精品解析：湖南省永州市第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

数学·练习 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由的性质、除法运算和复数的几何意义可得答案. 【详解】因为复数， 所以复数z在复平面内所对应的点为， 该点位于第三象限. 故选：C． 2. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式求出与的夹角. 【详解】已知，则 因为，所以，，，则可得： ， 又因为，所以，即.  ，将代入上式可得：   设与的夹角为，，根据向量的夹角公式. 因为，，所以.  因为，且，所以.  与的夹角为. 故选：D. 3. 在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，则的面积是　　 A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出答案． 【详解】解：由，可得，又， 由余弦定理：， 所以：， 所以； 则； 故选：B． 4. 已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（ ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线，平面间的位置关系逐项判断即可. 【详解】直线，为直线外一点，所以过点有且只有一条直线与平行；过点有无数个平面与平行； 过点有无数条直线与垂直；过点有且只有一个平面与垂直， 所以②③错误，①④正确， 故选：A． 5. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 由两直线平行或重合的方程系数关系，求出，进而求出平行时的值，即可求出结论. 【详解】当或重合时，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时重合， 当时，. 故选:D. 【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，其实质是考查两直线方程为一般式时，位置关系的判定，属于中档题. 6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得直线斜率的取值范围，然后利用正切函数的性质可得. 【详解】由题意得，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以. 故选：C． 7. 已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到的解析式，结合函数的奇偶性，求出的取值，从而计算可得； 【详解】解：因为，令，，解得，，即函数的对称中心坐标为，，所以，，把的图像向右平移个单位得到，因为为偶函数，所以，解得，因为，所以，所以，且，所以当时； 故选：D 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系. 【详解】因函数的定义域为R， 且 ， 所以函数为偶函数； 当时，因单调递增，而在定义域内也为增， 故由同增异减原则，也为增， 也为增，又因在上为增函数，故在上为增函数. 又因， 由， 因，故， 由在上为增函数可得:，即. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每个题目至少有两个选项符合题意） 9. （多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 10. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以的样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（ ） A. 正方体外接球的半径为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到的距离为 D. 若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据外接球半径计算判断A，再应用三棱锥体积公式计算判断B，应用点到直线距离判断C，应用截面面积计算判断D. 【详解】A：因为外接球直径为，所以，故错误； B：，故正确； C：且，，故正确； D：平面平面，所以截面交平面为，设截面交平面为，所以， 因为若为的中点，所以为中点，连接，，则梯形的面积即为所求， 由题意得，，，，所以梯形的高为， ，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故答案为：3 13. 如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利 用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得. 【详解】 由已知，得或， 设，因为，而, 则 当时，可得，解得：； 当时，可得，解得. 综上可知，即公垂线段的长为或. 故答案为：或. 14. 若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间________；（2）若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 【答案】 ①. 或或（三个写其中任何一个都可以） ②. 【解析】 【分析】第一空：设是区间上的共鸣区间，由可得结果；第二空：根据题意转化为方程在上有两个不等的实根，令转化为在上有两个不等的实根，令，利用二次函数的性质列式可得答案. 【详解】设区间为函数的共鸣区间， 因为在上单调递增，且在上的值域也为， 所以，即，因为， 解得，或，或， 所以的共鸣区间为或或（三个写其中任何一个都可以）； 因为函数在上单调递增， 若存在共鸣区间，则， 即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， 所以在上有两个不等的实根， 令，所以在上有两个不等的实根， 则，解得， 则实数的取值范围是，即. 故答案为：或或（三个写其中任何一个都可以）；. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键点是利用等价转化思想将问题转化为二次函数的零点问题求解. 四、解答题 15. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 若选①：直线的方程为． 若选②：直线的方程为． 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，先求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程. （2）选①的情况：先联立直线与角平分线的方程求出点的坐标，再利用对称点的性质求出点关于角平分线的对称点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 选②的情况：先联立直线与边上中线的方程求出点的坐标，然后根据中点坐标公式及中点在边上中线所在直线上，得到点满足的方程，再结合在边上高所在直线上，联立求出点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为边上的高所在的直线方程为， 转化为斜截式，其斜率为， 所以直线的斜率为， 又的顶点，所以直线的方程为， 即． 【小问2详解】 若选①：角的平分线所在的直线方程为， 由解得，所以点． 设点 关于的对称点， 则 解得所以点， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由解得所以点． 设点，则的中点在直线上， 所以，即， 所以点在直线上， 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上， 由解得即点， 所以， 所以直线的方程为，即． 16. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 17. 定义在上的函数是单调函数，满足，且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 为奇函数，证明如下： 因为定义域为，关于原点对称； 且，即， 故为奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）通过赋值，即可容易求得结果； （2）让替换，结合函数定义域以及，即可判断和证明； （3）求得，结合函数单调性以及分离参数法，求解即可. 【小问1详解】 根据题意可得，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，， 即，故， 又为单调性函数，故为上的单调增函数； 则等价于，， 故，对于任意恒成立， 即，对任意恒成立. 令，又在单调递减，在单调递增， 故当时，取得最小值为，故，即的取值范围为. 18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. （1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；证明如下: 分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， AI 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 ,证明略； 【小问2详解】 ， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为； 设平面的法向量，又，， ， 令，则，，； 当时，，此时二面角为钝角，二面角的余弦值为； 当时，，，此时二面角为锐角，二面角的余弦值为； 综上所述：二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键. 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再利用平面向量数量积的运算性质化简可得结果； （2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可； ②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可． 【小问1详解】 因为，所以点在线段上，如图①所示， 又，所以由， 得， 因为，且，， 所以（舍）或， 所以为的角平分线， 又，所以， 在中，， 由余弦定理得 ，故， 因为，则， 即，故. 【小问2详解】 记，①因为， 所以点在线段的延长线上，如图②所示， 即， 因为，所以， 化简得，即， 可得，即， 因为，所以； ②因为，则， 即，所以 ＝， 当且仅当|时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学·练习 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，则的面积是　　 A. 3 B. C. D. 4. 已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（ ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 5. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每个题目至少有两个选项符合题意） 9. （多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A. B. C. D. 10. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 11. 如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（ ） A. 正方体外接球的半径为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到的距离为 D. 若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为________． 13. 如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 14. 若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间________；（2）若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 17. 定义在上的函数是单调函数，满足，且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围． 18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. （1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $