6.3.1直线的方向向量与平面的法向量同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 一、基础达标 1.已知平面上两点A(1,2,3),B(-1,1,1),则下列向量是直线AB的方向向量的是(　　) A.(-1,1,1) B.(1,2,3) C.(1,2,1) D.(2,1,2) 2.在空间直角坐标系O-xyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(2,3,-2),则平面ABC的一个法向量为(　　) A.(1,-1,0) B.(1,-1,1) C.(1,0,-1) D.(0,1,1) 3.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),若AB⊂α,则(　　) A.x=6,y=2 B.x=2,y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 4.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下关系可能不成立的是(　　) A. B. C. D. 5.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任一点,则直线OA的一个方向向量为　　　　,点P的坐标满足的条件为　　　　.  6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 二、能力提升 7.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　) A. B.(1,,1) C.(1,1,1)　　 D.(2,-2,1) 8.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是(　　) A.(1,-4,2)　　 B. C. D.(0,-1,1) 9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系O-xyz,E,F分别在棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是(　　) A.(1,-1,3) B.(1,-1,-3) C.(2,-3,6) D.(-2,3,-6) 10.已知直线l1的一个方向向量a=(1,2,x),直线l2的一个方向向量b=(,y,1),若|a|=5,且l1⊥l2,则x+y=(　　) A.或- B.- C.- D. 11.(多选题)已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c为平面α的一个法向量,则(　　) A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-2 12.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为坐标原点),则点E的坐标为　　　　　　　.  13.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面DEF的一个法向量. 三、拓展探究 14.在平面几何中,直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个法向量为n=(A,B),同时平面内任意一点P(x0,y0)到直线l的距离d=.类似地,假设空间中一个平面α:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0),则它的一个法向量n=　　　　,空间任意一点P(x0,y0,z0)到它的距离d=　　　　　　　　　　　　　　.  15.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:是平面ABCD的法向量; (2)求平行四边形ABCD的面积. 参考答案 1.D　因为两点A(1,2,3),B(-1,1,1),则=(-2,-1,-2),又因为=(-2,-1,-2)与向量(2,1,2)平行,所以直线AB的方向向量是(2,1,2).故选D. 2.A　由已知得=(2,2,-2),=(3,3,-2),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), ∴取x=1,解得n=(1,-1,0),选项A符合,另外,选项B,C,D中的向量与选项A中的向量不共线.故选A. 3.C　由题意可知,·n=0,可得3x+4y+2=0. 4.C　∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA. 又AC⊥BD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BD⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD. 故选项B成立,选项A和D显然成立. 5.(1,1,1)(答案不唯一)　x+y+z=3　由题意知,OA⊥α,直线OA的一个方向向量为=(1,1,1). 因为P∈α,所以, 所以(1,1,1)·(x-1,y-1,z-1)=0, 所以x+y+z=3. 6.解 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2). (1)设平面BDD1B1的一个法向量为n=(x1,y1,z1), ∵=(2,2,0),=(0,0,2),则令x1=1,则y1=-1,z1=0,∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1,-1,0).(答案不唯一) (2)∵=(2,2,0),=(1,0,2),设平面BDEF的一个法向量为m=(x2,y2,z2),∴令x2=2,则y2=-2,z2=-1,∴平面BDEF的一个法向量为m=(2,-2,-1).(答案不唯一) 7.A　由题意,易得=(1,0,-2),=(-1,1,0), 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1), 由解得 所以n=(2,2,1). 又(1,1,)=n, 因此,平面PAB的一个法向量为(1,1,). 8.D　由题意,设n是平面α的一个法向量,易得=(0,2,4),且直线l平行于向量a,则把选项代入验证,只有选项D不满足.故选D. 9.A　设正方体的棱长为1,平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则A(1,0,0),E(1,1,),F(0,1,),所以=(0,1,),=(-1,0,),则不妨取x=1,则y=-1,z=3,故n=(1,-1,3).故选A. 10.A　因为a=(1,2,x),|a|=5,所以1+4+x2=25,解得x=±2.当x=2时,a=(1,2,2),因为l1⊥l2,所以a·b=+2y+2=0,解得y=-,x+y=.当x=-2时,a=(1,2,-2),因为l1⊥l2,所以a·b=+2y-2=0,解得y=,x+y=-. 综上,x+y=或-.故选A. 11.AC　由题意,得c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的一个法向量,得 得解得 12.(-,-)　由题意,设=t,t∈R, 则+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).因为⊥b,所以·b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=. 因此存在点E,使得⊥b, 此时点E的坐标为(-,-). 13.解 如图,连接PF,CF,因为△PAB是边长为1的正三角形,PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PF⊂平面PAB, 所以PF⊥平面ABCD.连接AC, 因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形. 又F为AB的中点,所以CF⊥AB. 综上可知,直线FB,FC,FP两两垂直,所以建立以F为原点,FB,FC,FP分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系F-xyz,如图所示. 由题意,在正三角形PAB和正三角形ABC中,FP=FC=,则F(0,0,0),D(-1,,0),P(0,0,),C(0,,0),E(0,),所以=(0,),=(-1,,0), 设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z), 则化简得 令y=2,则x=,z=-2,即n=(,2,-2),所以平面DEF的一个法向量为n=(,2,-2)(答案不唯一). 14.(A,B,C)　 15.(1)证明 =(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0, 所以AP⊥AB,AP⊥AD. 又AB∩AD=A, 所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. (2)解 因为||=, ||==2=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6, 所以cos<>=, 故sin<>=,S▱ABCD=||·||sin<>=8. 3 学科网（北京）股份有限公司 $