专练(五)二次函数的图象和性质(3)—实际应用&专练(六)图形的旋转-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

专练（五） 二次函数的图身 1.如图，有一个截面边缘为 抛物线形的水泥门洞.门 洞内的地面宽度为8m, 8 m 两侧距地面4m高处各有 一盏灯，两灯间的水平距离为6m,则这 个门洞内部顶端离地面的距离为(A) A.m B.8m cgmn号m 2.某商场购进一批新型玩具.已知这种玩具 进价为17元/件，且该玩具的月销售量 y(件)与销售单价x(元/件)之间满足一 次函数关系，下表是月销售量与销售单价 的几组对应关系： 销售单价x/(元/件) 20 25 30 35 月销售量y/件 3300280023001800 (1)求y关于x的函数解析式； (2)当销售单价为多少时，月销售利润最 大？最大利润是多少元？ 解：(1)设y关于x的函数解析式为y=k.x+b (k≠0)： 20k+b=3300, -100, 根据题意，得 解得 125k+b=2800, b=5300. ∴.y关于x的函数解析式为y=一100x+5300 (17≤x≤53)： (2)设月销售利润为@元，则=(x一17)（一100x +5300)=-100.x2+7000.x-90100= -100(x-35)2+32400. .-100<0, ∴.当x=35时，取得最大值，最大值为32400. 答：当销售单价为35元件时，月销售利润最 大，最大利润是32400元. 3.足球训练中，小军从球门正前方8m的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当 球离球门的水平距离为2时，球达到最 高点，此时球离地面3m.现以O为原点 建立如图所示直角坐标系. ·27 班级： 姓名： 和性质(3) 实际应用 (1)求抛物线的函数解析式： (2)已知球门高OB为2.4m,通过计算判 断球能否射进球门（忽略其他因素）. 解：(1)由题意，得抛物 y/m 线的顶点坐标为(2， B 3),经过A(8,0), x/m ∴可设抛物线的函数 解析式为y=a(x-2)2+3. 把点A(8,0)代入，得36a+3=0, 解得a=一立： 1 ·抛物线的函数解析式为y=一2红一2)+3： (2当x=0时y=2×4+3=号>2.4， 球不能射进球门. 4.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的 岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80m的围网在水库中围成了如图所示的 ①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区 域的面积相等，设BC的长度为xm,矩形 区域ABCD的面积为ym. (1)求y与x之间的函数关系式，并注明 自变量x的取值范围； (2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：(1)设AE=a,由题意，得AED ·AD=2BE·BC,AD=BC, 区域① 区 BE0,AB-多a H G 区域② ⊙ 由题意，得2x十+2X74=80, E B ∴.a=20- 2x,y=AB·BC= 2a·x= 2(20r,即y=是2+30r(0<r<40: (2).y=- x+知-红-wy+30, ∴.当x=20时，y有最大值，最大值是300. 专练（六） 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个 顶点的坐标分别为A（2,4),B(1,1), C(4,3). (1)请画出△ABC关于原点对称的 △A1BC1,并写出点A1的坐标： (2)请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后 得到的△ABC2,并写出点A的坐标 解：(1)如图，△AB,C 即为所求，点A,的 坐标为（一2，一4）； (2)如图，△ABC2 即为所求，点A2的 坐标为(4,0). 2.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线 段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段 AQ,连接BQ,BP,CP. (1)求证：CP=BQ; (2)若AP=6,BP=8,CP=10,求四边形 APBQ的面积. 解：(1)，△ABC为等边三角 形，∴.∠BAC=60°，AB=AC .线段AP绕点A顺时针旋 转60得到线段AQ, ∴.AP=AQ,∠PAQ=60°， ∴.∠BAC=∠PAQ,∴.∠BAC-∠PAB= ∠PAQ-∠PAB,即∠CAP=∠BAQ. 在△APC和△AQB中，.AC=AB,∠CAP= ∠BAQ,AP=AQ, .△APC≌△AQB(SAS),∴.CP=BQ: (2)连接PQ..AP=AQ,∠PAQ=60°， ∴.△APQ为等边三角形. AP=6,∴.PQ=AP=6. .CP=10,∴.BQ=10. .BP2+PQ=82+62=102=BQ, ∴.△BPQ为直角三角形，∠BPQ=90°. 易得SAm=号×6×35=95， Sa形m=SAm十SA阳=号X6X8+9V月 =24+9√3. ·28 图形的旋转 3.已知△CAB和△CDE均为等腰直角三角 形，∠DCE=∠ACB=90°. 发现：如图①，当点D落在AC上，点E落 在CB上时，直线AD和直线BE的位置 关系是 ;线段AD和线段BE的 数量关系是 探究：在图①的基础上，将△CDE绕点C 逆时针旋转，得到图②： 求证：AD=BE且AD⊥BE; 应用：如图③，四边形ABCD是正方形，E 是平面上一点，且AE=3,DE=√2，求CE 长的取值范围。 图① 图② 图③ 解：发现：AD⊥BEAD=BE 探究：如图②，延长BE交AC于点G,交AD于 点F .∠DCE=∠ACB=90°，∴.∠DCE-∠ACE= ∠ACB-∠ACE,即∠DCA=∠ECB. ,△CAB和△CDE均为等腰直角三角形， ∠DCE=∠ACB=90°， ∴.CD=CE,CA=CB, ∴.△CAD≌△CBE(SAS), ∴.AD=BE,∠DAC=∠EBC 又.∠BGC=∠AGF, ∴∠AFG=∠GCB=90°，.AD⊥BE: 应用：如图③，将DE绕点D顺时针旋转90°，得 线段DF,连接EF,AF 由旋转的性质，得∠EDF=90°，DF=DE=√2， ∴.EF=√DE+DF=√(2)2+（√2）2=2. ,四边形ABCD是正方形， .AD=CD,∠CDA=90°， ∴.∠ADE+∠EDF=∠ADE+∠CDA, 即∠ADF=∠CDE, ∴.△ADF≌△CDE(SAS),∴.AF=CE. ,AE-EF≤AF≤AE+EF, ∴.3-2≤AF≤3+2，即1≤AF≤5， ∴.1≤CE≤5.