湖南省永州市第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

数学·练习 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，则的面积是　　 A. 3 B. C. D. 4. 已知直线，为直线外一点，下列叙述中正确的是（ ）. ①过点有且只有一条直线与平行； ②过点有且只有一个平面与平行； ③过点有且只有一条直线与垂直； ④过点有且只有一个平面与垂直． A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 5. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每个题目至少有两个选项符合题意） 9. （多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A. B. C. D. 10. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 11. 如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（ ） A. 正方体外接球的半径为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到的距离为 D. 若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为________． 13. 如图，两条异面直线a、b所成的角为在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，线段的长为_____. 14. 若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间________；（2）若函数存在共鸣区间，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 17. 定义在上的函数是单调函数，满足，且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围． 18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. （1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 数学·练习 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（每小题6分，共18分，每个题目至少有两个选项符合题意） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或##或 【14题答案】 【答案】 ①. 或或（三个写其中任何一个都可以） ②. 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） 若选①：直线的方程为． 若选②：直线的方程为． 【16题答案】 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 为奇函数，证明如下： 因为定义域为，关于原点对称； 且，即， 故为奇函数. （3）. 【18题答案】 【答案】（1）；证明如下: 分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， AI 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； （2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【19题答案】 【答案】（1） （2）①；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $