专题01 三角形与全等三角形及其综合16题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01 三角形与全等三角形及其综合 题型1 三角形三边关系（常考点） 题型9 全等三角形的判定与性质的综合（难点） 题型2 三角形的内角和定理（重点） 题型10 全等三角形的应用 题型3 三角形外角的性质（重点） 题型11 尺规作图（常考点） 题型4 三角形的中线、高线、角平分线（重点） 题型12 全等重点模型之手拉手模型（难点）（重点） 题型5 三角形的面积 题型13 全等重点模型之倍长中线模型（重点） 题型6 定义与命题 题型14 全等重点模型之K型全等（重点） 题型7 全等三角形的性质 题型15 角平分线的性质定理（常考点） 题型8 全等三角形的判定（常考点） 题型16 线段垂直平分线的性质定理（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形三边关系（共3小题） 1．（2024秋•慈溪市期中）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（　　） A．4，5，9 B．9，15，8 C．7，15，8 D．2，5，8 2．（2024秋•义乌市期中）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 3．（2024秋•拱墅区校级期中）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型二 三角形内角和定理（共3小题） 4．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 5．（2024秋•上城区校级期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若∠BOD＝20°，则∠AEC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 6．（2024秋•拱墅区校级期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型三 三角形外角的性质（共3小题） 7．（2024秋•西湖区校级期中）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，若∠EAC＝100°，则∠C＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 8．（2024秋•滨江区校级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝ 　 　 ． 9．（2024秋•拱墅区校级期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 　 　 ． 题型四 三角形中线、高线、角平分线（共3小题） 10．（2024秋•西湖区校级期中）在△ABC中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024秋•上城区校级期中）在△ABC中，AD为△ABC的中线，，S△ABC＝18，则S△ACE＝　 　 ． 12．（2024秋•义乌市期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线． （1）若∠A＝40°，∠B＝80°，求∠DCE的度数； （2）若∠A＝α，∠B＝β，求∠DCE的度数（用含α、β的式子表示）． 题型五 三角形的面积（共3小题） 13．（2024秋•龙游县校级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）平方厘米． A．8 B．12 C．16 D．18 14．（2024秋•义乌市校级期中）如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 15．（2024秋•秀洲区校级期中）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 题型六 定义与命题（共4小题） 16．（2024秋•义乌市期中）下列选项中，可以用来说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2 17．（2024秋•西湖区校级期中）下列命题属于真命题的是（　　） A．两个锐角的和一定是锐角 B．对顶角相等 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 18．（2024秋•秀洲区校级期中）对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2 19．（2024秋•西湖区校级期中）证明“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是a＝　 　 ．（写一个即可） 题型七 全等三角形的性质（共1小题） 20．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，已知△ABC≌△ADE． （1）求证：∠1＝∠2； （2）当∠BED＝50°时，求∠AEC的度数． 题型八 全等三角形的判定（共3小题） 21．（2024秋•西湖区校级期中）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．∠C＝90°，AB＝6 C．AB＝4，BC＝2，∠A＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75° 22．（2024秋•义乌市期中）如图所示的三个三角形，其中全等的是（　　） A．①与② B．①与③ C．②与③ D．没有全等 23．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 题型九 全等三角形判定与性质的综合（共3小题） 24．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则∠ABC+∠ADF+∠AEF＝ 　 　 ． 25．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于 　 　 ． 26．（2024秋•滨江区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长． 题型十 全等三角形的应用（共5小题） 27．（2024秋•奉化区校级期中）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 28．（2024秋•浙江期中）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，则射线AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 29．（2024秋•上城区校级期中）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　 　 ． 30．（2025•宁波模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． 31．（2024秋•余杭区期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线BA成70°角的AC方向前进至点C，在点C处测得∠CBA＝35°，测量出AC的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是AE的中点，从点E沿垂直于AE的EF方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出EF的长度． 测量结果 ∠CAD＝70°，∠CBA＝35°，AC＝20m． AB⊥AE，EF⊥AE，EF＝20m． （1）根据方案①，求河宽AB的长度． （2）方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为EF的长就是所求河宽AB的长，请你根据所学的知识，给出证明． 题型十一 尺规作图（共6小题） 32．（2024秋•慈溪市期中）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 33．（2024秋•上城区校级期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 　 　 ． 34．（2024秋•拱墅区校级期中）下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　） A． B． C． D． 35．（2021秋•鹿城区校级期中）在下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　） A． B． C． D． 36．（2024秋•西湖区校级期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E； （2）连结CD，求证：CD平分∠ACB． 题型十二 全等重点模型之手拉手模型（共3小题） 38．（2024秋•慈溪市期中）如图点C为线段BD上一动点（不与点B、D重合），∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，EC＝DC，BE与AD交于点O，BE与AC交于点M，AD与CE交于点N，连接MN，以下四个结论：①AD＝BE，②MN∥BD，③AC⊥BE，④∠AOB＝60°．正确的有多少个？（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（2024秋•奉化区校级期中）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 40．（2024秋•龙游县校级期中）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE交点O．下列说法： ①AD＝BE； ②△MNC为等边三角形； ③∠BOD＝110°； ④CO平分∠BOD． 其中一定正确的是 　 　 （只需填写序号）． 题型十三 全等重点模型之倍长中线模型（共1小题） 41．（2024秋•绍兴期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　2＜AD＜11　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长． （3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF． 题型十四 全等重点模型之K型全等（共3小题） 42．（2024秋•义乌市期中）如图，把含45°角的三角板放在两堆竖直摆放的积木之间（每块积木规格均相 同）． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）已知DE＝35cm，求一块积木的厚度a． 43．（2024秋•龙游县校级期中）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.5m，∠BOC＝90°． （1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 44．（2024秋•浙江期中）【问题发现】（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝　 　 ． 【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． 【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 题型十五 角平分线的性质定理（共4小题） 45．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在△ABC（　　） A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 46．（2024秋•兰溪市校级期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D是射线OB上一个动点，若PC＝5，则PD的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 47．（2024秋•沙市区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 48．（2024秋•余杭区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D．以下说法中：①∠BAD＝∠CAD；②若CD＝3，则点D到AB的距离为3；③S△ABD＝2S△ACD，其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十六 线段垂直平分线性质定理（共4小题） 49．（2024秋•慈溪市期中）如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，则△BCE的周长是（　　） A．16 B．22 C．26 D．21 50．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 51．（2024秋•兰溪市校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝110°，则∠MAN＝ 　 　 ． 52．（2024秋•义乌市期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AB＝5，AC＝7，则△ABD的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 $专题01 三角形与全等三角形及其综合 题型1 三角形三边关系（常考点） 题型9 全等三角形的判定与性质的综合（难点） 题型2 三角形的内角和定理（重点） 题型10 全等三角形的应用 题型3 三角形外角的性质（重点） 题型11 尺规作图（常考点） 题型4 三角形的中线、高线、角平分线（重点） 题型12 全等重点模型之手拉手模型（难点）（重点） 题型5 三角形的面积 题型13 全等重点模型之倍长中线模型（重点） 题型6 定义与命题 题型14 全等重点模型之K型全等（重点） 题型7 全等三角形的性质 题型15 角平分线的性质定理（常考点） 题型8 全等三角形的判定（常考点） 题型16 线段垂直平分线的性质定理（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形三边关系（共3小题） 1．（2024秋•慈溪市期中）下列长度的三条线段（单位：cm）能组成三角形的是（　　） A．4，5，9 B．9，15，8 C．7，15，8 D．2，5，8 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【解答】解：∵4+5＝9，不能构成三角形，所以选项A错误，不符合题意； ∵9﹣8＜15＜9+8，可以构成三角形，所以选项B正确，符合题意； ∵7+8＝15，不能构成三角形，所以选项C错误，不符合题意； ∵2+5＝7＜8，不能构成三角形，所以选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2024秋•义乌市期中）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案． 【解答】解：设第三边长为x，则 由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7． 故选：C． 3．（2024秋•拱墅区校级期中）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形； 故选：D． 题型二 三角形内角和定理（共3小题） 4．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可． 【解答】解：∵∠B＝67°，∠C＝33°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣67°﹣33°＝80° ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD∠BAC80°＝40° 故选：A． 5．（2024秋•上城区校级期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠，若∠BOD＝20°，则∠AEC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，进而根据三角形外角的性质求出∠AFO的度数，再由三角形外角的性质求出∠DEF的度数，最后根据对顶角相等即可得到答案． 【解答】解：如图， 由题意得，∠B＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∵∠BOD＝20°， ∴∠AFO＝∠BOD+∠B＝80°， ∴∠DEF＝∠AFO﹣∠D＝35°， ∴∠AEC＝∠DEB＝35°， 故选：B． 6．（2024秋•拱墅区校级期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角的度数，再判断选项即可． 【解答】解：∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3， ∴此三角形的最大内角的度数是180°＝90°， ∴此三角形为直角三角形， 故选：C． 题型三 三角形外角的性质（共3小题） 7．（2024秋•西湖区校级期中）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD∥BC，若∠EAC＝100°，则∠C＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】由角平分线定义求出∠CAD＝50°，由平行线的性质推出∠C＝∠CAD＝50°． 【解答】解：∵AD平分∠EAC，∠EAC＝100°， ∴∠CAD∠EAC＝50°， ∵AD∥BC， ∴∠C＝∠CAD＝50°． 故选：B． 8．（2024秋•滨江区校级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝ 　 　 ． 【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD＝∠A+∠B，即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACE＝60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∠ACD＝2∠ACE＝120°， ∵∠ACD＝∠A+∠B，∠B＝35°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝85°， 故答案为：85° 9．（2024秋•拱墅区校级期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 　 　 ． 【分析】求出∠ADB＝60°，得到∠CDA＝180°﹣60°＝120°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠ADB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CDA＝180°﹣60°＝120°， ∵∠B＝45°， ∴∠α＝∠ADC﹣∠B＝75°． 故答案为：75°． 题型四 三角形中线、高线、角平分线（共3小题） 10．（2024秋•西湖区校级期中）在△ABC中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高线的定义即可选择． 【解答】解：高线是过三角形的一个顶点垂直于对边的线段， 所以BC边上的高线过A垂直于BC的垂线段， 故选：D． 11．（2024秋•上城区校级期中）在△ABC中，AD为△ABC的中线，，S△ABC＝18，则S△ACE＝　3　 ． 【分析】根据三角形中线平分三角形面积得到，再由即可得到． 【解答】解：∵在△ABC中，AD为△ABC的中线，S△ABC＝18， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 12．（2024秋•义乌市期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线． （1）若∠A＝40°，∠B＝80°，求∠DCE的度数； （2）若∠A＝α，∠B＝β，求∠DCE的度数（用含α、β的式子表示）． 【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝60°，根据角平分线的定义得到∠ECB∠ACB＝30°，根据余角的定义得到∠BCD＝90°﹣∠B＝10°，于是得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠ACB＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠ECB∠ACB（180°﹣α﹣β），根据余角的定义得到∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣β，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠ACB＝60°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ECB∠ACB＝30°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝10°， ∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝30°﹣10°＝20°； （2）∵∠A＝α，∠B＝β， ∴∠ACB＝180°﹣α﹣β， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ECB∠ACB（180°﹣α﹣β）， ∵CD是AB边上的高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣β， ∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCDβα； 题型五 三角形的面积（共3小题） 13．（2024秋•龙游县校级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（　　）平方厘米． A．8 B．12 C．16 D．18 【分析】本题利用中线平分面积这一结论，由F为CE的中点，可以得到△AEC的面积为8，因为D是AC的中点，可以得到△ADE的面积，同理，得到△ABE和△BEC的面积，问题即可解决． 【解答】解：∵F为CE的中点， ∴EF＝CF， ∴S△AEC＝2S△AEF＝8， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴S△AED＝S△CED＝4， ∵E为BD的中点， ∴S△AEB＝S△AED＝4， 同理，S△BEC＝S△CED＝4， ∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16， 故选：C． 14．（2024秋•义乌市校级期中）如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接CF，由△AEF与△CEF等高，CE＝2AE，可得到S△CEF＝2S△AEF．又因为△ABD与△ACD等底等高，故可得，从而S△CFD＝18﹣3﹣6＝9，又△BFD与△CFD等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接CF， 由条件可知S△CEF＝2S△AEF＝6， ∵BD＝CD，△ABC的面积为36， ∴， ∴S△CFD＝9， ∵△BFD与△CFD等底等高， ∴S△BFD＝S△CFD＝9， ∴图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 15．（2024秋•秀洲区校级期中）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 【分析】（1）三角形的面积知道了，高知道了，根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出DC的长度． （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求出∠BAD的度数，三角形外角与内角的关系可求出∠ADE的度数，在直角三角形中进而求出∠DAE的大小． 【解答】解：（1）∵AE＝3cm，S△ABC＝12cm2， ∴BC＝12×2÷3＝8（cm）， ∵AD是BC边上的中线， ∴DCBC＝4cm； （2）∵∠B＝40°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝45°， ∠ADE是△ABD的一个外角， ∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+45°＝85°， 在直角三角形ADE中∠DAE＝90°﹣85°＝5°． 题型六 定义与命题（共4小题） 16．（2024秋•义乌市期中）下列选项中，可以用来说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　） A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2 【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子． 【解答】解：当a＝2，b＝﹣3时，a＞b，但|a|＜|b|， 故选：A． 17．（2024秋•西湖区校级期中）下列命题属于真命题的是（　　） A．两个锐角的和一定是锐角 B．对顶角相等 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 【分析】根据题目中给出四个选项，逐一进行甄别，如果是假命题就举出一个反例说明即可． 【解答】解：对于选项A，两个锐角的和一定是锐角，是假命题， 举反例如下：例如锐角∠A＝60°，∠B＝50°， ∵∠A+∠B＝110°为钝角， ∴两个锐角的和一定是锐角，是假命题， 故选项A不符合题意； 对于选项B，根据对顶角的性质可得该是真命题； 故选项B符合题意； 对于选项C，三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题， 举反例如下：例如△ABC的边长为1，等边△DEF的边长为3， ∴∠A＝∠D＝60°，∠C＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°， 显然等边△ABC和等边△DEF不全等， ∴三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题； 故选项C不符合题意； 对于选项D，三角形的一个外角大于三角形的每一个内角，是假命题， 举反例如下：例如Rt△ABC中，∠C＝90°，与∠C相邻的外角也等于90°，此时这个外角等于∠C， ∴三角形的一个外角大于三角形的每一个内角，是假命题． 故选项D不符合题意； 故选：B． 18．（2024秋•秀洲区校级期中）对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2 【分析】如果a、b的值满足条件，不满足结论，则这组值能说明这个命题是假命题． 【解答】解：因为当a＝﹣3，b＝2时，满足a2＞b2，但不满足a＞b， 所以利用a＝﹣3，b＝2可说明这个命题是假命题． 故选：D． 19．（2024秋•西湖区校级期中）证明“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是a＝　 　 ．（写一个即可） 【分析】根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【解答】解：证明命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝﹣5， ∵|﹣5|＞1，但是a＝﹣5＜1， ∴命题“若|a|＞1，则a＞1”是假命题． 故答案为：﹣5（答案不唯一）． 题型七 全等三角形的性质（共1小题） 20．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，已知△ABC≌△ADE． （1）求证：∠1＝∠2； （2）当∠BED＝50°时，求∠AEC的度数． 【分析】（1）根据∠BAC＝∠DAE，∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即可求得答案； （2）根据AC＝AE，可得∠AEC＝∠C，进而可求得∠AED＝∠AEC． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE． ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE． ∴∠1＝∠2． （2）解：∵△ABC≌△ADE，∠BED＝50°， ∴∠AED＝∠C，AC＝AE． ∴∠AEC＝∠C． ∴． 题型八 全等三角形的判定（共3小题） 21．（2024秋•西湖区校级期中）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．∠C＝90°，AB＝6 C．AB＝4，BC＝2，∠A＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75° 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形，故A不符合题意； B、缺少条件，不能判定直角三角形全等，不能画出唯一的△ABC，故B不符合题意； C、如图，过B作BH⊥AC于H，由含30度角的直角三角形的性质得到BHAB＝2，于是得到H和C重合，得到△ABC是直角三角形，由HL判定能画出唯一的△ABC，故C符合题意； D、判定三角形全等，至少需要一边对应相等的条件，因此不能画出唯一的△ABC，故D不符合题意． 故选：C． 22．（2024秋•义乌市期中）如图所示的三个三角形，其中全等的是（　　） A．①与② B．①与③ C．②与③ D．没有全等 【分析】根据ASA可判断②与③． 【解答】解：根据ASA可判断②与③全等， 综上所述，选项C正确，符合题意， 故选：C． 23．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选：D． 题型九 全等三角形判定与性质的综合（共3小题） 24．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则∠ABC+∠ADF+∠AEF＝ 　 　 ． 【分析】利用SAS证明△ABC≌△EAF，根据全等三角形的性质求出∠ABC＝∠EAF，再结合直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：在△ABC和△EAF中， ， ∴△ABC≌△EAF（SAS）， ∴∠ABC＝∠EAF， ∵∠F＝90°， ∴∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠ABC+∠AEF＝90°， ∵∠F＝90°，AF＝2＝DF， ∴∠ADF＝45°， ∴∠ABC+∠ADF+∠AEF＝135°， 故答案为：135°． 25．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于 　 　 ． 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5＝∠BCA，∠4＝∠BDA，然后可得∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°，∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°，然后可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【解答】解：在△ABC和△AEF中，， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5＝∠BCA， ∴∠1+∠5＝∠1+∠BCA＝90°， 在△ABD和△AEH中，， ∴△ABD≌△AEH（SAS）， ∴∠4＝∠BDA， ∴∠2+∠4＝∠2+∠BDA＝90°， ∵∠3＝45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝90°+90°+45°＝225°． 故答案为：225°． 26．（2024秋•滨江区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长． 【分析】（1）根据已知条件可得△CBE和△CFD，△ACE和△ACF都是直角三角形，然后利用HL即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）先证明Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），可得AE＝AF．进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， ∴CE＝CF，∠CEB＝∠CFD＝90°， ∴△CBE和△CFD，△ACE和△ACF都是直角三角形． 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）； （2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴AE＝AF． 由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴BE＝DF． ∵AB＝15，AD＝7， ∴AE+BE＝15＝AF+BE， ∴AD+DF+BE＝15， ∴2BE＝15﹣7＝8， ∴BE＝4． 题型十 全等三角形的应用（共5小题） 27．（2024秋•奉化区校级期中）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， 即∠QAE＝∠PAE． 故选：D． 28．（2024秋•浙江期中）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，则射线AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】由“SSS”证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可证AE是∠PRQ的角平分线，即可求解． 【解答】解：由题意可知：AB＝AD，BC＝DC， 在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， 即AE是∠PRQ角平分线， 故选：A． 29．（2024秋•上城区校级期中）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　 　 ． 【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠CDP， ∵PD⊥CD， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD＝PB， 在△ABP与△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP（ASA）， ∴CD＝AB＝16（米）， 故答案为：16米． 30．（2025•宁波模拟）小甬按如图方式测量旗杆高度AB，将A处的绳子笔直拉至地面C处，使B，C间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在C处放置一块直角三角板PMN，使直角顶点P落在C处，边PN与绳子重合，随后小甬后退至D处直立，使眼睛E与点M，P在同一直线上．小甬认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：认同． 理由：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠PDE＝90°， ∴∠ACB+∠A＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠EPD＝90°， ∴∠A＝∠EPD， 在△ABC与△PDE中， ， ∴△ABC≌△PDE（AAS）， ∴CD＝AB． 31．（2024秋•余杭区期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线BA成70°角的AC方向前进至点C，在点C处测得∠CBA＝35°，测量出AC的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是AE的中点，从点E沿垂直于AE的EF方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出EF的长度． 测量结果 ∠CAD＝70°，∠CBA＝35°，AC＝20m． AB⊥AE，EF⊥AE，EF＝20m． （1）根据方案①，求河宽AB的长度． （2）方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为EF的长就是所求河宽AB的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【分析】（1）根据∠CAD＝∠ABC+∠ACB，结合∠CAD＝70°，∠CBA＝35°，得到∠ACB＝∠CBA＝35°，利用等角对等边，求河宽AB的长度即可． （2）证明△AGB≌△EGF（ASA）即可得证． 