第3章一次方程与方程组 过关检测 2025-2026学年 沪科版（2024）七年级数学上册

第3章一次方程与方程组 过关检测 （时间：120分钟　满分：120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1.下列式子中：①5x＋3y＝0，②6y2－5y，③1＋2－3＝4－4，④m2＋1＝3，⑤＋2＝3x，⑥a－b＝a＋b（a，b为常数），是方程的有(　A　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.有下列方程组：①②③④其中是二元一次方程组的有(　A　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列方程中，解为x＝1的是(　B　) A．x＝ B．－0.7x＝－0.7 C．－x＝ D．3x＝ 4.用代入法解方程组较为简便的方法是(　B　) A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 由于两个方程中只有②中未知数x的系数为1，故可先把②变形，再代入①中求解． 5.“ ”分别表示三种不同的物体，如图所示，天平①②保持水平平衡，如果要使天平③也水平平衡，那么应在天平③的右端放“”的个数为(　D　) 　　　　 A．2 B．3 C．4 D．5 设圆圈表示的物体的质量是a，三角形表示的物体的质量是b，正方形表示的物体的质量是c，则由图，知①2a＝b＋c，②a＋c＝b，由①－②，得2a－(a＋c)＝(b＋c)－b，所以a－c＝c，即a＝2c，把a＝2c代入②，得2c＋c＝b，即b＝3c，所以a＋b＝2c＋3c＝5c，所以应在天平③的右端放“■”的个数为5. 6.若(3－m)x|m|-2－1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为(　B　) A．±3 B．－3 C．3 D．±2 因为(3－m)x|m|-2－1＝0是关于x的一元一次方程， 所以所以m＝－3. 7.若方程2(x－1)－6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，则a的值为(　A　) A．－ B． C． D．－1 解方程2(x－1)－6＝0，得x＝4.因为方程2(x－1)－6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，所以方程＝1的解是x＝－4.把x＝－4代入方程＝1，得＝1，解得a＝－. 8.按如图所示的运算程序，使输出结果为1的x，y的值是(　A　) A． B． C． D． 9.甲、乙两人同时从相距2 000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了多少米．(　B　) A．3 000 B．4 000 C．5 000 D．6 000 设这只狗共跑了x分钟，则两人经过x分钟相遇，根据题意可得，(45＋55)x＝2 000，解得x＝20，则这只狗共跑了20×200＝4 000(m). 10.已知关于x，y的方程组的解为求m－8n的值为(　B　) A．3 B．－3 C．5 D．－11 将代入方程组得解得则m－8n＝5－8×1＝－3. 11.某武警大队进行大练兵比赛，1中队和2中队都派了几名代表参加，已知1中队的代表平均每人得70分，2中队的代表平均每人得60分，而且这两个中队代表的总分为740分，那么1中队和2中队参赛代表的人数分别为(　C　) A．3，8或10，2 B．2，5或4，7 C．8，3或2，10 D．5，2或7，4 设1中队和2中队代表参赛的人数分别为x，y，根据题意可得，70x＋60y＝740，化简，得7x＋6y＝74，只有当x＝8，y＝3或x＝2，y＝10时，x，y是整数． 12.小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12：00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13：00时看里程碑上的两位数与12：00时看到的个位数和十位数颠倒了；14：00时看到里程碑上的数比12：00时看到的两位数中间多了个零，小明在12：00时看到里程碑上的数字是(　B　) A．25 B．16 C．34 D．43 设小明在12：00时看到里程碑上的数的十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数为10x＋y. 由题意，得 解之，得所以小明在12：00时看到程碑上的两位数字是16. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13.鸡、兔若干，关在同一个笼中，头有30个，腿有84条，若设鸡有x只，兔有y只，则列方程组为：　　. 14.在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为　36 ． 设正方形②的边长是x.结合图形，得x＋1＋1＋1＝x＋1＋x－1，解得x＝3，则正方形⑤的边长是6，所以其面积是36. 15.甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需325元，若购甲4件，乙10件，丙1件共需410元，那么购甲、乙、丙各1件共需　155　元． 设购甲每件需x元，购乙每件需y元，购丙每件需z元.由题意列方程组，得由①×3－②×2，得x＋y＋z＝155. 16.一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过　4 ． 设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球．依题意，得方程组由①×3－②，得2x＋y＝9，即y＝9－2x.由于y是非负整数，x也是非负整数．易知x的最大值是4，即小明摸出的10个球中至多有4个红球． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分8分）解下列方程组： (1)　　　　　　(2) (1) 把①代入②，得3x＋4(2x－5)＝2， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝2×2－5＝－1， 所以方程组的解是 (2) ②×3＋③，得11x＋10z＝35④， 由①和④组成一个二元一次方程组 解得把代入②，得10＋3y－2＝9， 解得y＝，所以原方程组的解是 18.（本题满分10分）已知代数式M＝(a＋b＋1)x3＋(2a－b)x2＋(a＋3b)x－5是关于x的二次多项式．若关于y的方程3(a＋b)y＝ky－8的解是y＝4，求k的值． 因为代数式M＝(a＋b＋1)x3＋(2a－b)x2＋(a＋3b)x－5是关于x的二次多项式，所以a＋b＋1＝0，所以a＋b＝－1. 因为关于y的方程3(a＋b)y＝ky－8的解是y＝4，所以－3×4＝4k－8，解得k＝－1. 19.（本题满分10分）我市某中学每天中午总是在规定时间打开学校大门，七年级同学小明每天中午同一时间从家骑自行车到学校，星期一中午他以每小时15千米的速度到校，结果在校门口等了6分钟才开门，星期二中午他以每小时9千米的速度到校，结果校门已开了6分钟，星期三中午小明想准时到达学校门口，那么小明骑自行车的速度应该为每小时多少千米？ 设星期三中午小明从家骑自行车准时到达学校门口所用时间为t小时．根据题意，得15（t－）＝9（t＋），解得t＝，则小明骑自行车的速度＝15×（－）÷＝千米/小时． 答：小明骑自行车的速度应该为每小时千米． 20.（本题满分10分）解答下列各题： (1)若方程m(1－x)＝x＋3与方程2－x＝x＋4的解相同，求m的值． (2)在(1)的条件下，求关于x，y的方程组的解． (3)善于研究的小益同学发现，无论m取何值，(2)中方程组的解x与y之间都满足一个关系式，求这个关系式． (1)一元一次方程2－x＝x＋4的解为x＝－1， 将x＝－1代入方程m(1－x)＝x＋3，得m［1－(－1)］＝－1＋3， 解得m＝1，所以m的值为1； (2)将m＝1代入原方程，得 即①－②，得x＝－1， 将x＝－1代入②，得－1＋y＝0，解得y＝1， 所以在(1)的条件下，关于x、y的方程组的解为 (3)原方程组可变形为 ①＋②×2，得7x＋5y＝－2，所以无论m取何值，(2)中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是7x＋5y＝－2. 21.（本题满分10分）某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人．三个车间共有多少人？ 设甲车间有x人，乙车间有y人，丙车间有z人， 根据题意，得 由①可知，z＝x④，由②可知，z＝y， 所以x＝y，即16x＝15y.⑤ 将④代入③，得(x＋y)－x＝4，即y－x＝6.⑥ 联立⑤⑥组成关于x，y的二元一次方程组，得 解得所以z＝x＝×90＝120， 所以x＋y＋z＝90＋96＋120＝306. 答：三个车间共有306人． 22.（本题满分12分）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？ (2)若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案． (1)设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众．由题意，得解得 答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众． (2)由题意，得15m＋40n＝500，整理，得m＝. 因为m，n为非负整数， 所以或或或 有4种方案，分别为： ①安排28艘小型船和2艘大型船； ②安排20艘小型船和5艘大型船； ③安排12艘小型船和8艘大型船； ④安排4艘小型船和11艘大型船． 23.（本题满分12分）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x＋3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由2x＋3y＝12，得y＝＝4－x（x，y为正整数）.要使y＝4－x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数且4>x，从而x＝3，代入y＝4－x，得y＝2.所以2x＋3y＝12的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程3x＋2y＝8的正整数解　 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有　B ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值． (1)方程3x＋2y＝8的正整数解为 故答案为 (2)正整数x的值有9，6，5，4，共4个，故选B；故答案为B. (3)①×2－②，得(4－k)y＝8，解得y＝， 因为x，y是正整数，k是整数，所以4－k＝1，2，4，8， 所以k＝3，2，0，－4，但k＝3时，x不是正整数，故k＝2，0，－4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章一次方程与方程组 过关检测 （时间：120分钟　满分：120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1.下列式子中：①5x＋3y＝0，②6y2－5y，③1＋2－3＝4－4，④m2＋1＝3，⑤＋2＝3x，⑥a－b＝a＋b（a，b为常数），是方程的有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.有下列方程组：①②③④其中是二元一次方程组的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列方程中，解为x＝1的是( ) A．x＝ B．－0.7x＝－0.7 C．－x＝ D．3x＝ 4.用代入法解方程组较为简便的方法是( ) A．先把①变形 B．先把②变形 C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形 5.“ ”分别表示三种不同的物体，如图所示，天平①②保持水平平衡，如果要使天平③也水平平衡，那么应在天平③的右端放“”的个数为( ) 　　　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6.若(3－m)x|m|-2－1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为( ) A．±3 B．－3 C．3 D．±2 7.若方程2(x－1)－6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，则a的值为( ) A．－ B． C． D．－1 8.按如图所示的运算程序，使输出结果为1的x，y的值是( ) A． B． C． D． 9.甲、乙两人同时从相距2 000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了多少米．( ) A．3 000 B．4 000 C．5 000 D．6 000 10.已知关于x，y的方程组的解为求m－8n的值为( ) A．3 B．－3 C．5 D．－11 11.某武警大队进行大练兵比赛，1中队和2中队都派了几名代表参加，已知1中队的代表平均每人得70分，2中队的代表平均每人得60分，而且这两个中队代表的总分为740分，那么1中队和2中队参赛代表的人数分别为( ) A．3，8或10，2 B．2，5或4，7 C．8，3或2，10 D．5，2或7，4 12.小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12：00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13：00时看里程碑上的两位数与12：00时看到的个位数和十位数颠倒了；14：00时看到里程碑上的数比12：00时看到的两位数中间多了个零，小明在12：00时看到里程碑上的数字是( ) A．25 B．16 C．34 D．43 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13.鸡、兔若干，关在同一个笼中，头有30个，腿有84条，若设鸡有x只，兔有y只，则列方程组为： . 14.在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为 ． 15.甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需325元，若购甲4件，乙10件，丙1件共需410元，那么购甲、乙、丙各1件共需 元． 16.一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本题满分8分）解下列方程组： (1)　　　　　　(2) 18.（本题满分10分）已知代数式M＝(a＋b＋1)x3＋(2a－b)x2＋(a＋3b)x－5是关于x的二次多项式．若关于y的方程3(a＋b)y＝ky－8的解是y＝4，求k的值． 19.（本题满分10分）我市某中学每天中午总是在规定时间打开学校大门，七年级同学小明每天中午同一时间从家骑自行车到学校，星期一中午他以每小时15千米的速度到校，结果在校门口等了6分钟才开门，星期二中午他以每小时9千米的速度到校，结果校门已开了6分钟，星期三中午小明想准时到达学校门口，那么小明骑自行车的速度应该为每小时多少千米？ 20.（本题满分10分）解答下列各题： (1)若方程m(1－x)＝x＋3与方程2－x＝x＋4的解相同，求m的值． (2)在(1)的条件下，求关于x，y的方程组的解． (3)善于研究的小益同学发现，无论m取何值，(2)中方程组的解x与y之间都满足一个关系式，求这个关系式． 21.（本题满分10分）某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人．三个车间共有多少人？ 22.（本题满分12分）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众． (1)每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？ (2)若安排m艘小型船和n艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案． 23.（本题满分12分）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程2x＋3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由2x＋3y＝12，得y＝＝4－x（x，y为正整数）.要使y＝4－x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数且4>x，从而x＝3，代入y＝4－x，得y＝2.所以2x＋3y＝12的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程3x＋2y＝8的正整数解 ． (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 ． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $