2.1 图形的轴对称 课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

浙教版2024 ·八年级上册 第2章 特殊的三角形 2.1图形的轴对称 数学 必 修 第一册 学 习 目 标 理解轴对称概念与性质 掌握轴对称图形和对称轴的定义，能识别常见几何图形(如线段、角、等腰三角形 等)的对称轴 掌握轴对称作图与应用 能根据给定对称轴作出简单图形的轴对称图形 会利用轴对称解决实际问题(如最短路径问题),理解镜面对称原理 培养几何直观与推理能力 通过观察、折叠等操作活动建立空间观念 能用轴对称性质进行简单的几何证明(如等腰三角形性质定理的推导) > > > 同学们，仔细观察这些图片，它们有什么共同特点? 故宫博物院 沿着直线折叠后，直线两侧的图形能够完全重合。 同桌谈论一下，生 活中还有其他类似 的图形吗 课堂导入 新知探究 课堂活动：我们一起“剪一剪” 同学们请拿出一张纸(可以是作业纸)和剪刀，按照下面的步骤剪出图案 ④剪 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图 形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 蝴蝶 ①正方形纸 对称轴 画出下列图形的对称轴，并数一数有几条和同桌讨论一下 长方形 六角星 无数条 圆 等腰直角三角形 没有 平行四边形 等腰梯形 新知探究 例1传承中华文化，感受非遗剪纸的魅力.下列剪纸图案中，是轴对称图形的是( D ) 一个图形的一部分，沿着一条直线 对折后两部分能够相互重合，那么 这个图形就叫做轴对称图形 典例分析 B . D. A. C. ② 3 ④ 不是轴对称图形 是轴对称图形 不是轴对称图形 不是轴对称图形 习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”,一语道出“人与自然和谐共生”的至简 大道.如图有关环保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ,(填序号) 变式训练 如图所示，AD平分∠BAC,AB=AC。 (1)四边形ABDC 是轴对称图形吗?如果你认为是，说出它的对称轴。哪一个点 与点B 对称? 四边形ABDC 是 轴对称图形，对 称轴为AD, 点 B 与点C对 称 B 如图所示， AD 平分∠BAC,AB=AC。 连结BC, 交 AD 于 点E。把四边形 ABDC沿 AD 对 折 ，BE 与 CE 重合吗?∠AEB 与∠AEC呢?由此你得到什么结论? C B 总结：轴对称图形有下面的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 BE 和CE 能重 合，∠AEB和 ∠AEC 能重合 A E D 上的点 (∠PAN=PBN .)下 可得到点A、点 B是对称点 D ∠ANM=∠BNM 所以AM=MB,AP=PB ∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM ∠MAP=∠MBP 列判断错误的是( B ) M P Q B N 只.AP=BN A< A AM=BM 例1如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P是直线MN 如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”.小明绘制了从正面看到的主馆 图(图2),该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是( R ) B .线段BE被直线MN 垂直平分 D. BC=ED 变式训练 图 2 图1 作法：(1)作AO垂直于MN, 延长AO至A', 使得 AO=A'O (2)按上述方法分别作出B的对称点B',C 的对称点C' (3)依次连接A'B' 、B'C' 、C'A',△A'B'C'即为所求 在正方形网格上有一个△ABC, 点A、B、C 关于MN 对称的点A'、B'、C',画出△A'B'C' N 一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合， 这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。 成轴对称的两 个图形是全等 图形 注意：图形的轴 对称是由一个图 形变为另外一个 能重合的图形， 是2个图形之间的 关系 新知探究 注意：轴对称图形是 指一个图形自身关系 对称轴能够重合 典例分析 例2下列各图形中，从图形I 到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是( C ) ① ② X ③ ④ ⑤ ⑥ 变式训练 如图所示，两个图形成轴对称的有_ ④⑥ 只填写序号 ( 教 材 母 题 )例 3 如图所示，直线l 表示草原上的一条河流。 一骑马少年从A地出 发，去河边让马饮水，然后返回位于 B 地的家中。他沿怎样的路线骑行，能 使路程最短?作出这条最短路线。 解：作点A 关于直线 I 的对称点A', 连结A'B, 交直线 I 于点C, 连结AC。骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时 路程最短。 设P是直线I上任意一点，连结AP,A'P。 由作图知，直线l垂直平分AA', 则 AC=A'℃,AP=A'P (线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等)。 则AP+BP=A'P+BP≥A'B,A'B=A'C+BC=AC+BC, 即AP+BP≥AC+BC, 所以骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时路程最短。 典例分析 解：如图，连接PC ∵EF垂直平分线段BC,∴PB=PC ∴PA+PB=PA+PC≥AC=4 ∴PA+PB的最小值为4, ∴△ABP的周长最小值为3+4=7 如图，在△ABC中 ，AB=3,AC=4,EF 垂直平分线段BC,P 是直线EF上的任意一 点，则△ABC周 长 的 最 小 值 是 7 . 解题思路：连接PC, 求出PA+PB 的最小值可得结论 变式训练 1. 三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就 与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是( C ) 解题思路：根据折叠的性质得到△BCD≌△BED,BC=BE , 然后利用三角形外 角的性质求解即可 解：如图所示，连接DE ∵沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在AB 边上的点E处 ∴△BCD≌△BED,BC=BE, 故A、B正确 ∴∠BED=∠C=120°,∵∠A=25°, ∴∠ADE=∠BED-∠A=120°-25°=95°, 故C正确； ∴∠AED=180°-∠BED=60° ∴∠AED≠∠ADE ∴AD≠AE, 故D错误。 2. 如图，在△ABC中，∠A=25°,∠C=120°, 沿 过 点B的直线折叠三角形，使顶点C落在AB 边上的点E处，折痕为BD, 下列结论不正确的是( D) A. △ BCD≌△BED B.BC=BE C. ∠ADE=95° D.AD=AE C E B D 解题思路：根据三角形的内角和定理求出∠BAC=30°, 由轴对称的性质 可得∠B'AC'=∠BAC=30°,∠C'AF=∠CAF=10°, 再由角的和差即可求解。 解：∵∠B=∠C=75° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C==30° ∵△AB'C '与△ABC 关于直线EF对称 ∴∠B'AC'=∠BAC=30°,∠C'AF=∠CAF=10° ∴∠CAB'=∠CAF+∠C'AF+∠C'AB'=10°+10°+30°= 50° 则∠CAB 的度数是 50° . B' B 3. 如图，在△ABC中，∠B=∠C,∠C=75°,△AB'C '与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°, 4 .把 一 张对边互相平行的纸条折成如图那样， EF 是折痕，若∠EFB=23°, 则∠D'FD= 46° °. 解题思路：本题主要考查的是平行线的性质和折叠的性质，直接利用平行线的性质和折叠的性质得出 ∠C'EG=64°,进而得出答案。 解：∵EF是折痕，∠EFB=23°,AC'IIBD' ∴∠C'EF=∠GEF=∠GEF=23°, ∴∠C'EG=46°, ∵CEII FD ∴∠D'FD=∠FGC=∠C'EG=46° E G D C C" D' A B F (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； 解：如图所示 (2)△A₁B₁C₁ 的 面 积 为_ 解：△A₁B₁C₁ 的 面 积 ： 2×4-¹×4×1-×2×1-¹×2×2=3 l 求网格中面积问题： 一般利用将所求的 图形补为长方形 课堂练习 5. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上. AA₁ C B₁ C₁ B 先根据轴对称的性质可得BD=CD, 据此可得AC=AD+BD, 在利用两 个三角形的周长的差可得BC的长，进而得到CE的长 解：∵点B与点C关于直线MN 对称，直线MN 分别与 边AC,BC 相较于点D 、E。 ∴BD=CD,∴AC=AD+CD=AD+BD ∴△ABD的周长为18,△ABC的周长为32 ∴AD+BD+AB=AC+AB=18,AC+AB+BC=32 . ∴BC=32-18=14 课堂练习 6. 如图，在△ABC中，点B与点C关于直线MN 对称，直线MN 分别与边AC 、BC相交于点D,E, 连 接BD, 若△ABD 的周长为18,△ABC的周长为32,求CE的 长 . 的点D 处 . B c D ( 1 ) 若AB=10,AC=6, 求CD 的长； 解：折叠可得：△ABE≌△ADE,∴AB=AD=10, ∵AC=6,∴CD=AD-AC=4 ( 2)若∠BAC=68°,∠B=32°, 求钝角∠BED 的度数 解：∵∠BAC=68°,∠B=32°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=80° ∴∠BCD=180°-∠ACB=100°,∵△ABE≌△ADE,∴∠D=∠B=32° 课堂练习 7. 如图，纸片△ABC中 ，AB>AC, 将△ABC折叠，使AB边与AC边叠在一起，点B落在AC的延长线上 轴对称的基本概念 定义： 一个图形沿某条直线(对称轴)折叠 后，直线两侧的部分能完全重合，这样的图 形称为轴对称图形；若两个图形关于某直线 对称，则称它们成轴对称。 关键要素： 对称轴(可能不止一条，如正方形有4条)。 对称点(折叠后重合的点，其连线被对称轴 垂直平分)。 轴对称的性质 轴对称的实际应用 作 图 ： 作已知图形关于某直线的对称图形 (先找关键点的对称点，再连线)。 设计对称图案(如剪纸、标志设 计 ) 。 性质1:对称轴是任意一对对称点连线的垂 直平分线(作图与证明的核心依据) 性质2:轴对称变换不改变图形的形状与大 小(全等变换),只改变位置和方向。 课堂小结 数学 必 修 第一册 感谢聆听! $