广东省江门市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考数学试题

江门一中 2027 届高二上学期开学考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足 (i为虚数单位)，则z的虚部为( ) A. - 3+i B. 1 C. - 3 D. i 2.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险：乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项不正确的() A.丁险种最受参保人青睐 B.随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C.30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D.30~41周岁参保人数最多 3.若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是() A. π D. 2π 4. 数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为: 94,96,98,96,95,97, 则这组数据的( ) A. 众数为98 8.平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 5.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 则 B. D.4/3 6.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是() A. 若m⊂α, n⊂β, 且α∥β, 则m∥n B.若m⊂α, n⊂β,且m⊥n,则α⊥β C.若α⊥β, α∩β=n, 且m⊥n, 则m⊥β D.若m∥n, n∥β,且m⊥α,则α⊥β 7.如图，欲测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，在C，D两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，并测得 则塔高AB为( ) B.15m D.30m 8.函数的部分图象如图中实线所示,图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中不正确的是( ) A. 函数在 上单调递减 B.函数的最小正周期是π C.函数的图象向左平移个单位后关于直线 对称 D.若圆半径为 则函数的解析式为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量=(2,1), =(1,x),则( ) A. 当∥时, B. 当 时， x=1 C.当x=1时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时, x>-2 10. 已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 则如下判断正确的是( ) A. 若A>B, 则sinA>sinB B. 若sin2A=sin2B, 则△ABC为等腰三角形或直角三角形 C. 若 则△ABC是锐角三角形 D. 若a=10,b=9,B=60°,则符合条件的△ABC有两个 11.如图，正方体 棱长为1，P是线段 上的一个动点，下列结论中正确的是( A. BP的最小值为 B.当P在A₁D上运动时，都有 C.当P在直线A₁D上运动时，三棱锥 的体积不变 D. PA+PC的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期(单位：天)分别为8，12，11，7，9，17，14, 13, 12, 15, 则这10个数据的第70百分位数是 . 13. 已知复数z满足|z-1+i|=1, 其中i为虚数单位, 则|z|的最小值为 . 14.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为整形.已知在鳖臑A-BCD中，BC=CD=4，AB⊥平面BCD，当该整臑的外接球的表面积为48π时，则它的内切球的半径为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在平行四边形ABCD中， (1)若 求3x+2y的值: (2)若 求 的值. 16. (本小题15分) 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于 40分的整数)分成六组: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], 得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数： (2)在样本答卷成绩为[70,80), [80,90), [90,100]的三组市民中, 用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在[70，80)中的市民应抽取多少人? (3)若落在[50,60)的平均成绩是57, 方差是2, 落在[60,70)的平均成绩为69, 方差是5, 求这两组成绩的总平均数₂和总方差， 参考公式： 其中为总样本平均数. 17. (本小题15分) 已知函数 (1)设 求sinα的值; (2)若 时，恒成立，求实数m的取值范围. 18. (本小题17分) 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为是边长为1的正方形，PC⊥平面ABCD (1)求证: BD⊥平面PAC; (2)若PC=BC, 平面PAB与平面PCD的交线为l, 求直线l与直线PA所成角的余弦值： (3)若E为PB中点，且直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 求PC. 19.(本小题17分) 已知△ ABC的三个角A, B, C的对边分别为a, b, c, (1)求C的大小; (2)若AB=BC=2, 在△ ABC的边AC和BC上分别取点D, E,将△CDE沿线段DE折叠到平面ABE后，顶点C恰好落在边AB上(设为点 P).设PB=n, CE=m, 回答以下问题: (i)当 时，求m的长度； (ii)当m取最小值时, 求ΔPBE的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学开学考答案评分标准 上【1为品片 =i, 所以z=i(1+3i)=-3+i,所以z的虚部为1.故选：B 2、【详解】对A:由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确： 对B:由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确： 对C:由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故C错误； 对D:由扇形图可知，3141周岁的参保人数最多，故D正确.故选：C. 3.【详解】因圆锥的底面半径为r=1,体积为交，则圆锥的高A满足}2h=亚→h=1, 3 则圆锥母线长为1=V2+h2=√2，则圆锥侧面展开的侧面积为：l=元×1×√2=√2π 故选：B 4.【详解】易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96，即A错误； 平均数为6 94+96+98+96+95+97）=96 ,因此B错误： 【04-96+06-6r+98-96'+06-g+(05-9g5+(7-96jf]-, 方差为6 即C正确； 标准差为 目m-对r-6w时-ej+e-侧yes-为0n-]-得-9,20 错误故选：C 5.【详解】因为9sin2B=4sin2A,所以sin4_9 sin2 B 4 824所以6=2 根据弦定理可得9-9， 3 2 所以根据余弦定理cosC=Q2+b2-c2 a2+ 2a -c2 为cosC=-二， ，可得： 3 4 2ab 2a 2ax- 化简心，所以 16 9 因为a,c为△ABC的边，a>0,c>0,所以三=4故选：D. a 3 1 6、【详解】对于A,若mCa,nCB,且aHB,则ml∥n或m,n异面，故A错误； 对于B,若mCa,nCB,且m⊥n,则a,B平行或相交，故B错误： 对于C,若a⊥B,a∩B=n,且m⊥n,则m,B相交或mcB,故C错误； 对于D,若m∥n,m⊥a,则n⊥a,因为nIIB,所以存在ncB使得n/In, 所以n⊥a,nCB,所以a⊥B.故选：D. 7、【解析】解：设该塔AB的高度为h米， 则8c=an28cm=高=V3,BD=m29丽=a=h, h 在△BCD中，由余弦定理得，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcosLCDB, 则3h2=h2+900-2h×30cos120°， 解得h=30(h=-15(舍去).故选：D. 8。【详解】W关于C对称，则，=号c行0 名号+培受即7= ,0=2,B正确 f国=4sn(2x+p.首兰-，所以4sm(后+小，=号 2 -12 f)=Asin2x+）,牙+2kx<2x+<3+2kr x+32 32 5π r<特红，k-时<卫 12 问器)产 5刀，文单调减，A错： f(四向左平移合个单位 8=n(+号引sm2x+引4e2 2x=元时x=受，“8()关于x=号对称，C正确 圆半径为晋时，M到 6 由于BB1⊥平面A1B1C1D1,A上C1C平面A1B1C1D1, 故BB1⊥A1C1, 而B1D1⊥A1C1,BB1nB1D1=B1,BB1,B1D1C平面BB1D1, 故A1C1⊥平面BB1D1, 因为BD1C平面BB1D1,所以A1C1⊥BD1 B 同理可证A1D⊥BD1, 又因为A1DnA1C1=A1,A1D,A1C1c平而A1DC1, 故BD1⊥平面A1DC1,C1PC平面A1DC1, P 故BD1⊥C1P,故B正确； 对于C,连接AB1,B1C,AC,因为A1B1/DC,A1B1=DC, 故四边形A1B1CD为平行四边形， 则A1D/B1C, 又B1CC平面AB1C,A1D/平面AB1C, 故A1D//平面AB1C, P点在直线A1D上运动， 即P到平面AB1C的距离为定值， 而△AB1C为边长为V2的正三角形，其面积为定值， 故三棱锥P-AB1C的体积为定值， 由于VA-B,Pc=Vp-AB1c, 故三棱锥A一PB1C的体积为定值，故C正确； 对于D,将平面DCB1A1沿着A1D翻折到平面AA1D上， 连接AC,与A1D交于点P, 则AC即为PA+PC的最小值； 在△ADC中，∠ADC=135, AC=VAD2+CD2-2AD·CD·c0s135=V2+V2, 即PA+PC的最小值为√2+√2，故D错误. 故选：ABC, 12.【详解】将这10个数据从小到大排列得7,8,9,11,12,12,13,14,15,17， 又10×70%=7，故第70百分位数是13+14=13.5. 2 故答案为：13.5 13.【解析】在复平面内，z-1+i=1表示复数z对应的点Z与复数1-i对应点4(1，-)的距 离为1，因此点Z的轨迹是以4A(1-1)为侧心，1为半径的圆， |表示点z到原点O的距离，所以2的最小值为OA|-1=√2-1.故答案为：√2-1 14.【解析】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， ∴.三棱锥A-BCD的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥A一BCD的外接球的半径为R,内切球的半径为r, :三棱锥A-BCD的外接球的表面积为48π，.4πR2=48π，.R=2√5， :BC=CD=4,25=V4+42+AB2,解得AB=4, 2 m写nB-写r分4x4x4-号 32 3 AB=BC=CD=4,:AC=BD=42, B .三棱锥A-BCD的表面积为 S=Sr+S.r0+5.AD+8Ao=x4×4+与×4×4+)x4x4W5+x4x45=16+16N2, 1 2 2 2 3×32 又：w,r亚m= =2W2-2' S16+16V2 15.1)丽=号c,F=2历，丽=c+0F-c-2D0=D-3分 2 3 又原=丽+而，学吃5分 故3+2y=3号引2x对-16分 (2)AC=AB+AD,8分 8)c丽-（西+）侣而-号-而-号孤-君而而，0分 3 又：@=6，AD=4,∠BAD=60°， c丽-号D-号-君西而-方×16-号×36-言×6x4060=8-24-2=-18 故AC.EF的值为-18…13分 5 16.【详解】(1)由频率之和为1结合频率分布直方图可得 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,1分 解得a=0.03,2分 样本成绩的平均数约为x=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.4分 区问[40,50)，[50,60)，「60,70)的频率分别为0.05,0.1,0.2. 囚为0.05+0.1+0.2=0.35，故中位数位于[70,80)内5分 设中1位数为x,则0.35+0.03×(x-70)=0.5,解得x=756分 (2)由频率分布直方图知，样本答卷成绩在[70,80)，[80,0)，[90,100]的三组市民有 100×10×(0.03+0.025+0.01)=65（人)，7分 其中样本答卷成绩在[70,80)的市民人数为100×10×0.03=30，…8分 用分层轴样的方法应从答卷成维在[0，测)的市民中抽取碧13=6（人），10分 (3)由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，·11分 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，，…12分 所以总平均数：=10x57+20x69=65,·…13分 10+20 总方花702+(67-6时门+029s+60-6时]-36.-5分 1.解(1)f(y=2sinx6osx-2W5sin2x+5=sin2x+5cos2x=2sin2x+写，.3分 侣2n(引吕ma引帝4分 aa+肾管5分m+引6分 a[e引引nem导a}后-指9-5， 9分 .11分 当2x+亚=4 33 ,即x=时，…12分 f()取得最小值2sin47=-5,m<-5,.…14分 即实数m的取值范围为(-∞，-√5).15分 18.【解析】(1)在叫棱锥P-ABCD中，连接BD,AC,由PC⊥平面ABCD, BDC平面ABCD,得PC⊥BD,·1分 由正方形ABCD,得AC⊥BD,·.2分 而PC∩AC=C,PC,ACc平面PAC、所以BDL平面PAC.,3分 (2)H.E方形ABCD,得AB/ICD, 而CDc平面PCD,AB丈平面PCD,则AB/I平面PCD, .4分 又ABC平面PAB,平面PABO平面PCD=1,因此l11AB,5分 直线I与直线PA所成的角等于直线AB与直线PA所成的角，即为∠PAB或其补角，.6分 由PC⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,得PC⊥AB,而AB⊥BC,7分 PC∩BC=C,PC,BCc平面PBC,则AB⊥平面PBC, 又PBC平面PBC,因此AB⊥PB,.7分 PC=BC=l,则PB=V2,PA=V5,cos∠PAB=4B- ,8分 PA 3 9分 所以直线1与直线PA所成角的余弦值为5】 (3)在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形， 将四棱锥P-ABCD补形成正四棱柱PBA,D,-CBAD, 平面ABE即平面ABPD,.10分 在平面ADDA内过D作DF⊥AD于F,11分 连接EF,由AB⊥平面ADDA, 得DF⊥AB,而AB∩AD=A,AB,ADC平面ABPD,则DF⊥平 面ABPD,∠DEF是直线DE与平面ABE所成的角，.12分 D 取BC中点G,连接DG,EG,由E是BP的中点，则EG/IPC,EG⊥平面ABCD,而DGC 平面ABCD,则EG⊥DG,.13分 设PC=么则BG=PC=h,DG=5,则DB=VDG+G=5+ 2 -,.14分 2 2 而DF=DD2=A 0+你，15分 由直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 sin∠DER= DF 2h E+5+3 16分 整理得h-6h2+5=0,解得h=1或h=√5，所以PC=1或PC=√17分 19.【答案】解：(1)已知ccosA+√3 csinA-b-a=0, 根据正弦定理品=品。=品c=2R(R为三角形ABC外接圆半径)， 则有a=2 RsinA,b=2 RsinB,c=2 RsinC, 代入原式可得：2 RsinCcosA+V3×2 RsinCsinA-2 RsinB-2 RsinA=0,化简得 sinCcosA+√3 sinCsinA-sinB-sinA=0,.1分 因为B=T-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinG, sinCcosA+v3sinCsinA-sinAcosC-cosAsinC-sinA =0, 化简得：V√3 sinCsinA-sinAcosC-sinA=0,.2分 因为∠A∈(0，t),所以sinA≠0，所以3sinC-cosC-1=0, 上式可变形为：2（慢sinc-cosc)=1,所以sn(c-)=京…3分 又因为Ce(0,,所以c-君∈(-），则c-君=君即C=季4分 (2)()因为AB=BC=2,由(1)知，C=牙所以。ABC是等边三角形，5分 由折叠可知：PE=CE=m,BE=2-m,6分 在aPBE中，根据余弦定理：PE2=BE2+PB2-2BE·PBcosB, 已知P8=n=景cosB=c0s号=克则m2=2-m2+(③-2×2-m)x号×中 m2=4-4m+m2+号-等+智号m= 14 号，解得m=, 故m=时，m=总8分 (间在。PBE中，根据余弦定理：m2=(2-m2+n2-2×(2-m)n×号→m2=4-4m+ m2+n2-(2-m)n→ m=4+n2-2m=4-m2-6〔4-m0+12 9分 4-n 4-n 令t=4-n0<t<4,则m=t+是-6,11分 根据基本不等式：Q+b≥2Wab(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)，对于t+号， 有c+号≥2t×号=4W3,当且仅当t=吕，即t=2√3时成立，…13分 此时m取最小值：m=43-6,14分 则n=4-2V3,BE=2-m=8-4V3,15分 &PBE的面积：SPBE=3BE·PBsinB, 因为sinB=sin写=罗，PB=m=4-2V3,B=8-4W3, 则SpBe=(8-4W3(4-2V3×爱=号(56-323=14W3-24, 故m取最小值时，4PBE的面积为：14V3-24.…17分 8