精品解析：福建省三明市点 清流县第一中学2025届高考考前密训卷（一）数学试题

2025高考密训卷（一） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是第一象限角，，求（ ） A. B. C. D. 1 5. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 6. 现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为，1；第2个矩形的相邻两边长分别为，2；第3个矩形的相邻两边长分别为，；…，第个矩形相邻两边长分别为1，．则这个矩形的面积和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（ ） A. 函数可以将所有输入值映射到范围内 B. 函数和函数图象的对称中心相同 C. 复合模型函数有偶数个零点 D. 函数和函数的图象仅有一个公共点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某精密仪器测量金属薄片的误差服从正态分布，随机抽取10个测量数据，设为这10个数据误差在之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量，则）（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 是的最大值 C. 是的最小值 D. 时，有三个零点 11. 2025年春晚上，机器人跳舞的节目赢得满堂喝彩，展示了我国在前沿科技上的强大实力．通常在规划复杂一些的机器人运动轨迹时，需要用到数学中的双纽线．已知一个双纽线的方程为．点为曲线上的动点，轴上两点，．下列说法正确的是（ ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线及曲线内部共有10个整点（横纵坐标均为整数的点） C. 记曲线与坐标轴围成图形面积为，则 D. 若点在第一象限，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若偶函数在处的切线方程为，则___________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为___________． 14. 甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． （1）求的长； （2）若，求的周长． 16. 如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，点，分别在线段，上，且． （1）求证：平面； （2）若二面角为120°，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 18. 已知函数． （1）当时，求证：单调递增； （2）若在上不单调，求的取值范围； （3）当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：） 19. 数列的项数为，各项互不相同，．设，对数列各项作变换：若，将移到第项；若，将移到第项，得到的新数列记为；对各项重复上述变换，得到的新数列记为；…；依此类推．给定，若存在，使得的第项为，则称是的“关联数”． （1）若：4，1，3，5，2，给定，写出； （2）给定，证明：对任意，2和7都是的“关联数”； （3）已知：若整数，则存在，，，使得，其中．证明：当时，对任意，至少有4个“关联数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高考密训卷（一） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解不等式明确集合，再求两集合的交集. 【详解】二次不等式，变形得，解得或. 故. 因此. 故选：D 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的共轭复数得答案． 【详解】∵， ∴， ∴的虚部为． 故选：D． 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的虚部，属于简单题目. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得. 故选：B. 4. 已知，是第一象限角，，求（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简已知条件得，可求. 【详解】已知，得， 即， 可得， 由，是第一象限角，有， 所以，则有. 故选：D. 5. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 6. 现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为，1；第2个矩形的相邻两边长分别为，2；第3个矩形的相邻两边长分别为，；…，第个矩形相邻两边长分别为1，．则这个矩形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每个矩形的面积表示为等比数列的项，通过求和公式计算总和 【详解】第个矩形的相邻两边长分别为和（从到） 因此面积为： 总面积和为： 等比数列首项，公比，项数为 求和公式为： 代入得： 故选： 7. 已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求得的值，再对照的图象，得到与函数的周期间的关系，进而得到与的关系，利用求得的范围，得到的最小值. 【详解】由图象知所以.因为,所以.所以. 根据正弦函数的图象，如图， ,, 所以设函数的周期为T,则，即. 因为，所以所以. 所以的最小值为. 故选：A. 8. 随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（ ） A. 函数可以将所有输入值映射到范围内 B. 函数和函数图象的对称中心相同 C. 复合模型函数有偶数个零点 D. 函数和函数的图象仅有一个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可以判断A错误；分别求得函数和函数的对称中心即可判断B；判断得到是奇函数结合即可判断C；求方程,由方程解的个数可判断D. 【详解】对于A，，所以函数不能将所有输入值映射到范围内，故A错误； 对于B，函数和函数的定义域均为，即 图象的对称中心为； ，所以函数是奇函数，图象的对称中心是，故B错误； 对于C，的定义域为, ， ∴是奇函数，零点关于原点对称. 而,函数有奇数个零点. 对于D，令则即， 解得，∴.故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知某精密仪器测量金属薄片的误差服从正态分布，随机抽取10个测量数据，设为这10个数据误差在之外的个数，下列说法正确的是（已知若随机变量，则）（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得，进而求即可判断A，根据二项分布即可判断B，根据二项分布的数学期望公式即可判断C，利用二项分布计算即可判断D. 【详解】由题意有， 所以，故A正确； 又为这10个数据误差在之外的个数，则服从二项分布， 即，故B错误； 由二项分布的数学期望公式可得，故C正确； 由二项分布的概率公式可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时， B. 是的最大值 C. 是的最小值 D. 时，有三个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数研究的区间单调性，并确定各单调区间的值域，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由题设， 当或，则，当，则， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，， 所以，在区间上值域为，在区间上值域为，在区间上值域为， 所以有最小值，无最大值，B错，C对， 当，则，则，A对， 当时，区间上，即该区间上无零点， 且，则在、各有一个零点， 所以此时共有2个零点，D错. 故选：AC 11. 2025年春晚上，机器人跳舞的节目赢得满堂喝彩，展示了我国在前沿科技上的强大实力．通常在规划复杂一些的机器人运动轨迹时，需要用到数学中的双纽线．已知一个双纽线的方程为．点为曲线上的动点，轴上两点，．下列说法正确的是（ ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线及曲线内部共有10个整点（横纵坐标均为整数的点） C. 记曲线与坐标轴围成图形面积为，则 D. 若点在第一象限，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于上任意点，判断、、是否满足方程判断A；讨论、、、，结合对称性研究曲线及其内部整点个数判断B；根据方程得到，即可判断C；取椭圆上任意一点，且，结合方程判断与曲线的位置关系判断D. 【详解】A：对于上任意点都有、、满足，即曲线是轴对称图形，也是中心对称图形，对； B：当，可得或，则在曲线上， 当，，可得，则在曲线内， 当，，则在曲线上，且时，方程无解， 结合曲线的对称性，也在曲线上或其内部， 综上，曲线及其内部共有11个整点，错； C：由，，所以， 即曲线面积在以原点为圆心，半径为2的圆与以原点为圆心，半径为1的圆之间部分， 所以曲线与坐标轴围成图形面积为，则，对； D：取椭圆上任意一点，且， 由， 所以椭圆上的点在曲线内部，故成立，对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若偶函数在处的切线方程为，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，得到，代入原函数并求导数，进而求得处的导数值，结合切线方程得到该函数在处的切线斜率，列出方程，即可解出的值，最后需要验证定义域. 【详解】由是偶函数可得， 则，即， 因此，，， 对求导得， 所以，且直线的斜率， 根据题意，，即，， 结合，解得， 当时，，，，解得， 即在定义域内，成立. 故答案为：2. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，，，则双曲线的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，，，在等腰中应用诱导公式、二倍角余弦公式可得，在、中应用余弦定理求参数值，并得到双曲线参数的齐次式，即可得. 【详解】设，则，，故， 在等腰中，，则， 又，可得， 所以，则，， 在中，可得， 所以. 故答案为： 14. 甲、乙两人进行抛硬币比赛．两人分别抛掷一枚均匀硬币，如果抛出“正面朝上”，则得1分，如果抛出“反面朝上”，则得0分．甲和乙分别抛掷3次后，如果两人得分相差大于1分，比赛终止；如果两人分数相差不大于1分，则由乙再进行一次抛掷后比赛终止，该次抛掷若为“正面朝上”，则乙得分不变，若为“反面朝上”，则乙得分减1分．按照规定，比赛终止时甲得分高于乙的概率为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先利用相互独立事件的概率计算公式计算得到抛掷3次得0，1，2，3分的概率，再计算甲和乙分别抛掷3次后，两人分数差大于1分和不大于1分两种情况的概率，再相加可得最终结果. 【详解】抛掷3次，得0分的概率，得1分的概率， 得2分的概率，得3分的概率， 甲和乙分别抛掷3次后，分为两人分数差大于1分和不大于1分两种情况， 当两人分数差大于1分时，甲得分高于乙包括“甲得3分乙得0分”、“甲得3分乙得1分”、“甲得2分乙得0分”三种情况， 总的概率为， 当两人分数差不大于1分时，乙再进行一次抛掷后甲得分高于乙包括“得分差为0，乙投反面”、 “甲的得分比乙的得分高1分”（此时无论乙再次抛掷的结果如何，甲的得分都将高于乙）两种情况， 总的概率 ， 所以比赛终止时甲得分高于乙的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． （1）求的长； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理化简已知式，借助于外接圆面积即可求解； （2）利用向量数量积的定义化简已知式得，推得角为钝角，由余弦定理得，再由正弦定理求得，则得，进而，求得，即得的周长. 【小问1详解】 由可得，即得， 设外接圆半径为，依题意，即， 由正弦定理，，则得，解得. 【小问2详解】 由（*），可知角为钝角， 又由余弦定理，，可得. 由正弦定理，，可得，因角为钝角，故， 代入（*），可得，故，则， 故的周长为. 16. 如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，点，分别在线段，上，且． （1）求证：平面； （2）若二面角为120°，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 若分别是上的点，且，连接， 又，所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）若分别是上的点，且，连接，利用线面、面面平行的判定定理依次证明平面、平面、平面平面，再由线面平行的性质即可证结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，标出相关点坐标，求出直线与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角的正弦值，即可得其余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由，即，，则， 而都在平面内，所以平面， 平面，故平面平面， 过作直线平面，可建立以为原点的空间直角坐标系，如下图示， 由等腰梯形中，，，若， 所以，，，，又， 所以，则，且，， 若是平面的一个法向量，则， 取，则，设直线与平面所成角为， 所以，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程； （2）设，由，关于原点对称得，联立得，然后求出，，利用两点斜率公式并化简得为定值，即可得解. 【小问1详解】 由题意，解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 略. 18. 已知函数． （1）当时，求证：单调递增； （2）若在上不单调，求的取值范围； （3）当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：） 【答案】（1） 当时，，， 令，， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 则，即恒成立， 故单调递增. （2） （3） 由（2）知，当时，在单调递增，所以； 当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，如图， 则时，有两个根， 又，，所以不妨取， 当，，即， 同理可得或，，所以时，，单调递增， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以， 令，， 所以时，，单调递减，又， 所以在上恒成立，即，又， 故此时的最小值为1， 综上,当时，在上的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）求导，令，继续求导，根据导数确定单调性，可得，即，故得证； （2）求导，又，发现，若在上单调，即，即，令，利用导数得到最值，结合即可得到不单调时的范围； （3）由（2）知，当时，易得在单调递增，所以，当，结合（2）中的单调性，可得有2个解，且 ，由此可得，令，利用导数可证，即，结合即可证明. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，因为，所以， 若在上单调，则有解，即在恒成立， 即，令，， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， ，则时，在上单调， 所以若在上不单调，则. 【小问3详解】 略. 19. 数列的项数为，各项互不相同，．设，对数列各项作变换：若，将移到第项；若，将移到第项，得到的新数列记为；对各项重复上述变换，得到的新数列记为；…；依此类推．给定，若存在，使得的第项为，则称是的“关联数”． （1）若：4，1，3，5，2，给定，写出； （2）给定，证明：对任意，2和7都是的“关联数”； （3）已知：若整数，则存在，，，使得，其中．证明：当时，对任意，至少有4个“关联数”． 【答案】（1）； （2） 设，， 当时， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 当时， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 综上，对任意，2和7是的“关联数”； （3） 1与显然是的关联数，只需再找两个关联数， 由题意，存在整数，满足，其中， 显然，只讨论与的情形， 当时，显然，， 若，对做次变换，此时一共变换了个位置，等价于从第项移到第项， 所以对做次变换，将从第项移到第项， 若，对做次变换，即从第项移到第项， 所以重复做次变换，可以把从第项移到第项， 所以对做次变换，就将从第项移到第项， 当时，显然，， 若，对做次变换，此时一共变换了个位置，等价于从第项移到第项， 所以对做次变换，将从第项移到第项， 若，对做次变换，即从第项移到第项， 所以对做次变换，就将从第项移到第项， 综上，是的关联数， 令，又，则满足， 对重复上述讨论过程，得是的关联数， 下证：， 假设，则， 由为整数，，显然矛盾， 所以至少有4个关联数，分别为. 【解析】 【分析】（1）根据题设数列变换的定义依次写出、，即可得； （2）设，，讨论、，结合、及数列变换的定义判断证明； （3）1与显然是的关联数，存在整数，满足，其中，只需讨论与的情形，结合、研究数列的变换结果得是关联数，注意验证，即可证. 【小问1详解】 由：4，1，3，5，2，，结合题设定义， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $