精品解析：江苏省南通市海门区东洲国际学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级开学测试 数学·试题卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同， ∴再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键． 2. 在下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. － 【答案】A 【解析】 【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】根据实数大小比较的方法，可得， 所以四个实数中，最小的数是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：移项得，2x≤3+1， 合并同类项得，2x≤4， 系数化为1得，x≤2， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键． 4. 一组数据按从大到小排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】试题分析：根据中位数为9得，（8+x）÷2=9，解得：x=10. ∴这组数据中出现次数最多的是10，故众数为10. 故选D. 【详解】请在此输入详解！ 5. 如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定：，可得答案． 【详解】解：由题意得，， A、添加不能判定三角形全等，符合题意； B、在与中， ， ，不符合题意； C、在与中， ， ，不符合题意； D、在与中， ， ，不符合题意； 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（　　） A. ﹣2 B. 8 C. 2或8 D. ﹣2或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5， ∴， ∴或， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 7. 已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴点P到圆心的距离小于的半径， ∴点P在圆内， 故选：B． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ） A. 14 B. 7 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE、AD， 在直角中， ∵E是直角斜边AB上的中点， ∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴， ∴在中，，即， ∴最大值为7， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 9. 如图，四边形中，，，把沿着翻折得到，若，线段长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知易得，延长交于F，可得，，再过点D作于G，设，则，，，在中，根据代入数值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵把沿着翻折得到， ∴，，，， ∴，； 延长交于F，如图， ∴，； ∵， ∴，， ∴； 过点D作于点G， ∵， ∴设， 则，，， 在中， ∴， 即， 解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题是三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、等腰三角形的判定、勾股定理、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键． 10. 如图，在中，，，平分，E是上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理， 先判断是等边三角形 ，根据等边三角形的性质可知点B，C关于对称，可得，根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵平分， ∴是的垂直平分线， ∴点B，C关于对称， ∴． 根据“两点之间线段最短”，连接，交于点E，此时最小，即， 在中，点F是的中点， ∴，． 根据勾股定理，得， 所以的最小值是6． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11. 将一元二次方程化为一般形式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a、b、c为常数，掌握这一形式是解题的关键，方程去括号、移项、再合并同类项即可化为一般形式． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即一般形式为． 12. 若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数，得到，求得方程的根，利用根的定义，确定a，b的关系，计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是与， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接法解方程，方程根互为相反数，相反数的性质，根的定义，熟练掌握方程根互为相反数，相反数的性质是解题的关键． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E．若△ABD的周长等于7，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD＋BD＋AB＝2AD＋AB＝7，进而得出AD的长，即可得出答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵AB＝AC＝3，△ABD的周长等于7， ∴AD＋BD＋AB＝2AD＋AB＝7， ∴AD＝2， ∴DC＝AC−AD＝3−2＝1． 故答案为1. 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，得出AD的长是解题关键． 15. 用每片长6cm的纸条，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y（cm）与纸片的张数x之间的函数关系式是___________________ 【答案】y=5x+1. 【解析】 【分析】根据粘合后的总长度=x张纸条的长-（x-1）个粘合部分的长，列出函数解析式即可． 【详解】纸带的长度y(cm)与纸片的张数x之间的函数关系式是y=6x−(x−1)=5x+1， 故答案为y=5x+1. 【点睛】此题考查函数关系式，解题关键在于根据题意列出方程. 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，…的顶点，…都在x 轴的正半轴上，顶点，…都在直线上，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直线方程的性质以及坐标的计算，根据题意找到坐标的规律是解题的关键． 先求出前几个正方形顶点的坐标，根据坐标找到规律，求解即可． 【详解】解：求第一个正方形的相关坐标 ∵点的坐标为，顶点在直线上，且是正方形的边， ∴的坐标为， ∴根据正方形的性质，边长，且的纵坐标与相同为1，的横坐标为， ∴的坐标为， 求第二个正方形的相关坐标 ∵在轴上，的坐标为，在直线上， ∴的坐标为， ∴正方形的边长为2，则的纵坐标与相同为2，的横坐标为， ∴的坐标为， …… 观察可得，的纵坐标为，横坐标为， ∴当时，的纵坐标为，横坐标为， ∴的坐标为． 故答案为：． 17. 如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解． 【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G， 由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB， ∴OH⊥AB，AH=BH， ∵， ∴DE∥AB， ∵， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB=DE=6， ∴AH=3， ∴OH=， ∵OB∙AG=AB∙OH， ∴AG===， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 18. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【详解】解：作于，连接． ， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为． 【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（本大题共8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）解方程：； （2）计算：． （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：． 【答案】（1） （2）6 （3），解集在数轴上的表示见解析 【解析】 【分析】（1）利用因式分解求解即可； （2）分别计算算术平方根、乘方及零指数幂，最后相加减即可； （3）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：分解因式得：， 即， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、实数的混合运算、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识，其中实数混合运算中涉及开方、乘方及零指数幂的运算，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根． 【答案】（1）且；（2）；或． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）根据一元二次方程解法求解即可； 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， ∴且； （2）当时，， ∴由求根公式可知：， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键． 21. 如图，AB为⊙O的直径，点P在 BA的延长线上，过点C作∠ACP=∠B． （1）求证：PC 是⊙O的切线； （2）∠ACB的平分线交 AB于E，若 AB的长为10，∠B=30°，求AE 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质、等量代换可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）先根据等边三角形的判定与性质可得，再在中，利用正切三角函数可得，然后根据等腰三角形的判定可得，，最后根据线段的和差即可得． 【详解】证明：（1）如图，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线； （2）， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，， 平分， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、正切三角函数、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 22. 现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为； 故答案为： （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率= 【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 23. 某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． （1）求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； （2）该经销商计划用不超过2500元成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 （2）该经销商获得最大利润是21500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． 【小问2详解】 设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 24. 已知直线经过点． （1）求直线的解析式； （2）若直线与轴交于点D，与直线相交于点C，求的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分别求出C、D两点的坐标，即可求得的面积； （3）观察图象知，当时，直线在直线的上方，即可得不等式的解集． 【小问1详解】 解：把坐标代入中， 得：，解得：， ∴， 即直线的解析式为； 【小问2详解】 解：解，得：， 即； 令，得， 即， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，表明直线在直线的上方， 由图象知，此时， ∴的解集为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点坐标，一次函数与一元一次不等式，求直线围成的三角形的面积等知识，注意数形结合思想的应用． 25. 如图，在矩形中，，点E是上动点，以为直径的圆交对角线于F，垂足为G． （1）求证：； （2）求的长； （3）直接写出的最小值为 ． 【答案】（1）见解答； （2）2； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （2）根据已知条件，找出相似三角形，得出边之间的比例关系即可求解； （3）作点D关于的对称点，连接，交于点J，过点作，使得，连接．求出，可得结论． 【小问1详解】 解：∵以为直径的圆交对角线于F， ∴，， ∵垂足为G， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴在三角形中，， ∵， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作点D关于的对称点，连接，交于点J，过点作，使得，连接． 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵．， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴取最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、垂径定理、圆周角定理、轴对称的含义，解题关键是找出相似三角形，求出边之间比例关系． 26. 阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1， ∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 【答案】(1)；29． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：可以将方程化简为的形式，根据根与系数的关系直接得：的值； （2）将变形为求解． 【详解】解：由知m≠0， ∴， ∵，m≠n， ∴， ∴和是方程的两个根， （1）由和是方程两个根得， ∴； 经检验：是原方程的根，且符合题意． （2）由和是方程两个根得，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区东洲国际学校2025学年度九年级开学测试 数学·试题卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. － 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据按从大到小排列为2，4，8，x，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数为 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（　　） A ﹣2 B. 8 C. 2或8 D. ﹣2或8 7. 已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ） A. 14 B. 7 C. 9 D. 6 9. 如图，四边形中，，，把沿着翻折得到，若，线段长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，平分，E是上一个动点，F是边的中点，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！ 11. 将一元二次方程化为一般形式是___________． 12. 若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E．若△ABD的周长等于7，则的长为______． 15. 用每片长6cm的纸条，重叠1cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y（cm）与纸片的张数x之间的函数关系式是___________________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形，…的顶点，…都在x 轴的正半轴上，顶点，…都在直线上，若点的坐标为，则点的坐标为________． 17. 如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则__． 18. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 计算 （1）解方程：； （2）计算：． （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：． 20. 关于一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根． 21. 如图，AB为⊙O的直径，点P在 BA的延长线上，过点C作∠ACP=∠B． （1）求证：PC 是⊙O的切线； （2）∠ACB的平分线交 AB于E，若 AB的长为10，∠B=30°，求AE 的长． 22. 现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． （1）求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； （2）该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 24. 已知直线经过点． （1）求直线的解析式； （2）若直线与轴交于点D，与直线相交于点C，求的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 25. 如图，在矩形中，，点E是上动点，以为直径的圆交对角线于F，垂足为G． （1）求证：； （2）求长； （3）直接写出的最小值为 ． 26. 阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1， ∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $