精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期9月测试数学试卷

河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期9月测试数学试卷 一、选择题 1. 下列各式中能与合并的是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 数据3，5，6，6，7的众数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，，， B. ，， C. D. 5. 王林准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则处的数可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 8. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）﹒问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：一组邻边互相垂直 B. ②：对角线相等 C. ③：对角线互相垂直 D. ④：有一个角是直角 10. 电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（ ） A. B. 可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C. 当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D. 当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是____________． 12. 二次函数的最大值为______． 13. 点（ - 2， - 3）关于原点的对称点的坐标是 _________ ． 14. 如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______． 15. 如图，在菱形中，，将线段绕点C在平面内旋转，连接，是中点，连接，G是中点，连接，则线段的最大值为_________，最小值为________． 三、解答题（共8大题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：； 17. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 18. 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（ ）（单选） A． B． C． D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与这次问卷调查的学生人数． （2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． （3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． （3）已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 20. 如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 22. 已知抛物线关于直线对称． （1）求a的值和顶点坐标； （2）若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差； （3）若点都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围__________． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动． （1）操作与猜想：在中，，点在上，以为边，在外侧作．如图1，此时与之间的数量关系为____________；与之间的位置关系为____________． （2）迁移与深究：在（1）的条件下，连接和的面积是否相等？说明理由． （3）拓展与应用：如图2，已知，点在上，，，在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期9月测试数学试卷 一、选择题 1. 下列各式中能与合并的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题关键是理解同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，将各选项化简后，判断被开方数是否与相同． 【详解】解：的被开方数为6，与不同，无法合并，故A不符合； 的被开方数为2，与相同，属于同类二次根式，可以合并，故B符合； ，被开方数为4，与不同，无法合并，故C不符合； 的被开方数为3，与不同，无法合并，故C不符合， 故选：B． 2. 数据3，5，6，6，7的众数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：数据3，5，6，6，7中，3出现1次，5出现1次，6出现2次，7出现1次． 因此，出现次数最多的数是6，故众数为6， 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A． ： 二次根式相加不能直接合并，，而，显然不等，故A错误． B． ： 根据二次根式乘法法则，，故B正确． C． ： ，而二次根式的值非负，故C错误． D． ： 根据二次根式除法法则，，故D错误． 故选：B 4. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，，， B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可 【详解】解：A、，则不能判断为直角三角形；故选项符合题意； B、，则能判断为直角三角形；故选项不符合题意； C、， ，则能判断为直角三角形；故选项不符合题意； D、， ，则能判断为直角三角形；故选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断 5. 王林准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则处的数可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，，解得，进而可得结果． 【详解】解：由题意知，，解得， ∴处的数可能是2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式．解题的关键在于正确的运算． 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 7. 已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 8. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）﹒问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长宽关系得到长为，结合面积公式即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，长为步， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 9. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：一组邻边互相垂直 B. ②：对角线相等 C. ③：对角线互相垂直 D. ④：有一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵有一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形， 故①正确； ∵矩形的对角线相等，无法说明是正方形， 故②错误； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故③正确； ∵有一个角是直角的菱形是正方形， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 10. 电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（ ） A. B. 可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小 C. 当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧 D. 当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出一次函数的解析式，再结合图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将，代入得， 解得：， ∴， 故，可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小，当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧，故ABC正确； 当时，， 解得：， 故当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为75千克，D错误， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或， ∴或， ∴被漏掉的一个根是， 故答案为：． 12. 二次函数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴当时，二次函数取得最大值，为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 13. 点（ - 2， - 3）关于原点的对称点的坐标是 _________ ． 【答案】（2，3） 【解析】 【分析】若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，根据这一特点即可求得结果． 【详解】点（−2，−3）关于原点的对称点的坐标是（2，3） 故答案为：（2，3） 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点关于原点对称的性质，是基础题，掌握此性质是关键． 14. 如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 【详解】解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，，将线段绕点C在平面内旋转，连接，是中点，连接，G是中点，连接，则线段的最大值为_________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，中位线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线．连接、交于点O，取的中点H，连接，，根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，，根据中位线的性质得出，，根据三角形三边关系得出，即可得出最大值和最小值． 【详解】解：连接、交于点O，取的中点H，连接，，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∵点H为的中点， ∴， ∴， ∵点O为的中点，F为的中点， ∴， 同理得：， 根据三角形三边关系可得：， 即， ∴线段的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 三、解答题（共8大题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元二次方程，包括零指数幂，负整数指数幂，求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行零指数幂，负整数指数幂和立方根运算，再进行加减； （2）利用配方法进行解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴ ∴． 17. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）14 （2），且 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握新定义下的实数运算． （1）根据新定义进行实数的运算即可； （2）根据新定义列出一元二次方程，根据根的判别式列出不等式，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∴， 解得，且． 18. 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（ ）（单选） A． B． C． D． 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与这次问卷调查的学生人数． （2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． （3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】（1）200人 （2）375人 （3） 解：从第二项活动可看出学生更加喜欢球类活动，建议：学校可以适当的增加有关球类活动的项目和设施．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，统计表等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据条形统计图得到参加体育活动（合体育课）的时间人数，再相加即可； （2）用1000人乘以每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数占比即可； （3）答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：这次问卷调查的学生人数为：（人）， 答：参与这次问卷调查的学生人数有200人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为人； 【小问3详解】 略. 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标；可看作以点（____________，____________）为旋转中心，旋转____________得到的． （3）已知关于直线对称的的顶点的坐标为，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】（1）即为所求； （2）即为所求；，，180 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移，图象的旋转，线段中点坐标，一次函数的解析式等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平移的性质进行画图即可，通过图形和坐标系确定点的坐标； （2）利用旋转的性质进行画图即可，通过图形和坐标系确定点的坐标，根据旋转的性质确定旋转中心； （3）根据对称点确定线段中点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：此时，， 可看作以点为旋转中心，旋转得到的， 故答案为：，，180； 【小问3详解】 解：如图所示， 因为A的坐标为，的坐标为，则线段的中点坐标为， 所以直线必过点，且直线垂直平分线段， ∵可以看作的正方形的对角线， ∴直线经过点，假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 所以直线的解析式为． 20. 如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的作图、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键． （1）过点作的垂线，在垂线上截取且点在直线下方即可； （2）过点作于点，则，证明，则，，得到，根据勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 21. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 22. 已知抛物线关于直线对称． （1）求a的值和顶点坐标； （2）若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差； （3）若点都在此抛物线上，且，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1），顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）根据对称轴公式求出a的值，将原抛物线化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）分别求出的最大值与最小值，相减即可； （3）根据二次函数的图像作答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线关于直线对称， ∴， 解得：， ∴抛物线， 即顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，最小值， 最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：∵，顶点坐标为， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，当时，，点的横坐标越接近对称轴纵坐标越小， 当在对称轴同侧时， ∵点都在此抛物线上，且， ∴， 解得， 当在对称轴异侧时，，， ∴，， 即 ∵点都在此抛物线上，且， ∴， 即， ∴， 综上所述，的取值范围是或， 故答案为：或． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动． （1）操作与猜想：在中，，点在上，以为边，在外侧作．如图1，此时与之间的数量关系为____________；与之间的位置关系为____________． （2）迁移与深究：在（1）的条件下，连接和的面积是否相等？说明理由． （3）拓展与应用：如图2，已知，点在上，，，在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长． 【答案】（1）相等，互相垂直 （2） 解：和的面积相等，理由如下： 如图所示，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点， ∴ 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴和的面积相等； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用全等三角形的性质得出相等的角和边，然后利用直角及角的和差，即可确定线段的数量关系和位置关系； （2）过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，根据条件证明，得到，然后可得三角形的面积相等； （3）分两种情况进行讨论，①作于点，根据条件证明，则，利用等腰直角三角形的性质求出相关线段的长度，再利用含角的直角三角形的性质求得，最后利用线段的和差即可求解；②在①的情况下，延长交于点，过点作，垂足为点，在上找一点，过点作，垂足为点，使，证明，得出，然后利用等腰直角三角形的性质和线段的和差进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的位置关系为互相垂直， 故答案为：相等，互相垂直； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图2，点在射线上，， ，， ， ， 在和中， ， 由（2）得，作于点，则，， ， ， ， 令，则，由勾股定理得， ∴， 解得， ， ， 的长是； ②如图，在①的情况下，延长交于点，过点作，垂足为点，在上找一点，过点作，垂足为点，使， ∴此时，， ∵， ∴， ∴， 由①得，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 综上，的长是或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $