4.5　角的比较与补（余）角 同步练 2025-2026学年 沪科版（2024）七年级数学上册

4.5　角的比较与补（余）角 第1课时　角的大小比较与角的平分线 知识点1　角的大小的比较 1.将∠1，∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的(　C　) A．另一边上 B．内部 C．外部 D．无法判断 2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在(　A　) A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC 3.如图，其中最大的角是　∠AOD ．∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是　∠DOA>∠DOB>∠DOC ． 知识点2　角的平分线 4.射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的角平分线的是(　B　) A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB 5.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为(　D　) A.52° B．38° C．64° D．26° 　　　 6.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOD，若∠AOD∶∠BOC＝5∶1，则∠COE的度数为(　A　) A．30° B．40° C．50° D．60° 7.（广西梧州岑溪市期末）如图，一副直角三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为　45° ． 因为∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，射线OM平分∠BOC，所以∠COM＝∠BOC＝×120°＝60°， 因为ON平分∠AOC，所以∠CON＝∠AOC＝×30°＝15°，所以∠MON＝∠COM－∠CON＝60°－15°＝45°. 易错易混点　忽视分类讨论 8.（广西百色西林县模拟）已知∠AOB＝34°，∠BOC＝ 18°，求∠AOC的度数． 分为两种情况：①如图1，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝34°－18°＝16°； ②如图2，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝34°＋18°＝ 52°， 故∠AOC的度数为52°或16°. 　　　 9.用一个放大镜去看一个角的大小，正确的说法是(　C　) A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了 C．角的度数没有变化 D．以上都不对 10.如图，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为(　D　) A．30° B．50° C．60° D．90° 11.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COB的角平分线． (1)求∠DOE的度数； (2)如果∠AOD＝51°17′，求∠BOE的度数． (1)因为∠AOC＋∠COB＝180°，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COB的角平分线， 所以∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠COB， 所以∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝(∠AOC＋∠COB)＝90°. (2)因为∠DOE＝90°， 所以∠AOD＋∠BOE＝90°， 因为∠AOD＝51°17′， 所以∠BOE＝90°－∠AOD＝38°43′. 【母题P164T8】 如图，∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数． 设∠AOC＝x，则∠COB＝2x， 所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝3x. 因为OD平分∠AOB， 所以∠AOD＝∠AOB＝x. 因为∠COD＝19°，所以∠AOD－∠AOC＝19°， 即x－x＝19°.解得：x＝38°.所以∠AOB＝3x＝114°. 【变式】 （广西梧州苍梧县月考）已知：如图，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，∠AOB＝60°，求∠DOE的度数． 设∠COE＝α，∠BOD＝β， 因为OE是∠BOC的角平分线，所以∠BOE＝∠COE＝α， 因为OD是∠AOC的角平分线，所以∠AOD＝∠COD＝2α＋β，因为∠AOB＝60°，所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2α＋2β＝60°，所以α＋β＝30°，所以∠DOE＝∠BOE＋∠BOD＝α＋β＝30°. 12.（运算能力）(1)如图，∠AOB的角平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线，若∠BON＝55°，∠AON＝15°时，求∠MON的度数； (2)某同学经过认真的分析，得出一个关系式：∠MON＝(∠BON－∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗？若正确，请把得出这个结论的过程写出来． (1)因为∠BON＝55°，∠AON＝15°， 所以∠AOB＝∠AON＋∠BON＝70°， 因为OM平分∠AOB，所以∠AOM＝∠AOB＝35°， 所以∠MON＝∠AOM－∠AON＝35°－15°＝20°. (2)正确． 理由：∠MON＝∠AOM－∠AON＝∠AOB－∠AON＝(∠BON＋∠AON)－∠AON＝(∠BON－∠AON). 第2课时　补角和余角 知识点1　补角 1.已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是(　C　) A．55° B．65° C．145° D．165° 2.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　C　) A．50° B．60° C．140° D．150° 3.已知∠A＝70°，则∠A的补角为(　A　) A．110° B．70° C．30° D．20° 4.如果∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，∠1＝72°，则∠3＝　72　°. 知识点2　余角 5.如果α与β互为余角，则(　D　) A．α＋β＝180° B．α－β＝180° C．α－β＝90° D．α＋β＝90° 6.如图，一个三角板的直角顶点在直线l上，那么∠1＋∠2等于(　B　) A．60° B．90° C．110° D．180° 7.如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2与∠4的大小关系是　相等　，其根据是　等角的余角相等 ． 知识点3　补角和余角的性质 8.若∠A＋∠B＝180°，∠A与∠C互补，则∠B与∠C的关系是(　A　) A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定 9.已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互余，∠1＝65°，则∠3＝(　A　) A．65° B．25° C．115° D．155° 10.（广西河池环江县期末）下列图形中，∠1和∠2互为余角的是(　D　) A． B． C． D． 11.（广西玉林北流市期末）若∠α＝45°－n°，∠β＝45°＋n°，则∠α与∠β的关系是(　B　) A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 12.一个锐角和它的余角相等，则它的补角为(　C　) A．75° B．120° C．135° D．150° 13.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是　∠BOC　. 因为∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝90°－∠BOD，∠BOC＝∠COD－∠BOD＝90°－∠BOD， 所以∠AOD＝∠BOC. 【母题P163T2】 如图，点A，O，B在同一条直线上，OC是一条射线，OE，OF分别是∠AOC，∠COB的角平分线．你能说出∠EOF的度数吗？你是怎样得到的？ ∠EOF＝90°.理由如下： 因为OE，OF分别是∠AOC，∠COB的角平分线， 所以∠AOE＝∠COE，∠COF＝∠BOF. 因为∠AOE＋∠COE＋∠COF＋∠BOF＝180°， 所以2∠COE＋2∠COF＝2(∠COE＋∠COF)＝180°， 所以∠COE＋∠COF＝＝90°， 所以∠EOF＝∠COE＋∠COF＝90°. 【变式1】 （广西崇左江州市模拟）如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC，OD，使∠COD＝90°.射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD，求∠EOF的度数． 因为∠AOB＝180°，∠COD＝90°， 所以∠AOC＋∠BOD＝90°， 因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， 所以∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD， 因为∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠DOF， 所以∠EOF＝∠AOC＋90°＋∠BOD＝×90°＋90°＝135°. 【变式2】 （广西百色靖西市月考）如图，已知OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？ 设∠COD的度数为x， 因为OD是∠COE的角平分线，所以∠EOC＝2∠COD＝2x， 因为∠BOC比∠COD的2倍还多10°， 所以∠BOC＝2x＋10°，因为OB是∠AOC的角平分线， 所以∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x＋20°， 因为∠AOE＝140°， 所以2x＋4x＋20°＝140°，解得x＝20°， 所以∠BOC＝2x＋10°＝50°， 所以∠AOB＝50°. 14.（运算能力）如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的角平分线． (1)求∠AOE的度数； (2)写出图中与∠EOC互余的角； (3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由． (1)因为∠BOC＝40°，所以∠AOC＝140°，因为OE是∠AOC的角平分线， 所以∠AOE＝140°÷2＝70°； (2)因为OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的角平分线， 所以∠AOE＝∠EOC，∠COD＝∠BOD，所以∠EOC＋∠COD＝90°， 所以∠BOD＋∠EOC＝90°， 所以图中与∠EOC互余的角有∠COD，∠BOD； (3)∠COE有补角， 理由：因为∠AOE＝∠EOC，∠AOE＋∠BOE＝ 180°，所以∠COE＋∠BOE＝180°，所以∠COE的补角是∠BOE. 15.（运算能力）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝150°，在平面内，过点O任画射线OD. (1)填空：若∠BOD与∠COD 互余，则∠COD的度数是　30°或60°　； (2)射线OD绕点O从射线OA的位置出发，顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，OE平分∠AOD. ①若∠COD＝90°，求∠EOC的度数； ②在射线OD旋转过程中，是否存在α的值，使得∠EOD与∠COD互余？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由． (1)因为∠BOD与∠COD互余， 所以有以下两种情况： (ⅰ)当OD在AB的上方时，如图1， 因为点O在直线AB上，∠AOC＝150°，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝30°，所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝30°＋∠COD，因为∠BOD与∠COD互余，所以∠BOD＋∠COD＝90°， 即30°＋∠COD＋∠COD＝90°，所以∠COD＝ 30°； 　　　 (ⅱ)当OD在AB的下方时，如图2， ∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝30°＋∠BOD， 因为∠BOD与∠COD互余，所以∠BOD＋∠COD＝90°， 所以∠BOD＋30°＋∠BOD＝90°， 所以∠BOD＝30°， 所以∠COD＝30°＋∠BOD＝60°， 综上所述，∠COD的度数是30°或60°. 故答案为：30°或60°. (2)①因为∠COD＝90°，0°<α<180°， 图3 OD在AB的上方，如图3， 因为点O在直线AB上，∠AOC＝150°， 所以∠AOD＝∠AOC－∠COD＝150°－90°＝60°，因为OE平分∠AOD， 所以∠EOD＝∠AOD＝30°， 所以∠EOC＝∠EOD＋∠COD＝30°＋90°＝120°； ②存在，α＝120°或160°，理由如下： 依题意得：α＝∠AOD， 分两种情况讨论如下： (ⅰ)当OD在∠AOC内部时，如图4， 因为∠EOD与∠COD互余，所以∠EOD＋∠COD＝90°，即∠EOC＝90°， 所以∠AOE＝∠AOC－∠EOC＝150°－90°＝60°， 因为OE平分∠AOD， 所以∠AOD＝2∠AOE＝120°， 所以当∠EOD与∠COD互余时，α＝120°； 　　　 (ⅱ)当OD在∠BOC内部时，如图5， 因为∠EOD与∠COD互余，所以∠EOD＋∠COD＝90°， 所以∠EOD＝90°－∠COD， 因为∠EOD＝∠EOC＋∠COD， 所以∠EOC＝90°－2∠COD， 因为OE平分∠AOD， 所以∠AOE＝∠EOD＝90°－∠COD， 因为∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝150°， 所以90°－∠COD＋90°－2∠COD＝150°， 所以∠COD＝10°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝150°＋10°＝160°，所以当∠EOD与∠COD互余时，α＝160°. 综上所述，当α＝120°或160°时，使得∠EOD与∠COD互余． 第3课时　用尺规作角 知识点　用尺规作角 1.下列说法正确的有(　C　) ①利用尺规能作一个角等于已知角；②利用尺规能作一个角等于已知两个角的和；③利用尺规能作一个角等于已知两个角的差；④利用尺规不能作一个角等于已知角的2倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 尺规作图可以作一个角等于已知角，作已知两角的和与差，也能作出一个角等于已知角的2倍，故④错误，因此选C. 2.如图1，求作一个角等于已知角∠AOB. 图1 　　 图2 作法：(1)作射线　O′B′　； (2)以点　O　为圆心，以　任意长　为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； (3)以点　O′　为圆心，以　OC　为半径画弧，交O′B′于点D′； (4)以点D′为圆心，以　CD　为半径画弧，交前面的弧于点C′； (5)过点　O′，C′　作射线O′A′. 则∠A′O′B′就是所求作的角，如图2. 3.作图题：（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 已知：如图，∠α，∠β. 求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β. 如图所示． 4.下列作图属于尺规作图的是(　B　) A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝∠1 B.用无刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．画线段AB＝3 cm D．用三角板画∠AOB＝90° 用无刻度的直尺和圆规画图才是尺规作图． 5.下列尺规作图的语句错误的是(　B　) A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以点O为圆心作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β A.作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，正确；B.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误；C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，正确；D.作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β，正确． 6.（应用能力）如图，两条公路l1，l2相交于O 点，在公路l1上有一个公交车站A，在公路l2上有一个公交车站B，已知两个车站A，B所在的直线与公路l1的夹角恰好等于α，请你画出公交车站B的位置． 　 作法：如图所示： (1)以∠α的顶点N为圆心，任意长为半径画弧，分别交∠α的两边于P，Q两点； (2)以点A为圆心，NP为半径画弧，交射线AO于点C； (3)以点C为圆心，PQ为半径画弧，交前弧于D，E两点； (4)画射线AD、AE分别交直线l2于B1、B2两点． 即B1、B2两点均是所求作的公交车站B的位置． 　　 线段或角的计算 思路1　利用线段的和差倍分计算 1.在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB＝10 cm，BC＝4 cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为(　A　) A．3 cm B．7 cm C．3 cm或7 cm D．5 cm或2 cm 2.A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为AB，BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为(　D　) A．30 B．30或10 C．50 D．50或10 3.点M，N都在线段AB上，且M分AB为2∶3两部分，N分AB为3∶4两部分，若MN＝2 cm，则AB的长为(　B　) A．60 cm B．70 cm C．75 cm D．80 cm 4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点．若AB＝9 cm，则DC的长为　6　 cm. 5.如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶4∶3 的三部分，M是AD的中点，若CD＝6，求线段MC的长． 因为B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，2＋4＋3＝9， 所以AB＝AD，BC＝AD，CD＝AD， 又因为CD＝6，所以AD＝18. 因为M是AD的中点，所以MD＝9， 所以MC＝MD－CD＝9－6＝3. 6.如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由； (3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论，并说明理由． (1)因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝ AC，CN＝BC.因为MN＝MC＋CN＝AC＋BC，所以MN＝AB＝7 cm； (2)MN＝ cm.理由如下： 因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝AC，CN＝BC，又因为MN＝MC＋CN，AB＝AC＋BC，所以MN＝(AC＋BC)＝ cm； (3)MN＝ cm.理由如下： 因为M，N分别是AC，BC的中点， 所以MC＝AC，NC＝BC. 又因为MN＝MC－NC，所以MN＝(AC－BC)＝ cm. 思路2　利用角的和差倍分计算 7.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为(　A　) A．22° B．34° C．56° D．90° 第7题图 　　　 第8题图 8.如图，∠AOB＝30°，OB平分∠AOC，OC平分∠BOD，OD平分∠COE，则∠COE＝(　C　) A．30° B．45° C．60° D．90° 9.已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于(　B　) A．120° B．120°或60° C．30° D．30°或90° 10.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为(　C　) A．α B．180°－2α C．360°－4α D．2α－60° 　 11.如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数． 因为∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝40°， 所以∠BOC＝2×40°＝80°， 所以∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝80°＋40°＝120°. 因为OD平分∠AOB， 所以∠AOD＝∠AOB＝×120°＝60°， 所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°－40°＝20°. 12.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． 图1　　　　　图2　　 　　　图3 (1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝　25°　； (2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； (3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数． (1)因为∠MON＝90°，∠BOC＝65°， 所以∠MOC＝∠MON－∠BOC＝90°－65°＝25°. (2)因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线， 所以∠MOB＝2∠BOC＝130°. 所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝ 40°， 所以∠CON＝∠COB－∠BON＝65°－40°＝25°. (3)因为∠NOC＝∠AOM，所以∠AOM＝4∠NOC. 因为∠BOC＝65°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°.因为∠MON＝90°，所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°.所以4∠NOC＋∠NOC＝25°.所以∠NOC＝5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5　角的比较与补（余）角 第1课时　角的大小比较与角的平分线 知识点1　角的大小的比较 1.将∠1，∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的( ) A．另一边上 B．内部 C．外部 D．无法判断 2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( ) A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC 3.如图，其中最大的角是 ．∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 ． 知识点2　角的平分线 4.射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的角平分线的是( ) A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB 5.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为( ) A.52° B．38° C．64° D．26° 　　　 6.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOD，若∠AOD∶∠BOC＝5∶1，则∠COE的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 7.（广西梧州岑溪市期末）如图，一副直角三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为 ． 易错易混点　忽视分类讨论 8.（广西百色西林县模拟）已知∠AOB＝34°，∠BOC＝ 18°，求∠AOC的度数． 9.用一个放大镜去看一个角的大小，正确的说法是( ) A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了 C．角的度数没有变化 D．以上都不对 10.如图，OC是∠AOB的角平分线，OD是∠BOC的角平分线，若∠AOB＝120°，则∠AOD的度数为( ) A．30° B．50° C．60° D．90° 11.如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠COB的角平分线． (1)求∠DOE的度数； (2)如果∠AOD＝51°17′，求∠BOE的度数． 【母题P164T8】 如图，∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数． 【变式】 （广西梧州苍梧县月考）已知：如图，OD是∠AOC的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，∠AOB＝60°，求∠DOE的度数． 12.（运算能力）(1)如图，∠AOB的角平分线为OM，ON为∠AOM内的一条射线，若∠BON＝55°，∠AON＝15°时，求∠MON的度数； (2)某同学经过认真的分析，得出一个关系式：∠MON＝(∠BON－∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗？若正确，请把得出这个结论的过程写出来． 第2课时　补角和余角 知识点1　补角 1.已知∠α＝35°，则∠α的补角的度数是( ) A．55° B．65° C．145° D．165° 2.如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( ) A．50° B．60° C．140° D．150° 3.已知∠A＝70°，则∠A的补角为( ) A．110° B．70° C．30° D．20° 4.如果∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，∠1＝72°，则∠3＝ °. 知识点2　余角 5.如果α与β互为余角，则( ) A．α＋β＝180° B．α－β＝180° C．α－β＝90° D．α＋β＝90° 6.如图，一个三角板的直角顶点在直线l上，那么∠1＋∠2等于( ) A．60° B．90° C．110° D．180° 7.如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2与∠4的大小关系是 ，其根据是 ． 知识点3　补角和余角的性质 8.若∠A＋∠B＝180°，∠A与∠C互补，则∠B与∠C的关系是( ) A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定 9.已知∠1和∠2互余，∠2和∠3互余，∠1＝65°，则∠3＝( ) A．65° B．25° C．115° D．155° 10.（广西河池环江县期末）下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( ) A． B． C． D． 11.（广西玉林北流市期末）若∠α＝45°－n°，∠β＝45°＋n°，则∠α与∠β的关系是( ) A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角 12.一个锐角和它的余角相等，则它的补角为( ) A．75° B．120° C．135° D．150° 13.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是 . 【母题P163T2】 如图，点A，O，B在同一条直线上，OC是一条射线，OE，OF分别是∠AOC，∠COB的角平分线．你能说出∠EOF的度数吗？你是怎样得到的？ 【变式1】 （广西崇左江州市模拟）如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC，OD，使∠COD＝90°.射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD，求∠EOF的度数． 【变式2】 （广西百色靖西市月考）如图，已知OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？ 14.（运算能力）如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的角平分线． (1)求∠AOE的度数； (2)写出图中与∠EOC互余的角； (3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由． 15.（运算能力）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝150°，在平面内，过点O任画射线OD. (1)填空：若∠BOD与∠COD 互余，则∠COD的度数是 ； (2)射线OD绕点O从射线OA的位置出发，顺时针旋转α(0°＜α＜180°)，OE平分∠AOD. ①若∠COD＝90°，求∠EOC的度数； ②在射线OD旋转过程中，是否存在α的值，使得∠EOD与∠COD互余？若存在，求出α的值；若不存在，请说明理由． 第3课时　用尺规作角 知识点　用尺规作角 1.下列说法正确的有( ) ①利用尺规能作一个角等于已知角；②利用尺规能作一个角等于已知两个角的和；③利用尺规能作一个角等于已知两个角的差；④利用尺规不能作一个角等于已知角的2倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图1，求作一个角等于已知角∠AOB. 图1 　　 图2 作法：(1)作射线 ； (2)以点 为圆心，以 为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； (3)以点 为圆心，以 为半径画弧，交O′B′于点D′； (4)以点D′为圆心，以 为半径画弧，交前面的弧于点C′； (5)过点 作射线O′A′. 则∠A′O′B′就是所求作的角，如图2. 3.作图题：（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 已知：如图，∠α，∠β. 求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β. 4.下列作图属于尺规作图的是( ) A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB＝∠1 B.用无刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．画线段AB＝3 cm D．用三角板画∠AOB＝90° 5.下列尺规作图的语句错误的是( ) A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以点O为圆心作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β 6.（应用能力）如图，两条公路l1，l2相交于O 点，在公路l1上有一个公交车站A，在公路l2上有一个公交车站B，已知两个车站A，B所在的直线与公路l1的夹角恰好等于α，请你画出公交车站B的位置． 　 线段或角的计算 思路1　利用线段的和差倍分计算 1.在直线m上顺次取A，B，C三点，使AB＝10 cm，BC＝4 cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长为( ) A．3 cm B．7 cm C．3 cm或7 cm D．5 cm或2 cm 2.A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为AB，BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为( ) A．30 B．30或10 C．50 D．50或10 3.点M，N都在线段AB上，且M分AB为2∶3两部分，N分AB为3∶4两部分，若MN＝2 cm，则AB的长为( ) A．60 cm B．70 cm C．75 cm D．80 cm 4.已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点．若AB＝9 cm，则DC的长为 cm. 5.如图，已知B，C两点把线段AD分成2∶4∶3 的三部分，M是AD的中点，若CD＝6，求线段MC的长． 6.如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由； (3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论，并说明理由． 思路2　利用角的和差倍分计算 7.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为( ) A．22° B．34° C．56° D．90° 第7题图 　　　 第8题图 8.如图，∠AOB＝30°，OB平分∠AOC，OC平分∠BOD，OD平分∠COE，则∠COE＝( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 9.已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( ) A．120° B．120°或60° C．30° D．30°或90° 10.如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE的度数为( ) A．α B．180°－2α C．360°－4α D．2α－60° 11.如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求∠COD的度数． 12.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． 图1　　　　　图2　　 　　　图3 (1)如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ ； (2)如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； (3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $