第一章 特殊的平行四边形 单元练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版9年级上数学第一章特殊的平行四边形 一．选择题（共10小题） 1．某伸缩门每行由20个菱形组成，如图，已知每个菱形的周长为240cm，当∠A＝60°时，该伸缩门的宽度为（　　） A．12m B．16m C．24m D．32m 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点M在边BC上，若MA平分∠DMB，则CM=（　　） A．3 B．1 C．2 D． 3．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：3，则∠CAE=（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 4．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 （1） （2） （3） （4） 5．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　）A．4 B．8 C．12 D．16 6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；③当CD＝PM时，t＝4或5s；④当CD＝PM时，t＝4或6s．其中结论正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （5） （6） （7） 7．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（　　） A．100° B．120° C．130° D．180° 8．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （8） （9） （10） 二．填空题 11．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC=　 　 °． （11） （12） （13） （14） 12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于 　 　 （用含α的式子表示）． 14．如图，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处，若OA＝8，OB＝10，则点D的坐标是 　 　 ． 15．四边形ABCD的对角线AC，BD交点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ可能不是平行四边形； ②若AC＝BD，则四边形MNPQ一定是菱形；③若AC⊥BD，则四边形MNPQ一定是矩形； ④若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ也是菱形．所有正确推断的序号是 　 　 ． 16如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则DF= 　 ． （15） （16） 三．解答题 17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE． （1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若DB＝6，AC＝8，求菱形ABCD的面积． 18．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高． （1）求证：DH＝EF； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 19．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点， AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF， ∠BEF＝2∠BAC．（1）求证：OE＝OF；（2）若AC＝6，求AB的长． 20．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点．（1）连结EG，GF，FH，HE，请证明四边形EGFH是平行四边形； （2）猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论． 21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝9，求OC的长； （3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 22．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF＝　 　；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长？（2）观察图3和图4，①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′＝x，当x的取值范围是　 　时，四边形AEA′F是菱形． 23．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上． （1）求证：BF＝NF；（2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长； （3）已知∠MEF＝30°，求的值． 24．如图，矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点 C、D重合）．运动时间设为t秒．（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP＝　　 cm；DQ＝　 cm（用含t的代数式表示）；（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD＝PQ，使△DPQ为等腰三角形？（3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？ 北师大版9年级上数学第一章特殊的平行四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A B A A D C C 一．选择题（共10小题） 1．某伸缩门每行由20个菱形组成，如图，已知每个菱形的周长为240cm，当∠A＝60°时，该伸缩门的宽度为（　　） A．12m B．16m C．24m D．32m 【分析】根据题意，求出BD的长，据此得出伸缩门的宽度即可． 【解答】解：连接BD， ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， 又∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∵菱形的周长为240cm， ∴AB＝BD＝AD＝60cm， ∴伸缩门的宽度为：60×20＝1200cm＝12m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律及菱形的性质，能根据题意求出BD的长是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点M在边BC上，若MA平分∠DMB，则CM的长是（　　） A．3 B．1 C．2 D． 【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝1，AD∥CB，BC＝AD＝2，∠C＝90°，由平行线的性质得出∠DAM＝∠AMB，再由角平分线证出∠AMB＝∠AMD，由勾股定理求出CM即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝1，AD∥CB，BC＝AD＝2，∠C＝90°， ∴∠DAM＝∠AMB， ∵AM平分∠DMB， ∴∠AMB＝∠AMD， ∴∠DAM＝∠AMD， ∴DM＝AD＝2， ∴CM， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 3．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE＝1：3，则∠CAE的度数（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 【分析】先运用矩形的性质可得∠DAB＝90°，OA＝OB，再由∠D AE：∠BAE＝1：3可得∠DAE＝22.5°，∠BAE＝67.5°；进而得出∠DBA＝22.5°，再由 OA＝OB 得出∠OAB＝∠OBA＝22.5°，再由∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB 即可求解． 【解答】解：∵∠DAE：∠BAE＝1：3，∠DAB＝90°， ∴∠DAE＝22.5°，∠BAE＝67.5°， ∴∠DBA＝90°﹣∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°． ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠OAB＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故选：C． 【点评】本题主要考查矩形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 4．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由“AAS”可证△ABG≌△DEG，可得AG＝DG，由三角形中位线定理可得OGCDAB，OG∥CD，可得∠FOG＝∠BAC＝30°，故①和②正确；由菱形的判定可证四边形ABDE是菱形，故④正确；由面积和差关系可证③正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，OG∥CD， ∴OG∥AB， ∴∠FOG＝∠BAC＝30°， ∴①和②正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形， ∴④正确； ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABD＝S△BDES菱形ABDE， ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△ODG， ∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ∴③正确； 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角形ABC的面积． 【解答】解：∵四边形AMEF是正方形， 又∵S正方形AMEF＝16， ∴AM2＝16， ∴AM＝4， 在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， ∴， 即BC＝2AM＝8， 在Rt△ABC中，AB＝4， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论： ①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形； ②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形； ③当CD＝PM时，t＝4或5s； ④当CD＝PM时，t＝4或6s． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列出方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形时，根据DP＝CM，列出方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：四边形CDPM是平行四边形时；四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【解答】解：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝10cm，BC＝8cm， ∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正确； 当四边形CDPM为平行四边形时，则DP＝CM， 即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正确； 当CD＝PM时，分两种情况： 当四边形CDPM是平行四边形时，则DP＝CM， 即8﹣t＝t，解得t＝4， 当四边形CDPM是等腰梯形时， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵CD＝PM，GM＝HC， ∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∴， 又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD， ∴AG＝BM， 即， 解得t＝6， 综上可得，当CD＝PM时， t＝6或t＝4， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 7．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1+∠2＝（　　） A．100° B．120° C．130° D．180° 【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解． 【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1， ∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3， ∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝150°﹣∠3， ∵∠3＝50°， ∴∠1+∠2＝150°﹣50°＝100°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点． 8．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【分析】根据矩形的性质可得∠BAD＝∠ADC＝90°，根据F，G分别是BE，CE的中点，可得AFBE，DGCE，FG是△BEC的中位线，求出BE，CE和BC的长，进一步可知△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°，根据S△BEC求出△BEC的面积，根据△BEC和矩形ABCD同底等高，可知矩形ABCD的面积＝2S△BEC，即可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵F，G分别是BE，CE的中点， ∴AFBE，DGCE，FG是△BEC的中位线， ∴FGBC， ∵AF＝3，DG＝4，FG＝5， ∴BE＝6，CE＝8，BC＝10， ∵BE2+CE2＝36+64＝100，BC2＝100， ∴BE2+CE2＝BC2， ∴△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°， ∴S△BEC24， ∴矩形ABCD的面积＝2S△BEC＝2×24＝48， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】根据菱形的性质，可证四边形OEPF是矩形，如图所示，连接OP，则EF＝OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4，OB＝ODBD6＝3， 在Rt△AOB中，AB5， 如图所示，连接OP， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小， ∵S△AOBOA•OBAB•OP， ∴OP， ∴EF的最小值为， 故选：C． 【点评】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①证明△PDF是等腰直角三角形，则PDPFCE，即可判断； ②根据①可知四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长＝2BC＝8，即可判断； ③证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断； ④当AP⊥BD时，即APBD＝2时，EF的最小值等于2，即可判断． 【解答】解：连接PC，如图， ∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°， 而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形， ∴PDPF， ∵PE⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴CE＝PF， ∴PDCE； 故①正确； ∵四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8； 故②正确； ∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF； 故③正确； 由EF＝PC＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 则当AP⊥BD时，即APBD＝2时，EF的最小值等于2； 故④不正确； 综上，①②③正确，结论正确的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 　135　 °． 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2+∠BCP＝45°＝∠1+∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠2+∠BCP＝45°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BCP＝45°， ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP， ∴∠BPC＝135°， 故答案为：135． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝　5　 ． 【分析】取AB的中点Q，连接NQ，NQ交BD于P，连接MQ，MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案． 【解答】解：取AB的中点Q，连接NQ，NQ交BD于P，连接MQ，MP，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠QBP＝∠MBP，AB∥CD，AB＝BC＝CD， ∵BMBC，BQAB， ∴BM＝BQ． ∴BP垂直平分QM， ∴Q，M关于BD对称（此时Q正好在AB上）， ∴PM+PN＝PQ+PN＝NQ，此时MP+NP的值最小， ∵CNCD， ∴CN＝BQ． ∵CN∥BQ， ∴四边形BQNC是平行四边形，QN∥BC． ∴NQ＝BC，QP为△ABD的中位线， ∴点P为BD的中点，连接AC，则AC经过点P， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，且CPAC＝3，BPBD＝4， 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC5， 即NQ＝5， ∴MP+NP＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于 　2α　 （用含α的式子表示）． 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°，再结合全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【解答】解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°， 由旋转可知， AE＝AM，∠MAD＝∠EAB，∠ADM＝∠B＝90°， ∴∠MAF＝∠MAD+∠DAF＝∠EAB+∠DAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MAF＝∠EAF． 在△AMF和△AEF中， ， ∴△AMF≌△AEF（SAS）， ∴∠M＝∠AEF． ∵∠BAE＝α， ∴∠AEB＝90°﹣α，∠MAD＝α， ∴∠AEF＝∠M＝90°﹣α， ∴∠FEC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α． 故答案为：2α． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及列代数式，能根据全等三角形的判定与性质得出∠AEF＝∠AEB是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处，若OA＝8，OB＝10，则点D的坐标是 　（10，3）　 ． 【分析】根据矩形的性质可知AC＝OB＝10，OA＝BC＝8，再利用折叠的性质得AE＝AC＝10，CD＝DE，由勾股定理求得OE＝6，设BD＝m，则CD＝DE＝（8﹣m），在Rt△BDE中，利用勾股定理列方程可得答案． 【解答】解：∵A（0，8），B（10，0）， ∴OA＝8，OB＝10， ∵四边形OACB是矩形， ∴AC＝OB＝10，OA＝BC＝8， ∵将该长方形沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的E处． ∴AE＝AC＝10，CD＝DE， 由勾股定理得，OE＝6， ∴BE＝4， 设BD＝m，则CD＝DE＝8﹣m， 在Rt△BDE 中， 42+m2＝（8﹣m）2， 解得m＝3， ∴D（10，3）， 故答案为：（10，3）． 【点评】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 15．四边形ABCD的对角线AC，BD交点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ可能不是平行四边形； ②若AC＝BD，则四边形MNPQ一定是菱形； ③若AC⊥BD，则四边形MNPQ一定是矩形； ④若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ也是菱形． 所有正确推断的序号是 　②③　 ． 【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可． 【解答】解：∵点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴MN∥AC且，PQ∥AC且， ∴MN∥PQ且MN＝PQ， ∴MNPQ是平行四边形， 故①错误； ∵点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，， ∵AC＝BD， ∴MN＝PN， ∵MNPQ是平行四边形， ∴四边形MNPQ是菱形， 故②正确； ∵点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴MN∥AC，MQ∥BD， ∵AC⊥BD， ∴MN⊥MQ， ∴∠QMN＝90°， ∵MNPQ是平行四边形， ∴MNPQ是矩形， 故③正确； 若要四边形MNPQ是菱形，需满足AC＝BD， 当四边形ABCD是菱形，AC不一定等于BD， 故④错误； 综上，正确的有：②③， 故答案为：②③． 【点评】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段DF的长为（　　） 【分析】根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB＝5，再根据三角形的面积可求得D的长． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB， ∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝CE，∠EFC＝45°， ∴∠BFC＝∠B′FC＝135°， ∴∠B′FD＝90°， ∵S△ABCAC•BCAB•CE， ∴AC•BC＝AB•CE， ∴CE， ∴EF，ED＝AE， ∴DF＝EF﹣ED． 【点评】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若DB＝6，AC＝8，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论； （2）根据菱形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OCAC， ∴∠DOC＝90°， ∵DE∥AC，DEAC， ∴DE＝OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，DB＝6，AC＝8， ∴菱形ABCD的面积． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键． 18．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高． （1）求证：DH＝EF； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EFAB，根据直角三角形的性质得到DHAB，证明结论； （2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论． 【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点， ∴EFAB， ∵AH⊥BC，D是AB的中点， ∴DHAB， ∴DH＝EF； （2）连接DF， 由（1）得，DH＝EF， 同理DE＝HF， 在△DHF和△DEF中， ， ∴△DHF≌△DEF， ∴∠DHF＝∠DEF． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 19如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）若AC＝6，求AB的长． 【分析】（1）利用矩形的性质得出∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，进而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可； （2）首先求出∠BAC＝30°，进而得出∠BEF＝2∠OBE，利用勾股定理求出AB即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）解：连接OB，如图所示： ∵BF＝BE，OE＝OF， ∴BO⊥EF， 由（1）知，△AOE≌△COF， ∴OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴BOAC＝OA， ∴∠BAC＝∠OBA， 又∠BEF＝2∠BAC， ∴∠BEF＝2∠OBE， 而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∴BCAC＝3， ∴AB9． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出△AOE≌△COF是解题关键． 20．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点．（1）连结EG，GF，FH，HE，请证明四边形EGFH是平行四边形； （2）猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）由三角形的中位线定理得EH∥FG，EH＝FG，由平行四边形的判定方法，即可求证； （2）由三角形的中位线定理得，等量代换得FH＝EH，即可求证． 【解答】（1）证明：∵G，H分别是BD，AC的中点，E，F分别是AD，BC的中点， ∴FG是△BCD的中位线，EF是△ADC的中位线， ∴EH∥CD，， FG∥CD，， ∴EH∥FG， ∵EH＝FG， ∴四边形EGFH是平行四边形； （2）解：EF⊥GH， 理由如下： ∵F是BC的中点， H是AC的中点， ∴FH是△ABC的中位线， ∴， ∵AB＝DC， ∴， ∴FH＝EH， ∵四边形EGFH是平行四边形， ∴四边形EGFH是菱形． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定及性质，掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定及性质是解题的关键． 21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝9，求OC的长； （3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得∠ACE＝∠OEC，则OE＝OC，同理OC＝OF，即可得出结论； （2）利用勾股定理可求得EF的长，再结合（1）的结论可求得OC的长； （3）只要保证四边形AECF是平行四边形即可，则可知O为AC的中点时，满足条件． 【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠ECB＝∠OEC， ∴∠ACE＝∠OEC， ∴OE＝OC， 同理可得OC＝OF， ∴OE＝OF； （2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD， ∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD， ∴∠ACE+∠ACF∠BCD180°＝90°， ∴EF15， ∴OCEF＝7.5； （3）解：当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： 当O为AC中点时，则OA＝OC， 由（1）可知，OC＝OE＝OF， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形，AC＝EF， ∵AC＝EF， ∴平行四边形AECF为矩形． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 22．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF＝　5　；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长？ （2）观察图3和图4， ①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′＝x，当x的取值范围是　3≤x≤5　时，四边形AEA′F是菱形． 【分析】（1）由于矩形对折，于是EF＝AD＝5；根据折叠的性质得到DC＝AB＝3，A′F＝AD＝5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C＝4，设AE＝t，则BE＝3﹣t，EA′＝t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3﹣t）2+12＝t2，解得t，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF； （2）①根据折叠的性质得到EA＝EA′，FA＝FA′，∠AEF＝∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF＝∠AFE，则有∠A′FE＝∠A′EF，于是A′E＝A′F，易得AE＝EA′＝A′F＝FA，根据菱形的判定即可得到结论． ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′＝BA＝3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′＝5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形； 【解答】解：（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF＝AD＝5． 故答案为：5； 如图2，DC＝AB＝3，A′F＝AD＝5， 在Rt△A′CF中，A′C4， 设AE＝t，则BE＝3﹣t，EA′＝t， 在Rt△EBA′中，BA′＝BC﹣A′C＝5﹣4＝1， ∵BE2+BA′2＝EA′2， ∴（3﹣t）2+12＝t2，解得t， 在Rt△AEF中，AE，AF＝5， ∴EF； （2）①如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF， ∴EA＝EA′，FA＝FA′，∠AEF＝∠A′EF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AF∥EC， ∴∠A′EF＝∠AFE， ∴∠A′FE＝∠A′EF， ∴A′E＝A′F， ∴AE＝EA′＝A′F＝FA， ∴四边形AEA′F是菱形． ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′＝BA＝3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′＝5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形， 故答案为：3≤x≤5； 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质． 23．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上． （1）求证：BF＝NF； （2）已知AB＝2，AE＝1，求EG的长； （3）已知∠MEF＝30°，求的值． 【分析】（1）连接BE，EN，根据矩形的性质和旋转的性质即可求解； （2）根据矩形的性质和旋转的性质可证△NGF≌△HGE，再由勾股定理即可求解； （3）根据平行线的性质可得∠DME＝∠MEF＝30°，设DE＝x，由∠D＝90°，可得ME＝DC＝AB＝2x，DMx，MC＝（2）x，再表示出BC＝AD＝DM+MN＝2（2）x+x＝（5﹣2）x，进一步即可求解． 【解答】解：（1）连接BE，EN，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BFE＝90°， 由旋转得BE＝EN， ∴BF＝NF； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴BF＝AE，EF＝AB， 由旋转得EH＝EA， ∵BF＝NF， ∴EH＝NF， ∵∠BFE＝∠GHE＝90°，∠NGF＝∠HGE， ∴△NGF≌△HGE， ∴FG＝GH， 设EG＝x，则GF＝GH＝2﹣x， 由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2＝1， 解得x， ∴EG； （3）∵EF∥DC， ∴∠DME＝∠MEF＝30°， 设DE＝x， ∵∠D＝90°， ∴ME＝DC＝AB＝2x，DMx， ∴MC＝（2）x， ∵∠NME＝90°，∠DME＝30°， ∴∠NMC＝60°， ∴∠MNC＝30°， ∴MN＝2MC＝2（2）x， ∴BC＝AD＝DE+MN＝2（2）x+x＝（5﹣2）x， ∴． 【点评】考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，（2）的关键是证明△NGF≌△HGE，注意方程思想的应用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/9 15:48:10；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 24．如图，矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点 C、D重合）．运动时间设为t秒． （1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP＝　3t　 cm；DQ＝　3t　 cm（用含t的代数式表示）； （2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD＝PQ，使△DPQ为等腰三角形？ （3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？ 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，即可解决问题． （2）过点P作PE⊥CD于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，DEDQ，列出方程即可解决问题． （3）当PD＝PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AP＝3t cm，CQ＝3t cm． 故答案为3t，3t； （2）过点P作PE⊥CD于点E， ∴∠PED＝90°， ∵PD＝PQ， ∴DEDQ， 在矩形ABCD中，∠A＝∠ADE＝90°，CD＝AB＝16cm， ∴四边形PEDA是矩形， ∴DE＝AP＝3t， 又∵CQ＝2t， ∴DQ＝16﹣2t， ∴DEDQ， ∴3t（16﹣2t）， ∴t＝2， ∴当t＝2时，PD＝PQ，△DPQ为等腰三角形； （3）在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，依题知AP＝CQ＝3t cm， ∴PB＝DQ， ∴四边形BPDQ是平行四边形， 当PD＝PB时，四边形BPDQ是菱形， ∴PB＝AB﹣AP＝16﹣3t， 在Rt△APD中，PD， 由PD＝PB， ∴16﹣3t， ∴（16﹣3t）2＝9t2+36， 解得：． ∴当时，四边形BPDQ是菱形． 【点评】本题考查四边形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 22:57:03；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $