第二章 一元二次方程 单元练习 2025-2026学年北师大版九年级上册数学

第二章一元二次方程单元练习 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D． 2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣6 3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+6x+9＝0 C．4x2﹣3x﹣2＝0 D．3x2﹣x+2＝0 4．某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．500x2＝1200 B．500（1+x2）＝1200 C．500（1+x）2＝1200 D．500（1+x）+500（1+x）2＝1200 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6 6．若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则（　　） A．﹣7 B．3 C．5 D．7 8．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 9．用配方法解方程x2+4x+1＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x+4）2＝3 C．（x+2）2＝3 D．（x+4）2＝5 10．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 二．填空题（共6小题） 11．若x＝3是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个解，则m＝ 　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是　 　 ． 13．某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 　 　 人． 14．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+2k＝0的两个根，则k的值是 　 　 ． 15．某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价48.6元/盒，则该药品平均降价率是 　 　 ． 16．代数式m2+2m+3的最小值为　 　 ；代数式的最大值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）x（x﹣5）＝2x﹣10． 18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）若有两个相等的实数根，求此时方程的根； （3）若方程两根都是负数，求m的取值范围． 19．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， 因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时， （x+2）2的值最小，最小值是0， 所以（x+2）2+1≥1， 所以当（x+2）2＝0时，即x＝﹣2时（x+2）2+1的值最小，最小值是1， 即x2+4x+5的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝　 　 ． ②已知S＝x2+4y2﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数x，y满足y＝x2﹣5x+10，当x等于多少时，y﹣x能取得最小值并求出最小值． 22．材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　 ；x1x2＝ 　 　 ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求出t﹣s的值． 23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 第二章一元二次方程单元练习 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D B B B A C B 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D． 【解答】解：A．方程x+2y＝1是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意； C．方程x＝2x3﹣3是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣6 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1． 故选：B． 3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+6x+9＝0 C．4x2﹣3x﹣2＝0 D．3x2﹣x+2＝0 【解答】解：分别求出每个方程根的判别式的值再逐项分析判断如下： A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵Δ＝62﹣4×1×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×（﹣2）＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×3×2＝﹣23＜0， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 4．某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．500x2＝1200 B．500（1+x2）＝1200 C．500（1+x）2＝1200 D．500（1+x）+500（1+x）2＝1200 【解答】解：∵该企业今年1月份的利润为500万元，且2月份和3月份利润的平均增长率为x， ∴该企业今年2月份的利润为500（1+x）万元，3月份的利润为500（1+x）2万元． 根据题意得：500（1+x）+500（1+x）2＝1200． 故选：D． 5．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0一个根为3，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6 【解答】解： 设方程的另一根为x， ∵方程x2+mx﹣3＝0一个根为3， ∴3x＝﹣3，解得x＝﹣1，即方程的另一根为﹣1， 故选：B． 6．若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×b＝16﹣4b， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即16﹣4b＝0， ﹣4b＝﹣16， b＝4． 故选B． 7．设一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则（　　） A．﹣7 B．3 C．5 D．7 【解答】解：∵x1是方程x2+2x﹣5＝0的根， ∴2x1﹣5＝0， ∴2x1＝5， ∵x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣2， ∴3x1+x22x1+x1+x2＝5﹣2＝3， 故选：B． 8．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 9．用配方法解方程x2+4x+1＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x+4）2＝3 C．（x+2）2＝3 D．（x+4）2＝5 【解答】解：原方程移项得x2+4x＝﹣1， ∴x2+4x+4＝﹣1+4， ∴（x+2）2＝3， 故选：C． 10．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1， ∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1， 解得：x＝﹣1或3， 即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．若x＝3是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个解，则m＝ 　﹣5　 ． 【解答】解：把x＝3代入原方程得：9+3m+6＝0， 解得：m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 12．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是　9　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个相等的实数根， ∴， 解得：k＝9， ∴k的值是9． 故答案为：9． 13．某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有 　9　 人． 【解答】解：设这个小组有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺年片， 根据题意得：x（x﹣1）＝72， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 14．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+2k＝0的两个根，则k的值是 　18　 ． 【解答】解：当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+2k＝0， 解得：k， 此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣9）＝0， 解得：x1＝3，x2＝9， ∵3+3＝6＜9， ∴3不能为等腰三角形的腰； 当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣12）2﹣8k＝144﹣8k＝0， 解得：k＝18， 原方程为：x2﹣12x+36＝0， 此时x1＝x2＝6， ∵3、6、6可以围成等腰三角形， ∴k＝18． 故答案为：18． 15．某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价48.6元/盒，则该药品平均降价率是 　10%　 ． 【解答】解：设该药品平均每次降价率是x， 依题意，得：60（1﹣x）2＝48.6， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 故答案为：10%． 16．代数式m2+2m+3的最小值为　2　 ；代数式的最大值为　3　 ． 【解答】解：由题意得，m2+2m+3＝（m+1）2+2． ∵对于任意实数m都有（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+2≥2． ∴当m＝﹣1时，代数式m2+2m+3取最小值为2． 又∵（m）2+3， ∴当m时，代数式取最大值为3． 故答案为：2；3． 三．解答题（共8小题） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）x（x﹣5）＝2x﹣10． 【解答】解：（1）原方程移项得： x2﹣2x+1＝5， （x﹣1）2＝5， ， 解得：，； （2）原方程移项得x（x﹣5）﹣（2x﹣10）＝0， 因式分解得（x﹣2）（x﹣5）＝0， 解得x1＝2，x2＝5． 18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）若有两个相等的实数根，求此时方程的根； （3）若方程两根都是负数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴32﹣4×1×（m﹣1）＞0即：m， ∴实数m的取值范围是m． （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴32﹣4×1×（m﹣1）＝0则：m， ∴原方程为：，解得：， ∴原方程的根为：， （3）由根与系数的关系可知： ， ∵方程两根都是负数， ∴m﹣1＞0，则：m＞1， ∴m的取值范围是m＞1． 19．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x 根据题意得：50（1﹣x）2＝32 解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去） 答：每次下降20% （2）设涨价y元（0＜y≤8） 6000＝（10+y）（500﹣20y） 解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去） 答：每千克应涨价5元． 20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何实数，该方程总有实数根； （2）①若a＝1为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣2）2＝0，解得：k＝2． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， 故周长为1+2+2＝5； ②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝1 代入方程：12﹣（k+2）+2k＝0 解得k＝1， 则原方程化为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即b＝1，c＝2， 此时△ABC三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去； ∴△ABC的周长为5． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， 因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时， （x+2）2的值最小，最小值是0， 所以（x+2）2+1≥1， 所以当（x+2）2＝0时，即x＝﹣2时（x+2）2+1的值最小，最小值是1， 即x2+4x+5的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝　﹣1　 ． ②已知S＝x2+4y2﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数x，y满足y＝x2﹣5x+10，当x等于多少时，y﹣x能取得最小值并求出最小值． 【解答】解：（1）①由条件可得（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0， ∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0， ∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， 解得：x＝1，y＝﹣2， ∴x+y＝1﹣2＝﹣1； 故答案为：﹣1； ②当k＝13时，S为“完美数”，理由如下： S＝x2+4y2+4x﹣12y+k ＝x2+4y2+4x﹣12y+13 ＝（x2+4x+4）+（4y2﹣12y+9） ＝（x+2）2+（2y﹣3）2， 由条件可知x+2，2y﹣3是整数， ∴S是一个“完美数”； （2）∵y＝x2﹣5x+10， ∴y﹣x＝x2﹣5x+10﹣x ＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1， ∴（x﹣3）2+1≥1， ∴当x＝3时，y﹣x有最小值，最小值为1． 22．材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 　　 ；x1x2＝ 　　 ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求出t﹣s的值． 【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴，， 故答案为：； （2）由题意可知，， ∴． （3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，s≠t， ∴实数s、t是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴，， ∴， ∴，即或 23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 【解答】解：7÷2（s）． 当运动时间为t s（0≤t）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm． （1）依题意得：2t×（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）． 答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2． （2）不能，理由如下： 依题意得：2t×（5﹣t）＝7， 整理得：t2﹣5t+7＝0． ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PBQ的面积不能等于7cm2． 24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000； （2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）100×60， 解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米； （3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15， ∵5≤a≤12， ∴a＝10． 设修建的花圃的造价为y元，y＝55.625S； 当a＝10时，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元）， S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元）， 造价和：178000+140000＝318000（元）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $