精品解析： 天津市耀华中学红桥学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

耀华中学红桥学校26届高三暑期开学验收学情调研试卷 数学学科 考试时间：80分钟；命题人：朱春辉 学校：______姓名：_______班级：______考号：______ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水笔或签字笔将答案写在答题卡规定位置上，写在'答题卡其他位置或试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么． ·如果事件A，B相互独立，那么． ·球的体积公式，其中R表示球的半径． ·圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高． 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共9个小题，每小题4分，共36分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 6. 在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为 ．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时， 的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知i是虚数单位，则 ________． 11. 在的展开式中，项的系数为________． 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 13. 已知数列的前 项和为，若，则__________. 14. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 15. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 三、解答题：本大题共3小题，共34分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱台中，平面， 为 中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离． 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为 ，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交 轴于点 ，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 耀华中学红桥学校26届高三暑期开学验收学情调研试卷 数学学科 考试时间：80分钟；命题人：朱春辉 学校：______姓名：_______班级：______考号：______ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色水笔或签字笔将答案写在答题卡规定位置上，写在'答题卡其他位置或试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么． ·如果事件A，B相互独立，那么． ·球的体积公式，其中R表示球的半径． ·圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高． 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共9个小题，每小题4分，共36分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 设，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“ ”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“ ”不是“”的必要条件， 综上可知，“ ”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则 可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则 与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 6. 在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过作,垂足分别为.过 作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比. 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过 作平面，垂足为，连接,过作,垂足为. 因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为 ．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式求出 ，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出 ，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 9. ，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时， 的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 11. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离 ，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与 轴交于，与 轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 13. 已知数列的前 项和为，若，则__________. 【答案】54 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故答案为：54. 14. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 15. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段 的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 三、解答题：本大题共3小题，共34分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于 的方程，求解可得 ，进而求得 ； （3）利用正弦定理先求 ，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则 为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 如图，在三棱台中，平面，为 中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由 分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为 ，过 作，垂足为 ,连接. 由面 ，面 ，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为 ，作，垂足为 ，连接，过 作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是 到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为 . ， . 由，即. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为 ，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交 轴于点 ，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去 ，再由韦达定理可得，从而得到 点和 点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去 整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $