四川省安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

安岳中学高2023级第三学期半期考试 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分； 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 2．以下一些说法，其中正确的有（    ） A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 3．圆与圆的位置关系是（   ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 4．在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或. D．或 二、多选题（每小题6分，部分选按正确答案平均得分，多选或选错得0分，共18分） 9．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（    ） A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色 C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色 10．下面四个结论正确的是（   ） A．已知向量，，若，则为钝角 B．已知，，则向量在向量上的投影向量是 C．若直线经过第三象限，则， D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面 11．已知曲线，则（    ） A．关于轴对称 B．C关于原点对称 C．的周长为 D．直线与有个交点 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则= . 13．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 14．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为 . 四、解答题（15题13分，16题和17题每题15分，18题和19题每题17分，共77分） 15．已知空间三点，，，设 (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值． 16．求满足下列条件的直线方程. (1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程. 17．某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. (1)求的值； (2)求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 18．图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； (3)在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 19．已知圆与圆内切． (1)求的值． (2)直线与圆交于两点，若，求的值； (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若，求实数的最大值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D C C C ABD BD 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为， 所以． 故选：A． 2．C 【详解】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误； 对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误； 对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确； 对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误. 故选：C. 3．D 【详解】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 则， 由于，即， 故圆与圆的位置关系为相交． 故选：D． 4．B 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 5．D 【详解】两名男生标记为，，两名女生标记为，. 从中随机选2名参加社会实践的事件有，，，，，，共计6种. 其中两名同学性别不同的事件有，，，，共计4种， 所求概率. 故选：D. 6．C 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 7．C 【详解】在四面体中，分别为的中点，且， 所以 . 故选：C 8．C 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 9．ABD 【详解】解：6张卡片中一次取出张卡片的所有情况有： “2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”， 选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”， 其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥. 故选：ABD. 10．BD 【详解】对于A，当时，，，， 此时为，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，令，则直线为，且经过第三象限， 但此时，故C错误； 对于D，因为，， 所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确； 故选：BD. 11．ABC 【详解】 设点在曲线上，即， A选项：代入点，可知， 即点在曲线上恒成立，所以曲线关于轴对称，A选项正确； B选项：代入点，得， 即点在曲线上恒成立，所以曲线关于原点对称，B选项正确； C选项：当时，，当时，或，即 过，，三点， 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第四象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第二象限的部分； 当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第三象限的部分； 曲线在第一象限部分的方程为设圆心为，与轴的两个交点为，，则， 所以第一象限内图形所表示弧长为， 又曲线关于轴及原点对称，所以曲线的周长为，C选项正确； D选项：直线，过点，在曲线右半部分的内部， 所以与曲线右半部分有个交点，且直线不过坐标原点， 又直线当时，， 即过点，在曲线左半部分的内部， 所以直线与曲线左半部分有个交点， 综上所述直线与曲线有个交点，D选项错误； 故选：ABC. 12 1 【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，， . 故答案为：1. 13． 【详解】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 14． 【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为： 甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元， 即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题， 又每位顾客答对2题的概率为， 每位顾客答对3题的概率为， 所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为： . 故答案为： 15．(1)． (2)或． 【详解】（1）由已知，， 所以， （2）因为，， 因为与垂直， 所以，即，解得或． 所以或． 16．(1)或 (2)或 【详解】（1）当直线过原点时，可得所求直线为，即，满足题意； 当直线不过原点时，依题意可设直线的方程为，其中， 代入，可得，解得， 所以所求直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. （2）由题意，联立方程组，解得，即得， 当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率， 故直线的方程，即； 当直线过点和的中点时，因为，，可得，则， 所以直线的方程，即， 综上，满足条件的直线方程为或. 17．(1) (2). 【详解】（1）由题意得， 解得. （2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为. 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， 相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且彼此互斥. 易得. ， 所以 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 18．(1)证明见详解 (2)存在， (3) 【详解】（1）取BE的中点F，连接AF，，    因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE， 所以⊥平面ABED， 因为平面， 所以平面平面ABED； （2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，，， 即，解得：， 故， 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时. （3）由（2）可得：， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意得，， 故圆心，圆E的半径为， 因为，故在圆E上， 所以圆O的半径，且，故. （2）由（1）知，联立， 设，则恒成立， 且， 所以， 所以，解得. （3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，    所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在， 此时，， 当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补， 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即， 圆心O到直线的距离为， 故， 由直线方程得直线的方程为即， 同理得， 则， 当，， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，， 所以时，故， 所以， 当，， 由上知时，故， 所以. 综上，. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $