3.4二元一次方程组及其解法 同步练 2025-2026学年沪科版（2024）数学七年级上册

3．4　二元一次方程组及其解法 第1课时　二元一次方程(组) 知识点1　二元一次方程及解的概念 1．下列各方程中，是二元一次方程的是( ) A．－＝y＋5x B．3x＋1＝2xy C．x＝y2＋1 D．x＋y＝1 2．若方程x|a|-1＋(a－2)y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是( ) A．a＞2 B．a＝2 C．a＝－2 D．a＜－2 3．若是方程ax＋(a－2)y＝0的一组解，则a的值是( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 知识点2　二元一次方程组及解的概念 4．若方程组的解是则a，b为( ) A． B． C． D． 5．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别是( ) A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 6．写一个以为解的二元一次方程组__ __. 知识点3　根据实际问题列方程组 7．(广西玉林期末)在3月12日植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是( ) A． B． C． D． 8．甲种物品每个4 kg，乙种物品每个7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76 kg. (1)请列出关于x，y的二元一次方程； (2)若x＝12，求y的值； (3)若有乙种物品8个时，有甲种物品多少个？ 易错易混点　对二元一次方程的概念理解不够透彻而出错 9．已知方程ax＋y＝3x－2是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是__ __． 10．已知关于x，y的方程x2m－n-2＋4ym＋n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为( ) A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1 C．m＝，n＝－ D．m＝－，n＝ 11．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多 3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为__ __． 12．(广西崇左扶绥县期末)若是二元一次方程ax＋by＝－1的一个解，则3a－2b＋2 025的值为__ _ __． 13．(广西梧州长洲区模拟)为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力，某校初三年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一等奖奖品每班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？根据题意列方程组． 14．(运算能力)某中学为了改造劳动实践基地，需要2 m和3 m两种规格的钢管．从建材市场购回一根长17 m的钢管，将其截成2 m长x段，3 m长y段． (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)请问有几种方案可以满足条件？ 第2课时　用代入法解二元一次方程组 知识点1　用含有x(y)的代数式表示y(x) 1．已知二元一次方程x＋y＝2，用含x的式子表示y，正确的是( ) A．y＝2－x B．y＝x－2 C．x＝2＋y D．x＝2－y 2．(广西梧州长洲区月考)把方程2x－y＝－1改写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是( ) A．y＝2x－1 B．y＝2x＋1 C．y＝－2x－1 D．y＝－2x＋1 3．对于二元一次方程x＋2y＝5，用含有y的代数式表示x，则x＝__ __． 知识点2　用代入法解二元一次方程组 4．(广西百色田东县模拟)用代入消元法解方程组将①代入②可得( ) A．5x－4x－2＝7 B．5x－2x－1＝7 C．5x－4x＋1＝7 D．5x－4x＋2＝7 5．方程组的解是__ __. 易错易混点　错误选择变形的方程 6．解方程组 7．(河北秦皇岛昌黎县期末)对于二元一次方程组把①代入②消去y后所得到的方程为3x－x－5＝8，则①可以是( ) A．y＝x＋5 B．y＝x－5 C．x＝y＋5 D．x＝3y－5 8．(广西崇左天等县期末)已知－4ax－yb4与a2bx＋y是同类项，那么x，y的值为( ) A． B． C． D． 9．在关于x，y的二元一次方程组中，若2x＋3y＝2，则a的值为__ __． 10．表中的每一对x，y的值都是二元一次方程ax＋by＝6的一个解，则表中“？”表示的数为__ __． x 2 1 0 －1 … ？ y 2 4 6 8 … 102 【母题P112T3】 已知关于x，y的二元一次方程组的解为求a，b的值． 【变式1】 若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝4， 的解中x和y的和为1，求k的值． 【变式2】 若方程组和方程组 有相同的解，求a，b的值． 11.（运算能力）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得x－y＝1③，然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 第3课时　用加减法解二元一次方程组 知识点1　直接采用加减法解二元一次方程组 1.解方程组时，由②－①得( ) A．2y＝8 B．4y＝8 C.－2y＝8 D．－4y＝8 2.（广西百色田东县月考）用加减消元法解方程组下列做法正确的是( ) A.①＋② B．①－② C.①＋②×5 D．①×5－② 3.（广西崇左天等县月考）已知二元一次方程组则x－y的值为( ) A.2 B．6 C．－2 D．－6 4.若则x＋y的值为 ． 知识点2　变形后采用加减法解二元一次方程组 5.用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( ) A.①×2－② B．②×(－3)－① C.①×(－2)＋② D．①－②×3 =6.（广西贺州昭平县期末）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①＋②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是( ) A.m＝n B．m·n＝1 C.m＋n＝1 D．m＋n＝0 7.（广西贺州八步区月考）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数）若不论a取什么数，代数式kx＋2y（k是常数）的值始终不变，则k的值为 ． 易错易混点　解方程组出现变形错误 8.解方程组： 9.用加减法解方程组下列解法正确的是( ) A.①×2＋②×3消去y B.①×3－②×2消去y C.①×3＋②×2消去x D.①×2＋②×3消去x 10.（广西贺州平桂区月考）芳芳解方程组的解为由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙，则⊗与⊙表示的数分别是( ) A. B． C. D． 11.（广西百色隆林县期末）在等式y＝3x2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则b与c的值分别为( ) A.b＝－2，c＝－5 B．b＝2，c＝－5 C.b＝－2，c＝5 D．b＝2，c＝5 12.（广西百色田东县月考）用加减法解方程组中，消x用 法，消y用 法．( ) A.加，加 B．加，减 C.减，加 D.乘，减 13.对于解二元一次方程组① ②下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ． 14.（广西百色右江区模拟）解方程组： (1) (2) 15.（运算能力）（广西贺州钟山县月考）题目：已知有理数a，b满足a＋b＝2，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组再求k的值； 乙同学：先解方程组再求k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)关于上述三种不同思路，完成下列任务： ①正确的画“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路 ；乙同学的思路 ；丙同学的思路 ； ②试选择其中一个你认为正确的思路，解答此题； (2)在解关于x，y的方程组时，可以用①×7－②×3消去未知数x，也可以用①×2＋②×5消去未知数y，求m和n的值； (3)在(2)的条件下，直接写出方程组的解为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．4　二元一次方程组及其解法 第1课时　二元一次方程(组) 知识点1　二元一次方程及解的概念 1．下列各方程中，是二元一次方程的是(　D　) A．－＝y＋5x B．3x＋1＝2xy C．x＝y2＋1 D．x＋y＝1 2．若方程x|a|-1＋(a－2)y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是(　C　) A．a＞2 B．a＝2 C．a＝－2 D．a＜－2 3．若是方程ax＋(a－2)y＝0的一组解，则a的值是(　C　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 知识点2　二元一次方程组及解的概念 4．若方程组的解是则a，b为(　B　) A． B． C． D． 5．如果方程组的解为那么被“★”“■”遮住的两个数分别是(　A　) A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 6．写一个以为解的二元一次方程组__(答案不唯一)__. 知识点3　根据实际问题列方程组 7．(广西玉林期末)在3月12日植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是(　D　) A． B． C． D． 8．甲种物品每个4 kg，乙种物品每个7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76 kg. (1)请列出关于x，y的二元一次方程； (2)若x＝12，求y的值； (3)若有乙种物品8个时，有甲种物品多少个？ (1)关于x，y的二元一次方程为4x＋7y＝76. (2)当x＝12时，4×12＋7y＝76，解得y＝4. (3)当y＝8时，4x＋7×8＝76，解得x＝5. 因此有乙种物品8个时，有甲种物品5个． 易错易混点　对二元一次方程的概念理解不够透彻而出错 9．已知方程ax＋y＝3x－2是关于x，y的二元一次方程，则a满足的条件是__a≠3__． 10．已知关于x，y的方程x2m－n-2＋4ym＋n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为(　A　) A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1 C．m＝，n＝－ D．m＝－，n＝ 因为方程x2m－n-2＋4ym＋n+1＝6是二元一次方程， 所以解得 11．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多 3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为____． 12．(广西崇左扶绥县期末)若是二元一次方程ax＋by＝－1的一个解，则3a－2b＋2 025的值为__2_024__． 将代入方程ax＋by＝－1可得，3a－2b＝－1，所以原式＝－1＋2 025＝2 024. 13．(广西梧州长洲区模拟)为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力，某校初三年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一等奖奖品每班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？根据题意列方程组． 设获得一等奖和二等奖的班级分别有x个和y个， 根据题意得： 14．(运算能力)某中学为了改造劳动实践基地，需要2 m和3 m两种规格的钢管．从建材市场购回一根长17 m的钢管，将其截成2 m长x段，3 m长y段． (1)列出关于x，y的二元一次方程； (2)请问有几种方案可以满足条件？ (1)2 m长x段，3 m长y段，根据题意得：2x＋3y＝17； (2)因为x，y都是正整数，当x＝1时，y＝5，符合题意； 当x＝2时，y＝，不符合题意； 当x＝3时，y＝，不符合题意； 当x＝4时，y＝3，符合题意； 当x＝5时，y＝，不符合题意； 当x＝6时，y＝，不符合题意； 当x＝7时，y＝1，符合题意； 所以符合条件的解为： 所以有三种方案满足条件． 第2课时　用代入法解二元一次方程组 知识点1　用含有x(y)的代数式表示y(x) 1．已知二元一次方程x＋y＝2，用含x的式子表示y，正确的是(　A　) A．y＝2－x B．y＝x－2 C．x＝2＋y D．x＝2－y 2．(广西梧州长洲区月考)把方程2x－y＝－1改写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是(　B　) A．y＝2x－1 B．y＝2x＋1 C．y＝－2x－1 D．y＝－2x＋1 3．对于二元一次方程x＋2y＝5，用含有y的代数式表示x，则x＝__5－2y__． 知识点2　用代入法解二元一次方程组 4．(广西百色田东县模拟)用代入消元法解方程组将①代入②可得(　A　) A．5x－4x－2＝7 B．5x－2x－1＝7 C．5x－4x＋1＝7 D．5x－4x＋2＝7 5．方程组的解是____. 由②得y＝2x③，把③代入①，得3x＋2×2x＝7，解得x＝1，把x＝1代入③，得y＝2.所以原方程组的解是 易错易混点　错误选择变形的方程 6．解方程组 由①得y＝2x＋4.③把③代入②，得4x－5(2x＋4)＝－23，解得x＝. 将x＝代入①，得2×－y＝－4，所以y＝5. 故方程组的解为 7．(河北秦皇岛昌黎县期末)对于二元一次方程组把①代入②消去y后所得到的方程为3x－x－5＝8，则①可以是(　A　) A．y＝x＋5 B．y＝x－5 C．x＝y＋5 D．x＝3y－5 8．(广西崇左天等县期末)已知－4ax－yb4与a2bx＋y是同类项，那么x，y的值为(　C　) A． B． C． D． 因为－4ax－yb4与a2bx＋y是同类项，所以解得： 9．在关于x，y的二元一次方程组中，若2x＋3y＝2，则a的值为__3__． 10．表中的每一对x，y的值都是二元一次方程ax＋by＝6的一个解，则表中“？”表示的数为__－48__． x 2 1 0 －1 … ？ y 2 4 6 8 … 102 将代入原方程得：解得：所以原方程为2x＋y＝6.当y＝102时，2x＋102＝6，解得：x＝－48，所以表中“？”表示的数为－48. 【母题P112T3】 已知关于x，y的二元一次方程组的解为求a，b的值． 把代入方程组得： 解得： 【变式1】 若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝4， 的解中x和y的和为1，求k的值． 因为x和y的和为1，所以x＋y＝1.又因为2x＋3y＝4，所以y＝2.把y＝2代入x＋y＝1，得x＝－1.把x＝－1，y＝2代入kx－(k－1)y＝k－1，得－k－2(k－1)＝k－1，解得k＝. 答：k的值为. 【变式2】 若方程组和方程组 有相同的解，求a，b的值． 将3x－y＝7和2x＋y＝8组成方程组得，解得将分别代入ax＋y＝b和x＋by＝a得，解得： 答：a的值为－，b的值为－. 11.（运算能力）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得x－y＝1③，然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 由①得：－2x＋3y＝2，③ 将③代入②得：＋2y＝9，解得：y＝4，将y＝4代入①得：2x－3×4＋2＝0，解得：x＝5，故原方程组的解为 第3课时　用加减法解二元一次方程组 知识点1　直接采用加减法解二元一次方程组 1.解方程组时，由②－①得(　B　) A．2y＝8 B．4y＝8 C.－2y＝8 D．－4y＝8 2.（广西百色田东县月考）用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　A　) A.①＋② B．①－② C.①＋②×5 D．①×5－② 3.（广西崇左天等县月考）已知二元一次方程组则x－y的值为(　A　) A.2 B．6 C．－2 D．－6 4.若则x＋y的值为　4 ． 知识点2　变形后采用加减法解二元一次方程组 5.用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是(　D　) A.①×2－② B．②×(－3)－① C.①×(－2)＋② D．①－②×3 用加减消元法解二元一次方程组时，①×2－②消去x；2×(－3)－①，消去y；①×(－2)＋②，消去x；①－②×3，无法消元，则无法消元的是①－②×3. 6.（广西贺州昭平县期末）在解关于x，y的二元一次方程组时，如果①＋②可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是(　D　) A.m＝n B．m·n＝1 C.m＋n＝1 D．m＋n＝0 由①＋②得：8x＋(m＋n)y＝－3，因为①＋②可直接消去未知数y，所以m＋n＝0. 7.（广西贺州八步区月考）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数）若不论a取什么数，代数式kx＋2y（k是常数）的值始终不变，则k的值为　2 ． ①×2－②得：7y＝－7a＋7，解得：y＝1－a，将y＝1－a代入①得：x＋2(1－a)＝－a＋2，解得：x＝a，则kx＋2y＝ka＋2(1－a)＝ka＋2－2a＝(k－2)a＋2，因为不论a取什么数，代数式kx＋2y的值始终不变，所以k－2＝0，解得：k＝2. 易错易混点　解方程组出现变形错误 8.解方程组： ①×2＋②得：9x＝18，解得x＝2， 把x＝2代入②得：y＝－3，则方程组的解为 9.用加减法解方程组下列解法正确的是(　A　) A.①×2＋②×3消去y B.①×3－②×2消去y C.①×3＋②×2消去x D.①×2＋②×3消去x 10.（广西贺州平桂区月考）芳芳解方程组的解为由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙，则⊗与⊙表示的数分别是(　A　) A. B． C. D． 11.（广西百色隆林县期末）在等式y＝3x2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3，则b与c的值分别为(　A　) A.b＝－2，c＝－5 B．b＝2，c＝－5 C.b＝－2，c＝5 D．b＝2，c＝5 12.（广西百色田东县月考）用加减法解方程组中，消x用　　　　　法，消y用　　　　　法．(　C　) A.加，加 B．加，减 C.减，加 D.乘，减 13.对于解二元一次方程组① ②下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是　丙 ． 14.（广西百色右江区模拟）解方程组： (1) (2) (1)方程组可化为 ①×3得，6x－9y＝57③，②－③得，13y＝0， 解得y＝0，把y＝0代入①得，x＝9.5， 所以方程组的解是 (2)原方程组可变为 ①＋②得，4x＝－8，解得x＝－2， 把x＝－2代入①得，－2＋2y＝12，解得y＝7， 所以原方程组的解为 15.（运算能力）（广西贺州钟山县月考）题目：已知有理数a，b满足a＋b＝2，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组再求k的值； 乙同学：先解方程组再求k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)关于上述三种不同思路，完成下列任务： ①正确的画“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路　√　；乙同学的思路　√　；丙同学的思路　√　； ②试选择其中一个你认为正确的思路，解答此题； (2)在解关于x，y的方程组时，可以用①×7－②×3消去未知数x，也可以用①×2＋②×5消去未知数y，求m和n的值； (3)在(2)的条件下，直接写出方程组的解为　 ． (1)①甲同学的思路正确(√)，乙同学的思路正确(√)，丙同学的思路正确(√). 故答案为：√，√，√； ②①＋②，得5a＋5b＝4k－6，a＋b＝，因为a＋b＝2，所以＝2，解得：k＝4； (2)因为解关于x，y的方程组时，可以用①×7－②×3消去未知数x，也可以用①×2＋②×5消去未知数y，所以解得： (3)把m＝2，n＝5代入方程组 得：①×2＋②×5，得41x＝41，解得：x＝1，把x＝1代入②，得7＋2y＝8，解得：y＝， 所以方程组的解是 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $