甘肃省武威市凉州区长城乡中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年甘肃省武威市凉州区长城中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是方程的一个根，则的值是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2.若三角形的两边长分别是和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.若二次函数的顶点在轴上，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是(    ) A. 抛物线的顶点坐标为 B. 与轴的交点坐标为 C. 与轴的交点坐标为和 D. 当时，对应的函数值为 5.电影我和我的祖国讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为(    ) A. B. C. D. 6.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第次闪烁呈现出来的图形是(    ) A. B. C. D. 7.二次函数的图形如图所示，下列说法：；；；：其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 9.若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为(    ) A. B. C. D. 10.已知，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 11.年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为(    ) A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 12.下列各点中，是二次函数图象上的点是(    ) A. B. C. D. 13.将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 14.若抛物线与轴有交点，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 15.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 16.将一元二次方程化成的形式，那么的值为______． 17.若是二次函数，且图象开口向下，则的值为______． 18.二次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 19.将一元二次方程化为一般形式，则的值为______． 20.已知，是方程的两根，则 ______． 21.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离米关于滑行的时间秒的函数解析式是，当着陆后滑行时间为______秒时，无人机才能停下来． 22.如图，把绕点按顺时针方向旋转后能与重合，且交于点，若，则的度数是______． 23.若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为______． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 24.本小题分 解下列方程： ； ． 25.本小题分 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的方格中，点、、都是格点． 将绕点按逆时针方向旋转得到，请画出； 依次连结、，猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 26.本小题分 如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式； 根据图象，写出满足的的取值范围． 27.本小题分 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？ 28.本小题分 “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条． 直接写出与的函数关系式； 设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 29.本小题分 如图，点，分别在正方形的边，上，且把绕点顺时针旋转得到． 求证：≌； 若，，求正方形的边长． 30.本小题分 解方程： ； ． 31.本小题分 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒若该无盖纸盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 32.本小题分 已知二次函数的图象经过和两点． 求此二次函数的表达式； 当时，直接写出的取值范围． 33.本小题分 已知函数为常数． 当为何值时，是的二次函数？ 在的条件下，求函数图象与轴的交点坐标． 34.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． 求二次函数的表达式； 若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； 抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：代入方程， 得：， 解得或． 故选：． 把代入方程，得到关于的一次方程，然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：， ， 解得：，， 三角形的两边长分别是和， 当时，，不能组成三角形； 当时，，能组成三角形． 这个三角形的第三边长是， 这个三角形的周长为：， 故选：． 首先利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，又由三角形的两边长分别是和，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可． 此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用． 3.【答案】  【解析】解：， 抛物线顶点坐标为， ， 解得． 故选：． 将二次函数解析式化为顶点式求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 4.【答案】  【解析】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为． 故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为． 故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和， 故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为． 故D选项正确，不符合题意． 故选：． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】 解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为，即每次旋转一周， ， 即第次与第次的图案相同． 故选：． 观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是注意通过特殊例子发现规律，再选择即可． 7.【答案】  【解析】解：对称轴是直线，与轴的一个交点为， 与轴的另一个交点为， 当时，， 故选项错误； 由抛物线图象得：开口向下，即； 抛物线与轴交于正半轴，则； 对称轴是直线， 即， ， 故选项正确； 抛物线图象与轴有两个交点， ， ， 故选项错误； ， ， 把代入得：， 故选项正确， 故选：． 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 8.【答案】  【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，正确把握相关定义是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】解：， ， 关于的一元二次方程有一根为， 有一根为， 解得， 一元二次方程必有一根为， 故选：． 由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解． 本题考查了一元二次方程的解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由条件可知，， ， 故选：． 对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，据此可得，，再由，可代值计算得到答案． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 11.【答案】  【解析】解：设参加此次活动的同学人数为人，则没人需送出份礼物， 依题意得，， 解得，或舍去， 故选：． 设参加此次活动的同学人数为人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：当时，，故选项不合题意； B.当时，，故选项不合题意； C.当时，，故选项符合题意； D.当时，，故选项不合题意； 故选：． 分别把、、代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式是关键． 13.【答案】  【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后，平移后解析式为， 故选：． 根据函数图象平移的法则即可得出结论． 本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：抛物线与轴有交点， 有实数根，且， ，且， 解得：且， 的取值范围是且， 故选：． 根据抛物线与轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 本题考查了抛物线与轴的交点，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：，， ， 将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ，， ， ． 故选：． 根据旋转可得，，得，根据，进而可得的度数． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 16.【答案】  【解析】解：方程，变形得：， 配方得：，即， ，， 故答案为：． 方程整理后，利用完全平方公式配方即可求得、的值，进而求得的值． 此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：二次函数的图象开口向下， ， ， ， ， ，舍去， 故答案为：． 根据二次函数的定义和二次函数的性质即可求解． 本题考查了二次函数的性质和二次函数的定义，解题关键是要明确． 18.【答案】或  【解析】解：由图象可知，二次函数的图象与轴的交点横坐标坐标分别为，， 关于的方程的解为或． 故答案为：或． 由图象可知，二次函数的图象与轴的交点横坐标坐标分别为，，即可得关于的方程的解为或． 本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】  【解析】解：原方程去括号得：， ， ， 则， 故答案为：． 先去括号，再移项，再合并同类项，即可答案． 此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为． 20.【答案】  【解析】解：，是方程的两根， ，， ， ； 故答案为：． 由，是方程的两根，可得，，代入即可得到答案． 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 21.【答案】  【解析】解：滑行的距离米关于滑行的时间秒的函数解析式是，化为顶点式得： ， 所以当秒时，飞机才能停下来． 故答案为：． 飞机停下时也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出最大时对应的值． 本题主要考查了二次函数的应用，掌握运用配方法得到顶点式是解题关键． 22.【答案】  【解析】解：绕点按顺时针方向旋转后能与重合， ， ． 故答案为． 先根据旋转的性质得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 23.【答案】  【解析】解：点与点关于原点对称， ，， ， 抛物线，即顶点坐标是， 故答案为：， 根据关于原点对称的点的特征求出、的值，代入抛物线，根据二次函数的性质写出顶点即可， 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 24.【答案】解：移项得， ， 即：， 或， ，； ， ，，， ， ， ，  【解析】根据因式分解法求解一元二次方程即可； 根据公式法求解一元二次方程即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法及求根公式是解题的关键． 25.【答案】解：如图所示，为所求作的三角形： ； 四边形是平行四边形， 连结，， 点与，点与分别关于点成中心对称， ，， 四边形是平行四边形．  【解析】将点、、分别绕点按逆时针方向旋转，得出对应点，即可得出； 连结、，，，由可得点与，点与分别关于点成中心对称，继而得出，，可证明四边形是平行四边形． 此题主要考查了图形的旋转，根据已知得出对应点位置是解题关键． 26.【答案】解：抛物线经过点， ， ， 抛物线解析式为， 点坐标， 对称轴，、关于对称轴对称， 点坐标， 经过点、， ，解得， 一次函数解析式为， 由图象可知，写出满足的的取值范围为或．  【解析】先利用待定系数法先求出，再求出点坐标，利用方程组求出一次函数解析式． 根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量的取值范围． 本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型． 27.【答案】解：设水渠的宽度为，由题意得： ． 解得不含题意，舍去，． ． 答：水渠的宽度为．  【解析】把条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程求解即可． 此题主要考查一元二次方程的应用，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 28.【答案】解：由题意可得： ， 与的函数关系式为； 由题意得： ， ，抛物线开口向下， 有最大值，即当时，， 此时， 当销售单价降低元时，每月获得最大利润，最大利润为为元．  【解析】根据销售单价每降元，则每月可多销售条，写出与的函数关系式； 该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 29.【答案】解：证明：绕点顺时针旋转得到， ≌， ，， ，， ， ， 在和中， ≌； 解：设， 则，， ≌， ， ， ， ， ， ， 解得或舍， 正方形的边长为．  【解析】本题考查旋转的基本性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理． 证明，再证明三角形全等即可； 设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 30.【答案】解：原方程移项得，， 即， 或， 解得：，； 原方程移项得，， 配方得，，即， ， 解得：，．  【解析】移项，提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； 根据配方法解一元二次方程即可求解． 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 31.【答案】解：设减去的小正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：减去的小正方形的边长为．  【解析】设减去的小正方形的边长为，根据无盖纸盒的底面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32.【答案】解：二次函数的图象经过和两点， ， 解得， 二次函数的解析式为； 令，， 解得或， 二次函数与轴的交点为或， ， 抛物线开口向下， 时，．  【解析】利用待定系数法构建方程组确定，的值即可； 求出抛物线与轴的交点坐标，利用图象法判断即可． 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33.【答案】解：且， ， 当时，是的二次函数； ， ， 令， 则， ， 交点坐标为．  【解析】根据二次函数的定义即可求解； 根据得出二次函数的解析式，令，求得，据此即可求解． 本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象与轴的交点坐标，正确进行计算是解题关键． 34.【答案】解：在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，将点，点，点的坐标代入得： ， 解得  二次函数的表达式为； 设直线的表达式为，将点的坐标代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ， ， ， 当时，， 此时，， 面积的最大值是，此时点坐标为； 抛物线对称轴上存在点，使为以为底的等腰三角形；点的坐标为；理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 故抛物线对称轴上存在点，使为以为底的等腰三角形；点的坐标为．  【解析】直接用待定系数法求解即可； 可求得直线的表达式为，过点作 轴于点，交于点，设，则，所以，则 ，即可求得面积的最大值是； 先求得抛物线的对称轴为直线，设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $