专题01 根的判别式和根与系数的关系分类训练（7种类型66道）-2025-2026学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

弈泓共享数学 专题01 根的判别式和根与系数的关系分类训练 （7种类型66道） 目录 【题型1 判断根的情况】 1 【题型2 利用根与系数的关系求值】 2 【题型3 利用根与系数关系求另一根】 3 【题型4 利用根与系数关系求参数】 3 【题型5 利用根与系数关系求参数】 4 【题型6 利用根与系数关系求参数范围】 5 【题型7 根的判别式与根与系数的关系综合】 5 【题型1 判断根的情况】 1．关于的方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 2．一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 4．关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 5．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 8．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用根与系数的关系求值】 11．已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 12．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 13．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 14．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 16．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 18．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 19．设、是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【题型3 利用根与系数关系求另一根】 21．若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 22．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 23．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 24．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 25．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 26．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 27．关于的方程的一个根为，则另一个根是（　　） A．1 B．5 C． D． 28．已知一元二次方程的一个根为1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．2 29．若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（    ） A． B．6 C．1 D．4 30．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型4 利用根与系数关系求参数】 31．方程的两实数根的和是，则k的值是（   ） A．3 B． C．0 D．1 32．已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 33．已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（   ） A． B． C．4 D．6 34．已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 35．若一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D． 36．已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 37．的两实根平方和比两实根之积大19，则k为（   ） A． B．或9 C．9 D． 38．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 39．设是关于的方程的两个根，且，则的值为（） A．2 B．3 C．0 D． 40．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根，若的值是，则k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型5 利用根与系数关系求参数】 41．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 ． 42．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 43．如果关于的方程有两个实数根，那么的最小整数值是 ． 44．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ． 45．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 46．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 47．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 48．若关于的一元二次方程 有实数根，则的一个值可以是 ．（写出一个即可） 【题型6 利用根与系数关系求参数范围】 49．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 50．关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． 51．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 52．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 53．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 54．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 55．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 56．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【题型7 根的判别式与根与系数的关系综合】 57．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是2，求另一个实数根和k值． 58．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 59．已知：关于的一元二次方程（是整数）． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 60．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 61．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 62．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 63．已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 64．已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 65．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 66．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题01 根的判别式和根与系数的关系分类训练 （7种类型66道） 目录 【题型1 判断根的情况】 1 【题型2 利用根与系数的关系求值】 5 【题型3 利用根与系数关系求另一根】 10 【题型4 利用根与系数关系求参数】 13 【题型5 利用根与系数关系求参数】 19 【题型6 利用根与系数关系求参数范围】 22 【题型7 根的判别式与根与系数的关系综合】 25 【题型1 判断根的情况】 1．关于的方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据题意求出，再判断根的情况即可. 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根. 故选：B. 2．一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】先确定方程中、、的值，再计算根的判别式，根据与的大小关系来判断即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式 及根据其值判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：方程中，，， ， 方程有两个不相等的实数根 故选：D ． 5．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 6．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．计算出根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：变形为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．定义运算：，例如：．则方程的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 【详解】解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 9．方程的根的情况是（   ） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 10．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键．先求出的值，再比较出其与0的大小关系即可解答． 【详解】解：A．，有两个相等的实数根，不符合题意； B．∵， ∴或， ∴，， ∴有两个不相等的实数根，符合题意； C．∵， ∴此方程无解，不符合题意； D．方程整理得， ， ∴此方程无解，不符合题意， 故选：B． 【题型2 利用根与系数的关系求值】 11．已知一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 12．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 13．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是， ∴，， ∴， 故选：A． 14．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：B． 15．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 16．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 17．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：． 18．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 19．设、是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，得出，然后结合，得出，即可作答． 【详解】解：由条件可知，， ， 则， 故选：A． 20．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 【题型3 利用根与系数关系求另一根】 21．若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．可设另一个根为t，根据根与系数关系得到，然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设另一个根为t， 根据题意得， 所以， 故选：C． 22．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 23．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则．设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，得， 解得． 故选：． 24．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是1， 故选：C． 25．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．由根与系数的关系知，两根之和为5，可得另一个根为7． 【详解】解：方程有一个根是， 根据一元二次方程的根与系数的关系可知，两根之和为5， 则另一个根为7． 故选：A． 26．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，计算即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 27．关于的方程的一个根为，则另一个根是（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个根为，根据两根之积等于即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则有， 解得 ． 故选：C． 28．已知一元二次方程的一个根为1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为． 故选：D 29．若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（    ） A． B．6 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解． 此题也可先将代入方程中，求出k的值，再将k代入原方程，求方程的另一根，即可解答． 【详解】解：将是一元二次方程得 ， 解得， ∴原方程可化为， 解得 则另一个根为． 故选：A． 30．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根为， ∵方程有两个实数根，其中一个根是（）， ∴， ∴， 故选：D． 【题型4 利用根与系数关系求参数】 31．方程的两实数根的和是，则k的值是（   ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），注意判别式隐含的实数根存在条件是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数，一次项系数， 解得：， 当，，符合题意． 故选： A． 32．已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的两根互为相反数，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：设、是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程的两根互为相反数， 可得：， ， 解得：． 故选：B ． 33．已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，设两个根是，再根据两根之和求出a，然后根据两根之积求出答案． 【详解】解：由题意，得， 设两个根是， 则， 解得， ∴这两个根是， ∴， 解得． 故选：C． 34．已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ，， ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：A． 35．若一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：是的两根，则，．设一元二次方程的另一个根为，则，，计算求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， ∵， ∴，， 解得，，， 故选：B． 36．已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：D． 37．的两实根平方和比两实根之积大19，则k为（   ） A． B．或9 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系用含的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的平方和比两根之积大19的等式中，求出的值，对不在取值范围内的值要舍去．根据根与系数的关系，得到关于的方程，求出的值，再由判别式把使方程没有根的的值舍去． 【详解】解：， ，， ， ， ， 解得或， ， ． （舍去）， ， 故选：D 38．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 39．设是关于的方程的两个根，且，则的值为（） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则．根据题意得，结合，可求出；将代入方程可求得，分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的方程的两个根， ∴， ∴ ∴ 解得： 将代入方程得： 解得： 当时，方程的两个根为，不满足； 当时，方程的两个根为，满足； 故选：A 40．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根，若的值是，则k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系及分式的化简，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， a，b是关于x的一元二次方程的两根， ， ， 故答案为：A． 【题型5 利用根与系数关系求参数】 41．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题时能根据方程根的情况建立关系式是关键． 依据题意，由方程有两个相等的实数根，从而，进而计算可以得解． 【详解】解： 方程有两个相等的实数根， 故答案为： 42．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查根的判别式，利用方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于的方程，即可求得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得， 故答案为：1． 43．如果关于的方程有两个实数根，那么的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解有两个实数根就是指，根据题目意思可知，解即可求，从而求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的最小整数值是． 故答案为：． 44．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次方程求解，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据题意列出，解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 45．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 46．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，由根的判别式得，即可求解；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 47．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 48．若关于的一元二次方程 有实数根，则的一个值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要 即可） 【分析】本题考查了判断一元二次方程根的情况，根据平方的非负性质可知方程的左侧，所以只要方程就有实数根，所以只要选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：一元二次方程 有实数根， ， 解得：， 则的一个值可以是（答案不唯一，只要即可）． 故答案为：． 【题型6 利用根与系数关系求参数范围】 49．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据题意令根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 50．关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的判别式，明确一元二次方程二次项的系数不为0．由题意知，且，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程，即有两个实数根， ∴且， 解得，且， 故答案为：且． 51．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据题意得到一元二次方程根的判别式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 52．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义可得，根据题意可得，一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：． 53．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，求解得出的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：． 54．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 55．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 56．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．由新定义得，然后根据关于x的方程k※有两个不相等的实数根得出且求解即可． 【详解】解：※， ，即， 关于x的方程k※有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 【题型7 根的判别式与根与系数的关系综合】 57．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是2，求另一个实数根和k值． 【答案】(1)见解析 (2)方程另一个根为，k的值为 【详解】（1）证明：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得， 解得， ∴原方程为 设方程另一个根为t，则， ∴， ∴方程另一个根为，k的值为． 58．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：当时，方程变为， 即， ∴或， ，； （2）解：根据题意， 解得； （3）解：根据题意得，， 而， ， ， ． 59．已知：关于的一元二次方程（是整数）． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，判断是否为变量的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是；是变量的函数，函数解析式为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式．熟练掌握一元二次方程根的判别式以及求根公式是解题的关键． （1）计算根的判别式并判断其正负来证明方程根的情况； （2）先利用求根公式求出方程的两个根，再根据已知条件确定，，进而得出关于的函数解析式． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， ， 化简得：， 是整数， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：是 在方程中， ， 当取正号时，， 当取负号时，， 是整数， ，则， ， ，， ， 是变量的函数，函数解析式为：． 60．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的关系． （1）证明根的判别式，可得结论； （2）将代入方程，根据根与系数的关系得到，再代入代数式求值． 【详解】（1）， 无论k为何值，，即， 关于x的一元二次方程都有实数根； （2）当时，原方程为，则， ． 61．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的其中一个根是1，求k的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)，方程另一个根为 (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，根与系数关系等知识．熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值，再根据根与系数关系求出方程的另一个根即可； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于k的一元一次不等式，求出，然后根据一元二次方程的定义得到，进而可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ； ∴方程为， 设方程的另一个根为，则， ∴， 即方程另一个根为； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴k的取值范围为且． 62．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入法列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 63．已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数关系，一元二次方程，若方程有两个不同的实根，若方程无实根，若方程有两个相同的实根；方程两根之和为，两根之积为． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用根与系数关系，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 若方程有两个实数根则， ，即， 解得． （2）根据一元二次方程有两个实数根，， 由根与系数关系可知： ，， ，， ，即， ， ，即． 64．已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 65．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 66．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． 【详解】（1）解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； （2）解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 $