾数字的n次方 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1次方 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2次方 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 3次方 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 4次方 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 5次方 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … … … … … … … … … … … 那么的末位数字是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中末位数字的变化规律，求出相应数字的末位数字．根据表格中的数据和所求的数据，可以发现所求数据n次方后末位数字的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：∵2018的末尾数字是8，末位数字是8的n次方后的末位数字为：8，4，2，6，8，4，2，6…，， ∴的末位数字与周期（8，4，2，6）中的第4个数字相同，为6， ∴的末位数字是6， 故答案为：6． 三、解答题（本题共28分） 44. 对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）在点，，中，是线段的投影点的是 ； （2）已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； （3）已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）M，N （2）见解析 （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形综合，理解新定义，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）画图后根据定义可以判定； （2）根据点，，如图2所示，区域内的每个点均为三边的投影； （3）分两种情况：①n在m的下方，②n在m的上方，先根据平移3个单位确定与x轴的交点坐标，作m的平行线n，n与x轴的交点为E，确定Q，过Q作x轴的垂线，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1所示：，垂足为D，过M作的垂线，垂足为M，都在线段上， 所以线段的投影点的是：M，N； 故答案为：M，N； 【小问2详解】 解：如图2所示，图中阴影部分即为所求； 【小问3详解】 解：存在点Q， 分两种情况： ①当n在m的下方时，如图3， ∵，， ∴过点作直线的平行线，平行线交x轴于E，则，交y轴于点， 过B作直线，交平行线n于Q，点Q即为所求， 过Q作轴于P，则P为E、B中点，， ∴， ∴， ∴； ②当直线n在直线m的上方时，如图4， 同理得； 综上，点Q的坐标为或． 45. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，直线过点O． （1）求证：； （2）直接写出线段、的等量关系 ； （3）M和N是坐标轴上两个动点，M从A出发，沿路线运动，速度为1，到B点处停止；动点N从B出发，沿运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点G，于点F．请直接写出时M点的坐标 ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据全等三角形的判定定理得结论； （2）由全等三角形的性质得，再证明，便可得出结果； （3）设运动的时间为t秒，（i）当点M、N分别在y轴、x轴上时（ii）当点M、N都在y轴上时，（iii）当点M在x轴上，N在y轴时，分为若二者都没有提前停止，或者当点N提前停止时，分别列方程即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 设运动的时间为t秒， （i）当点M、N分别在y轴、x轴上时得：，解得（秒）， ∴， 此时点M的坐标为； （ii）当点M、N都在y轴上时得：，解得（秒）， ∴， 此时点M的坐标为， （iii）当点M在x轴上，N在y轴时，若二者都没有提前停止，则得：，解得（秒）不合题意； 当点N提前停止时，有，解得（秒）， ∴， 此时点M的坐标为； 综上所述：时M点的坐标或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，动点问题等知识；熟练掌握三角形全等的判定和性质以及利用数形结合的思想是解题关键． 46. 如图1，A、C是平面内的两个定点，∠BAC=20° ，点P为射线AB 上一动点，过点P作PC的垂线交直线AC于点D．设∠APC的度数为x°，∠PDC的度数为y°．小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如图1，当x=40°时，依题意补全图形： （2）在图2中，按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格： x° 40 60 80 100 y° （3）在平面直角坐标系xOy中， ①描出表中各组数值所对应的点（x， y）； ②通过研究①中点构成的图象，当y=50时， x的值为_________； （4）用含x的代数式表示y为： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②20或120；（4） 【解析】 【分析】（1）依题意补全的图形即可； （2）当x=40°时，即∠APC=40°，从图1看∠APD=90°，∠PAD=∠BAC=20°，则∠PCD=∠PAD+∠APC=60°，则∠PDC=90°-60°=30°=y，同理可得：x=60时，y=10，x=80时，y=10，x=100时，y=30，即可求解； （3）①描点连线绘出函数图象如图2；②从图上看，当y=50时，x=20或120； （4）分x＞70和x＜70两种情况，用待定系数法即可求解． 【详解】解：（1）依题意补全的图形如图1： （2）当x=40°时，即∠APC=40°， 从图1看∠APD=90°，∠PAD=∠BAC=20°， ∴∠PCD=∠PAD+∠APC=60°， 则∠PDC=90°-60°=30°=y， 同理可得：x=60时，y=10，x=80时，y=10，x=100时，y=30， 填表如下： x° 40 60 80 100 y° 30 10 10 30 （3）①描点连线绘出函数图象如下（图2）： ②从图上看，当y=50时，x=20或120， 故答案为20或120； （4）当x＞70时，从图象看，函数为一次函数，设函数的表达式为y=kx+b， 将（70，0）、（80，10）代入上式并解得， 故函数的表达式为y=x-70； 当x＜70时， 同理可得：函数的表达式为y=-x+70， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类题目主要根据给定的表格，确定未知点的坐标，画出函数图象，利用函数图象和函数关系，解相关数据的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $