6.1.3共面向量定理同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.1.3　共面向量定理 一、基础达标 1.下列说法错误的是(　　) A.若a,b是两个空间向量,则a, b一定共面 B.若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a C.若a,b,c是三个空间向量,则 a,b,c一定不共面 D.若a,b,c是三个空间向量,则 a·(b+c)=a·b+a·c 2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6+2+3,则一定有(　　) A.O,A,B,C四点共面 B.P,A,B,C四点共面 C.O,P,B,C四点共面 D.O,P,A,B,C五点共面 3.若对于空间任一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z,则x+y+z=1是P,A,B,C四点共面的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.(多选题)下列结论中正确的有(　　) A.若向量a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc B.若向量a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc C.若向量a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc D.若a=xb+yc,则向量a,b,c共面 5.已知i,j,k不共面,=i-2j+2k,=2i+j-3k,=λi+3j-5k,且A,B,C,D四点共面,则λ的值为　　　　　.  6.如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量共面. 二、能力提升 7.已知非零向量e1,e2不共线,若=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,则A,B,C,D四点(　　) A.一定共线 B.恰是空间四边形的四个顶点 C.一定共面 D.一定不共面 8.已知O为空间任意一点,=-+t,若A,B,C,P四点共面,则t=(　　) A.1 B. C. D. 9.在四面体ABCD中,点E满足=λ,F为BE的中点,且,则实数λ=(　　) A. B. C. D. 10.已知点D在△ABC确定的平面内,O是空间任意一点,实数x,y满足=x+2y,则x2+y2的最小值为(　　) A. B. C.1 D.2 11.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.若p=2x+3y,则p与x,y共面 B.若=2+3,则M,P,A,B共面 C.若=0,则A,B,C,D共面 D.若,则P,A,B,C共面 12.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为　.  13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　　.  14.如图,在四面体O-ABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,点D,M,N分别为BC,AB,OB的中点. (1)试用向量a,b,c表示向量; (2)试用空间向量的方法证明M,N,G,H四点共面. 三、拓展探究 15.如图,点O是棱长为2的正四面体P-ABC底面ABC的中心,过点O的直线交棱AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点,平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q,与棱PB的延长线相交于点R,则=　　　.  16.已知e1,e2,e3是不共面的向量,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. (1)判断P,A,B,C四点是否共面; (2)能否用表示?并说明理由. 参考答案 1.C　A.因为向量可以平移,所以若a,b是两个空间向量,则a,b一定共面,正确.B.因为向量的数量积满足交换律,所以若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,正确.C.若a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,可能不共面,故C错误.D.因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律,所以若a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c,正确.故选C. 2.B　由6+2+3,得=2()+3(),即=2+3,所以共面且有公共起点P.所以P,A,B,C四点共面.故选B. 3.B　若x+y+z=1,则=(1-y-z)+y+z,即=y+z,由共面定理可知向量共面,所以P,A,B,C四点共面;反之,若P,A,B,C四点共面,当O与四个点中的一个(比如A点)重合时,=0,x可取任意值,不一定有x+y+z=1,所以x+y+z=1是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件.故选B. 4.BCD　对于A,若b,c共线,且a,b不共线,则不存在实数x,y,使a=xb+yc,所以A错误;由共面向量定理可知B,C,D均正确,故选BCD. 5.1　因为=i-2j+2k,=2i+j-3k,=λi+3j-5k,所以=3i-j-k,=(3+λ)i+2j-6k.因为A,B,C,D四点共面,所以存在唯一的(x,y),使得=x+y,即(3+λ)i+2j-6k=x(i-2j+2k)+y(3i-j-k),即解得故答案为1. 6.解 因为M在BD上,且BM=BD,所以.同理.所以=()++()=.又不共线,根据向量共面的充要条件可知共面. 7.C　由题意,设=x+y=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2=e1+e2,x,y∈R,则解得,所以A,B,C,D四点一定共面. 8.C　因为,所以=-+t可化简为=-+t,即+t, 由于A,B,C,P四点共面,则+t=1,解得t=. 故选C. 9.D　由F为BE的中点,得,因为,所以,由=λ,得=λ(),即=λ+(1-λ),所以λ=.故选D. 10.A　因为A,B,C,D四点共面且平面唯一确定,=x+2y,所以x+2y-1=1,即x=2-2y,所以x2+y2=(2-2y)2+y2=5y2-8y+4,由一元二次函数的图象和性质可得当y=-时,5y2-8y+4取得最小值,所以(x2+y2)min=5×()2-8×+4=.故选A. 11.ABD　选项A,根据共面向量基本定理可知,p与x,y共面,所以选项A是正确的;选项B,根据共面向量基本定理可知,共面,由于它们有公共点M,所以M,P,A,B共面;选项C,举反例说明,若是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量,则它们的和向量是以O为起点的对角线向量,而是该对角线向量的相反向量,此时显然四个点A,B,C,D不在同一个平面上,所以C选项是错误的;选项D,由可得6=3+5-2,则0=3-3+5-5+2-2,即0=3+5+2,则,此时与选项B一样,可以判断共面,即D选项是正确的.故选ABD. 12.AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE　由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理,可知向量与向量共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.故答案为AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE. 13.　∵a,b,c三个向量共面,∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k). ∴∴λ=. 14.解 (1)由题意得=-=-a.因为,D为BC的中点,所以),所以)=)-)=(a+b+c). (2)因为)=(b+c), 所以(b+c)-(a+b+c)=-a=-, 又=-,所以. 所以M,N,G,H四点共面. 15.)=)=)=.因为O,S,Q,R四点共面,故=1,即.故答案为. 16.解 (1)假设P,A,B,C四点共面,则存在实数x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3). 比较对应的系数,得到关于x,y,z的方程组解得这与x+y+z=1矛盾,故P,A,B,C四点不共面. (2)能用表示,理由如下: 若共面,则存在实数m,n,使=m+n,同(1)可证,不共面,即是向量的线性组合,令=a,=b,=c, 由 所以=2e1-e2+3e3=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)=17a-5b-30c=17-5-30. 4 学科网（北京）股份有限公司 $