【解答】解：（1）∵观测者从点A出发，沿着与直线BA成70°角的AC方向前进至点C，∠CAD＝∠ABC+∠ACB，∠CAD＝70°，∠CBA＝35°， ∴∠ACB＝∠CBA＝35°， ∴AB＝AC， ∵AC＝20m， ∴AB＝AC＝20m． 故河宽为20m； （2）证明：∵G是AE的中点， ∴AG＝GE， 在△AGB和△EGF中， ， ∴△AGB≌△EGF（ASA）， ∴AB＝EF， ∵EF＝20m， ∴AB＝EF＝20m， 答：河宽为20米． 题型十一 尺规作图（共6小题） 32．（2024秋•慈溪市期中）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案． 【解答】解：①作一个角的平分线的作法正确； ②作一个角等于已知角的方法正确； ③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误； 故选：A． 33．（2024秋•上城区校级期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是 　 　 ． 【分析】根据SSS判定三角形全等即可． 【解答】解：连接EF． 由作图可知， 在△MOD和△FCE中， ， ∴△MOD≌△FCE（SSS）， ∴∠AOC＝∠NCB． 故答案为：SSS． 34．（2024秋•拱墅区校级期中）下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　） A． B． C． D． 【分析】要确定AD＝BD，首先确定AB的垂直平分线即可． 【解答】解：根据作图方法可得B选项中AD＝BD， 故选：B． 35．（2021秋•鹿城区校级期中）在下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A．由作图痕迹可知，AC＝PC，不能得出PA＝PC；B．由作图痕迹可知，所作为线段AC的垂直平分线，可得PA＝PC；C．由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线，可得PB＝PC，不能得出PA＝PC；D．由作图痕迹可知，所作为∠BAC的平分线，不能得出PA＝PC． 【解答】解：A．由作图痕迹可知，AC＝PC，不能得出PA＝PC， 故A选项不符合题意； B．由作图痕迹可知，所作为线段AC的垂直平分线， ∴PA＝PC， 故B选项符合题意； C．由作图痕迹可知，所作为线段BC的垂直平分线， ∴PB＝PC，不能得出PA＝PC， 故C选项不符合题意； D．由作图痕迹可知，所作为∠BAC的平分线，不能得出PA＝PC， 故D选项不符合题意． 故选：B． 36．（2024秋•西湖区校级期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线； B：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴△ADO≌△BCO（SAS）， 同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， 射线OP为∠AOB的平分线； C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB， 可得∠CPO＝∠POB， 又由图可知CO＝CP， ∴∠COP＝∠CPO， ∴∠POB＝∠COP， 射线OP为∠AOB的平分线； D：由作图痕迹可知，CO＝OD，△OCD是等腰三角形， ∴射线OP是CD的垂直平分线， 也是∠AOB的平分线． 故选：D． 37．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°． （1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E； （2）连结CD，求证：CD平分∠ACB． 【分析】（1）直接作出AC的垂直平分线得出即可； （2）利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出即可． 【解答】（1）解：如图，DE即为所求； （2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ACB（180°﹣∠A）＝72°， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠A＝36°∠ACB， ∴CD平分∠ACB． 题型十二 全等重点模型之手拉手模型（共3小题） 38．（2024秋•慈溪市期中）如图点C为线段BD上一动点（不与点B、D重合），∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，EC＝DC，BE与AD交于点O，BE与AC交于点M，AD与CE交于点N，连接MN，以下四个结论：①AD＝BE，②MN∥BD，③AC⊥BE，④∠AOB＝60°．正确的有多少个？（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，EC＝DC，得到△BCE≌△ACD，所以AD＝BE，所以①正确； ②由①得∠A＝∠B，所以△ACN≌△BCM，CM＝CN，所以△CMN是等边三角形，∠CMN＝60°，∠CMN＝∠ACB＝60°，所以MN∥BD，②正确； ③若AC⊥BE，则∠BMC＝∠EMC＝90°，可证明△BCM≌△ECM（ASA）， 得BC＝EC＝DC，而点C不一定是线段BD的中点，此说法不一定正确； ④∠D＝∠E，∠AOB＝∠B+∠D＝∠B+∠E＝60°，④正确． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE与△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠B，∠D＝∠E， ∴①正确； ∵∠ACN＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACB＝∠ACN， 在△ACN与△BCM中， ， ∴△ACN≌△BCM（AAS）， ∴CM＝CN， ∴△MCN是等边三角形， ∴∠NMC＝60°， ∴∠ABC＝∠NMC， ∴MN∥BD， ∴②正确； ③若AC⊥BE，则∠BMC＝∠EMC＝90°， ∵∠ACB＝∠ACE＝60°，CM＝CM， ∴△BCM≌△ECM（ASA）， ∴BC＝EC＝DC，而点C不一定是线段BD的中点，此说法不一定正确； ∠AOB＝∠B+∠D＝∠B+∠E＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴④正确； 故选：C． 39．（2024秋•奉化区校级期中）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确； ②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确； ④利用周角减去两个直角可得答案． 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， 故本选项正确，符合题意； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， 故本选项正确，符合题意； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE， 故本选项正确，符合题意； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故此选项正确，符合题意； 故选：D． 40．（2024秋•龙游县校级期中）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于M，AD交CE于N，AD、BE交点O．下列说法： ①AD＝BE； ②△MNC为等边三角形； ③∠BOD＝110°； ④CO平分∠BOD． 其中一定正确的是 　 　 （只需填写序号）． 【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE； ②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以AN＝BM；由△ACN≌△BCM得到CN＝BM，加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形； ③根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE+∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD＝120°； ④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CO平分∠BOD． 【解答】证明：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE＝120°， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，故①正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ACN和△BCM中， ， ∴△ACN≌△BCM（ASA）， ∴AN＝BM； ∵△ACN≌△BCM， ∴CN＝BM， 而∠MCN＝60°， ∴△CMN为等边三角形，故②正确； ③CAD+∠CDA＝60°， 而∠CAD＝∠CBE， ∴∠CBE+∠CDA＝60°， ∴∠BOD＝120°，故③错误； ④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图， ∵△ACD≌△BCE， ∴CQ＝CH， ∴CO平分∠BOD，故④正确． 一定正确的是①②④． 故答案为：①②④． 题型十三 全等重点模型之倍长中线模型（共1小题） 41．（2024秋•绍兴期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　2＜AD＜11　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长． （3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF． 【分析】（1）先判断出△ADC≌△EDB（SAS），得出BE＝AC＝9，最后用三角形的三边关系计算； （2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答； （3）延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF、EF，先证明△CDG≌△BDE，得CG＝BE，根据三角形的三边关系得CG+CF＞GF，则BE+CF＞GF，由DF垂直平分EG得GF＝EF，所以BE+CF＞EF． 【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝9， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴4＜AE＜22 ∴2＜AD＜11， 故答案为：2＜AD＜11． （2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝EF＝4， ∴AC＝AE+CE＝7， ∴BM＝AC＝7， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF＝7； （3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF， ∵D是BC边上的中点， ∴CD＝BD， 在△CDG和△BDE中， ， ∴△CDG≌△BDE（SAS）， ∴CG＝BE， ∵CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞GF， ∵DE⊥DF，GD＝ED， ∴DF垂直平分EG， ∴GF＝EF， ∴BE+CF＞EF． 题型十四 全等重点模型之K型全等（共3小题） 42．（2024秋•义乌市期中）如图，把含45°角的三角板放在两堆竖直摆放的积木之间（每块积木规格均相 同）． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）已知DE＝35cm，求一块积木的厚度a． 【分析】（1）由题意知∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，即可得出∠DAC＝∠BCE，即可得证． （2）由（1）知DC＝BE，CE＝AD，则AD+BE＝CE+DC＝DE即可解答． 【解答】（1）证明：由题意知∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知DC＝BE，CE＝AD， ∴AD+BE＝CE+DC＝DE＝35cm． ∴7a＝35， ∴a＝5cm． 43．（2024秋•龙游县校级期中）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.5m，∠BOC＝90°． （1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【分析】（1）根据AAS证明△OBD与△COE全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.5﹣1.8＝0.7（m），根据AE＝AD+DE＝1.6（m）求出结果即可． 【解答】解：（1）△OBD与△COE全等． 理由如下： 由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）； （2）∵△COE≌△OBD， ∴CE＝OD，OE＝BD， ∵BD、CE分别为1.8m和2.5m， ∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.5﹣1.8＝0.7（m）， ∵AD＝0.9m， ∴AE＝AD+DE＝1.6（m）， 答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的． 44．（2024秋•浙江期中）【问题发现】（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝　7　 ． 【问题提出】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． 【问题解决】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【分析】（1）由∠ACD＝∠E＝90°，得∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，可证明△ABC≌△CED（AAS），即得AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，故BE＝BC+CE＝7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E＝∠ACD＝90°，即得∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，可证明△ABC≌△CED（AAS），得BC＝ED＝4，故S△BCDBC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE＝4，又∠ADC＝45°，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE＝AE＝4，CE＝CD﹣DE＝2，根据∠ABC＝∠CAB＝45°，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，即有∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF（AAS），从而BF＝CE＝2，故S△BCDCD•BF＝6． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4， ∴BE＝BC+CE＝7； 故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC， ∴∠E＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4， ∴S△BCDBC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6， ∴6•AE＝12， ∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝4， ∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴BF＝CE＝2， ∴S△BCDCD•BF＝6． 题型十五 角平分线的性质定理（共4小题） 45．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在△ABC（　　） A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【分析】由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答． 【解答】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，选项不符合题意； B．三角形的内心，到各边距离相等，选项符合题意； C．三角形高的交点为垂心，选项不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，选项不符合题意． 故选：B． 46．（2024秋•兰溪市校级期中）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D是射线OB上一个动点，若PC＝5，则PD的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据垂线段最短可知，当PD⊥OB时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD＝PC，进而求解． 【解答】解：过点P作PD′⊥OB，垂足为点D′． ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD′⊥OB， ∴PD′＝PC，∵PC＝5， ∴PD′＝PC＝5， 即当点D运动到点D′的位置时，PD长度最短，最小值为5． 故选：B． 47．（2024秋•沙市区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADCAB•DEAC•DF4×2AC×2＝7， 解得AC＝3． 故选：A． 48．（2024秋•余杭区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D．以下说法中：①∠BAD＝∠CAD；②若CD＝3，则点D到AB的距离为3；③S△ABD＝2S△ACD，其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD＝∠CAD；由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD＝3；根据已知条件无法得出S△ABD＝2S△ACD，即可得出答案． 【解答】解：由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 故结论①正确； ∵AD为∠BAC的平分线，∠C＝90°， ∴点D到AB的距离等于CD＝3， 故结论②正确； 根据已知条件无法得出AB＝2AC， 即无法得到S△ABD＝2S△ACD， 故结论③不正确． 综上所述，正确的个数为2． 故选：C． 题型十六 线段垂直平分线性质定理（共4小题） 49．（2024秋•慈溪市期中）如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，则△BCE的周长是（　　） A．16 B．22 C．26 D．21 【分析】由DE是BC的垂直平分线，可求得CE＝BE＝6，继而求得△BCE的周长． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴CE＝BE＝6， ∵BC＝10， ∴△BCE的周长是：BE+CE+BC＝22． 故选：B． 50．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【分析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可． 【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G， 由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线， ∴AG＝BG，EF⊥AB， ∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BC＝4，△ABC面积为10， ∴10， 解得AD＝5． 故选：D． 51．（2024秋•兰溪市校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝110°，则∠MAN＝ 　 　 ． 【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，则MA＝MB，NA＝NC，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求解． 【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，FG垂直平分AC， ∴MA＝MB，NA＝NC， ∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠MAN＝∠BAC﹣∠MAB﹣∠NAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）， ∵∠C+∠B＝180°﹣∠BAC， ∴∠MAN＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC﹣180°＝40°． 故答案为：40°． 52．（2024秋•义乌市期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AB＝5，AC＝7，则△ABD的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】依据垂直平分线的性质得DB＝DC．△ABD周长转化为AB+AC即可求解． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴DB＝DC． ∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12． ∴△ABD的周长是12． 故选：C． $