专题1.10 直线与圆70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

该高中数学讲义围绕直线与圆的7大核心题型构建知识体系，通过思维导图清晰呈现各题型间的逻辑关联，用表格对比不同解法的适用条件，如“求交点坐标”与“已知点到直线距离求参数”分别对应代数运算与几何转化，突出重难点分布和内在联系。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如第4题通过恒过定点的证明培养逻辑推理素养，第21题借助点到直线距离公式求参数体现数学建模意识，第50题综合弦长最值与四边形面积最小值考查空间想象与运算能力。每类题型均配典型例题、易错警示和解题策略，基础薄弱学生可掌握通法，优生能拓展思维，教师据此实现分层教学与精准讲评，助力单元复习提质增效。

专题1.10 直线与圆70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 求直线交点坐标 题型二 求平面两点间的距离 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 求平行线间的距离 题型五 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型六 已知圆的弦长求方程或参数 题型七 由圆的位置关系确定参数或范围 【经典计算题一 求直线交点坐标】 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的斜率. 2．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线：，：. (1)若，求的值. (2)设直线过的定点为，直线过的定点为，且当时直线与的交点为，求中边上的高所在直线的方程. 3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求此直线方程； （2）在平面直角坐标系中，已知射线：：，过点作直线分别交射线于点，当的中点在直线上时，求直线的方程. 4．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）设直线的方程为. (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 5．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 6．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 7．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 8．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且. (1)求直线的方程. (2)直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程. 9．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线方程． 10．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知的顶点，边上的高所在直线为，边上的中线所在直线为为的中点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程． 【经典计算题二 求平面两点间的距离】 11．（23-24高二上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 12．（24-25高二上·山西阳泉·阶段练习）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线的方程． (3)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，写出点F的坐标；不存在，请说明理由． 13．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知直线的方程为，直线经过点和． (1)若，求的值； (2)若当变化时，总过定点，求． 14．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线，，． (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程． (2)当为何值时，原点到直线的距离最大． 15．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）（1）已知点和点，在轴上求一点的坐标，使为直角； （2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形 16．（23-24高二上·浙江·期中）已知，的平分线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 17．（23-24高二上·山东临沂·阶段练习）已知直线l过点(1，0)，且与直线：和：所分别交于A、B两点，且．求直线l的方程． 18．（22-23高二上·湖南株洲·期中）设直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长． 19．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，已知点 (1)在边上是否存在一点，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由 (2)求的面积. 20．（23-24高一上·河南南阳·期末）回答下列问题： (1)求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程. (2)已知直线和点，过点作斜率为的直线与相交于点，且，求斜率的值. 【经典计算题三 已知点到直线距离求参数】 21．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，直线（为任意实数）过定点． (1)求定点的坐标． (2)直线经过点，且点到直线的距离为3，求直线的方程． (3)点在直线上运动，求的最大值． 22．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线经过点． (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点 ①若时，求此时直线的纵截距． ②若取最小值时，求此时直线的方程． 23．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 24．（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 25．（23-24高二上·贵州毕节·期中）已知直线经过点，且与直线垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且点到直线的距离为，求直线的方程． 26．（22-23高二上·重庆荣昌·期中）已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； (2)若面积为24，求直线l的方程． 27．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线过点 (1)若与直线平行，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为2，求直线的方程. 28．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）若直线经过两直线和的交点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为5，求直线的方程. 29．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知A，B是直线：上两点，定点，，. (1)若，求m的值； (2)求过点且与点的距离为2的直线的方程. 30．（22-23高二上·四川南充·期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【经典计算题四 求平行线间的距离】 31．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知三条直线，，. (1)若，且过点，求、的值； (2)若，求、的值，并求的距离. 32．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知直线，点和点分别是直线上一动点. (1)若直线经过原点，且，求直线的方程； (2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，梯形中，，且对角线交于点，过点作所在直线的平行线．若和所在直线的方程分别是与，求直线与所在直线间的距离． 34．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知三条直线，直线，且与的距离是. (1)求a的值； (2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标. 35．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线与 （）． (1)若，求的值； (2)若，求直线到的距离． 36．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线：，直线：，其中a，b均不为0. (1)若，且过点，求a，b； (2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离. 37．（23-24高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线：. (1)若直线与直线：平行，求的值并求这两条直线间的距离； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 38．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知两条不同直线：，：． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离． 39．（23-24高一下·全国·课后作业）两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 40．（23-24高二上·四川巴中·期中）已知直线，． (1)若，求的值； (2)若，求与间的距离． 【经典计算题五 直线与圆的位置关系求距离的最值】 41．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于、两点，求. (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 42．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 43．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，直线（其中A，B不同时为0），且点P不在直线上. (1)若点关于直线的对称点为，求点坐标； (2)求证：点到直线的距离； (3)当点在函数图象上时，（2）中的公式变为，请参考该公式，求的最小值. 44．（2024高二·全国·专题练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，求的最小值. 45．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 46．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 47．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知圆：． (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程和切线长； (2)设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标． 48．（23-24高二·全国·课后作业）已知实数满足，求： (1)的最小值； (2)的最大值． 49．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值． 50．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【经典计算题六 已知圆的弦长求方程或参数】 51．（24-25高二上·上海·期末）已知圆，直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 52．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 53．（24-25高二上·湖北·期末）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 54．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知，，是圆上的三点，. (1)判断四点是否共圆，并说明理由； (2)过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 55．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上. (1)求圆的标准方程; (2)过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 56．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程. 57．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 58．（24-25高一上·重庆·期末）已知圆及直线，直线被圆截得的弦长为. (1)求的值； (2)求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 59．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆关于直线的对称圆的圆心为，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 60．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆过点、且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【经典计算题七 由圆的位置关系确定参数或范围】 61．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 62．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆E：，直线l：． (1)讨论l与圆E的位置关系； (2)若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值． 63．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆：，圆：（），直线：，：． (1)若圆与圆相内切，求实数m的值； (2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值． 64．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，直线的方程为． (1)若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围； (2)若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程． 65．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知圆，点关于直线的对称点为. (1)求的方程； (2)若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值. 66．（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 67．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆：有公共点，求的取值范围. 68．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若圆心为的圆与圆外离，求圆的半径的取值范围. 69．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆，两点、. (1)若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的方程； (2)若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围. 70．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆有两个不同的交点． (1)求的取值范围； (2)过直线上的一点（在线段外的部分上），分别作圆与圆的一条切线，切点分别为，问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.10 直线与圆70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 求直线交点坐标 题型二 求平面两点间的距离 题型三 已知点到直线距离求参数 题型四 求平行线间的距离 题型五 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型六 已知圆的弦长求方程或参数 题型七 由圆的位置关系确定参数或范围 【经典计算题一 求直线交点坐标】 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知的顶点边上的中线所在直线方程边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两条直线互相垂直斜率互为相反数，得出AC所在直线方程，再跟CM所在直线方程联立方程即可. （2）设点的坐标把M的坐标表示出来，利用点B在直线BH上，点M在直线CM上，列式联立方程即可. 【详解】（1）边上的高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 联立方程与中线所在直线方程，可得， 故点的坐标为. （2）设点的坐标为，由点在直线上可得； 的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程， 即； 故可得，即点坐标为. 则直线的斜率为. 2．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线：，：. (1)若，求的值. (2)设直线过的定点为，直线过的定点为，且当时直线与的交点为，求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：, 即满足； 故或. （2）由直线：可知过定点， 由：可知过定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即. 3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求此直线方程； （2）在平面直角坐标系中，已知射线：：，过点作直线分别交射线于点，当的中点在直线上时，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）通过讨论截距是否为0，结合直线的截距式即可得解； （2）设，，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出、，即可求得直线的方程； 【详解】（1）当截距为0时，易得直线方程为； 当截距不为0时，由题意设直线方程， 代入点可得：，解得， 此时直线方程为，即； 故直线方程为或. （2）设，，则线段的中点为， 所以，解得，或（舍去）； 所以直线的方程为：，化为：. 4．（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）设直线的方程为. (1)求证：不论a为何值，直线必过一定点P； (2)若直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)见解析. 【分析】（1）变形方程，依题意列出方程组，解出即可； （2）求得截距后，表示出的面积，利用基本不等式求得最值，进一步计算即可； （3）根据截距为整数，求得的值，即可得到所求直线方程. 【详解】（1）由得: ； 则，解得 所以不论为何值，直线必过一定点； （2）由得， 当时，，当时，， 又由，得， ∴ , 当且仅当，即时取等号 ∴，， ∴的周长为； （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数， 即，均为整数， 所以，均为整数，∴，，，，，0，，2， 又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线的方程为，，，，，，，. 5．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)，点I恒在定直线上 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得； （2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得， 当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合， 当时，直线：，直线：即，符合题意， 故. （2）由（1）知，当，相交时， 联立，解得，∴， 因为，即， 所以点I恒在定直线上. 6．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组得出点坐标，根据已知设出直线l的方程为，代入点坐标，求解即可得出答案； （2）分直线过原点以及不过原点，两种情况，设出直线的方程，代入点坐标，求解即可得出答案. 【详解】（1）联立可得，，所以点. 由已知可设直线l的方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. （2）当直线过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以直线l的方程为，整理可得； 当直线不过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 7．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线的方程； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知可设直线的方程为.代入点的坐标，求解即可得出答案； （2）联立直线与直线的方程得出交点坐标.进而分为直线过原点以及不过原点两种情况，设出直线方程，代入交点坐标，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为. 直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与直线的方程，可得， 所以，直线与直线的交点为. 当直线过原点时，设方程为，代入点可得， 所以，直线的方程为，即； 当直线不过原点时，由已知可设直线方程为， 代入点可得，，解得， 代入直线方程，整理可得. 综上所述，直线的方程为或. 8．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知直线：，直线在y轴上的截距为－3，且. (1)求直线的方程. (2)直线过与的交点，且与直线平行，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两直线垂直求出直线的斜率，然后代入斜截式方程求解即可； （2）联立与的方程求出交点坐标，再根据题意设出直线的方程，将点的坐标代入直接求解即可. 【详解】（1）因为直线：的斜率为，且，所以直线的斜率为2， 又直线在y轴上的截距为－3，所以由斜截式知直线的方程为； （2）联立方程，得交点坐标为， 因为与直线平行，故设直线：， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 9．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知在中，点，角的角平分线为边上的中线所在直线为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将中点代入直线方程即可求出值，则得到答案； （2）首先得到，计算出直线的方程，将其与直线方程联立即可求出的坐标，则得到的方程. 【详解】（1）设，由题意知，的中点在直线上， 则有，点坐标为. （2）由题意知关于的对称点在直线上， 则有边所在直线方程为，即. 联立方程有，解得， 又，则，则所在直线方程为， 即所在直线方程为. 10．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知的顶点，边上的高所在直线为，边上的中线所在直线为为的中点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）由得直线的方程，与联立求得的坐标，得的坐标； （2）按直线是否过原点分类讨论，求出直线的方程. 【详解】（1）因为，而直线：的斜率为， 所以直线的斜率为， 直线的方程为：，即， 因为点A在直线与边上的中线的交点， 由，解得，，所以顶点的坐标， 而为线段的中点，所以的坐标 （2）当直线经过原点时，设直线的方程为， 将的坐标代入可得，直线的方程为；   当直线不过原点时，设直线的方程为， 将代入可得，解得， 这时直线的方程为， 综上所述，直线的方程为 或 ． 【经典计算题二 求平面两点间的距离】 11．（23-24高二上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）若折痕的斜率为时，由于A点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出； （2）分和两种情况，结合垂直关系求直线方程即可得出结果； （3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出. 【详解】（1）因为折痕的斜率为时，A点落在线段上 可知折痕必过点 所以直线方程为. （2）①当时，此时A点与点重合，折痕所在的直线方程. ②当时，将矩形折叠后A点落在线段上的点记为，， 则A与关于折痕所在的直线对称，有，即. ∴点坐标为 从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为， 折痕所在的直线方程，即. 综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：. （3）当时，折痕长为2. 当时，折痕所在直线交于点，交轴于. 因为 ， 则折痕长的最大值为. 综上所述，折痕长度的最大值为 12．（24-25高二上·山西阳泉·阶段练习）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线的方程． (3)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，写出点F的坐标；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）先求出直线的斜率，从而得出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程联立方程组解出即可； （2）设，写出的中点的坐标根据题意建立方程，联立解出点的坐标，结合已知条件即可求出直线的方程； （3）假设在线段上是存在一点，使得，然后根据题意列出方程，联立解出即可. 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 所以， 又直线经过点， 所以直线的方程为：， 即：． 联立解得： 即点. （2）设，由为上的中线，且， 所以的中点坐标为：． 又点在直线上， 所以有，① 又点在直线上， 所以，② 联立①②解得：，即点， 又，所以 所以的方程为：， 即：． （3）假设在线段上是存在一点， 使得， 则有，③ 由得：，④ 又，⑤ 联立③④⑤解得：， 所以存在点满足题意，此时点. 13．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知直线的方程为，直线经过点和． (1)若，求的值； (2)若当变化时，总过定点，求． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）表示出直线和的斜率，利用斜率乘积为求解即可； （2）将直线方程变形，解方程组求出定点坐标，利用两点间距离公式求长度. 【详解】（1）由题意得，，的斜率为，的斜率为. ∵， ∴，即， 解得或. （2）方程可改写为：， 由，得， ∴过定点， ∴. 14．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线，，． (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程． (2)当为何值时，原点到直线的距离最大． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过、的中点和直线与平行两种情况讨论，分别计算即可； （2）首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出. 【详解】（1）因为，，所以、的中点为， 若直线过、的中点为， 则，解得，此时直线为，满足条件； 又，所以当时直线的方程为， 此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等， 综上可得直线的方程为或. （2）由，得， 联立，解得，则直线过定点， 由，得，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，    最大值为， 因为，所以，即当时原点到直线l的距离最大． 15．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）（1）已知点和点，在轴上求一点的坐标，使为直角； （2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【分析】（1）设，由列方程，由此求得点的坐标. （2）利用斜率判断直线是否平行，利用两点间距离公式判断线段是否相等. 【详解】（1）因为点在轴上，所以可设点， 由题意知，且，由已知点和点， 则直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以， 解得或，所以点的坐标为或. （2）由， 则，， 由题意是四边形，知不共线，则， 又，， 故， 所以四边形是梯形. 16．（23-24高二上·浙江·期中）已知，的平分线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式得到，然后根据点斜式方程写直线的方程即可； （2）联立方程得到，然后根据正弦定理得到，设，利用两点间距离公式列方程，解方程得到，然后写直线方程即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，， 所在直线方程：. （2）   由解得，设 ， 依题意，的平分线为直线， 由正弦定理得，， 由于，由此整理得,则， 设，则， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 直线的方程为，. 17．（23-24高二上·山东临沂·阶段练习）已知直线l过点(1，0)，且与直线：和：所分别交于A、B两点，且．求直线l的方程． 【答案】或． 【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程． 【详解】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，，距离为9，符合题意； 当直线l斜率存在时，方程可设为， 直线l与直线联立，得交点， 直线l与直线联立，得交点， 故两点间的距离为，化简得， 即直线方程为，即， 综上，直线l方程为或． 18．（22-23高二上·湖南株洲·期中）设直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定点直线系结论列方程组求解可得定点，然后可证； （2）求出，然后根据面积求出a，再由两点间距离公式可解. 【详解】（1）证明：将整理成， 令，解得，， 所以定点为， 因为点在第一象限，所以不论为何值，直线必过第一象限. （2）解：由题意知，，由， 当时，，当时，， 由，得， 所以面积，解得， 此时，，， 所以的周长为， 故当面积为12时，的周长为． 19．（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）在中，已知点 (1)在边上是否存在一点，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由 (2)求的面积. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）求出的方程，求解的方程，联立方程组求解的坐标，然后求解的值； (2）求解 ,，然后求解三角形的面积. 【详解】（1）   ,的斜率为：,, 所以的斜率为：, 所以的方程为：, 的方程, , 解, , , （2）的面积： 20．（23-24高一上·河南南阳·期末）回答下列问题： (1)求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程. (2)已知直线和点，过点作斜率为的直线与相交于点，且，求斜率的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出已知两直线的交点坐标，利用平行线的斜率相等得所求直线斜率，由点斜式得直线方程； （2）用斜率与点坐标写出直线方程，与直线方程联立求出交点的坐标，由两点间距离公式可求得参数的值． 【详解】（1）由，得交点坐标为， 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即, （2）设直线的方程为，，         因为直线与相交于点，联立方程组，解得点的坐标为， 又，解得. 【经典计算题三 已知点到直线距离求参数】 21．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，直线（为任意实数）过定点． (1)求定点的坐标． (2)直线经过点，且点到直线的距离为3，求直线的方程． (3)点在直线上运动，求的最大值． 【答案】(1)， (2)和 (3) 【分析】（1）将方程化为，即可求解， （2）考虑直线有无斜率，即可设出直线方程，根据点到直线的距离个数求解， （3）根据三点共线即可求解. 【详解】（1）由得， 令且，解得，故， （2）若直线无斜率，则方程为，此时到的距离为3，符合题意， 若直线有斜率，设方程为，此时到的距离为，解得，故直线方程为 综上，直线方程为和, （3）由于在直线的同一侧， 故,当且仅当三点共线时取到等号， 故, 故最大值为    22．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线经过点． (1)若直线到原点的距离为1，求直线的方程； (2)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点 ①若时，求此时直线的纵截距． ②若取最小值时，求此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或； 【分析】（1）分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用条件建立方程即可求出结果； （2）①根据截距式结合三角形面积建立方程计算即可；②设出直线点斜式方程，利用基本不等式及三角形面积公式计算即可求出结果. 【详解】（1）因为直线经过点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线到原点的距离为1，所以，解得， 此时直线为 所以直线的方程为或. （2）①由题意可设此时直线方程为，即此时， 则，且，解方程组得， 即此时该直线的纵截距为或； ②由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，得到，令，得到， 由题知，，得到， ， 当且仅当，即时取等号， 此时直线方程为. 23．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 24．（2023高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【答案】或 【分析】先求出交点坐标，对直线l的斜率分类讨论，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】联立方程，解得，即直线与直线的交点为， 当直线l的斜率不存在时，直线， 可知点到直线l的距离为5，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线，即， 所以点到直线l的距离为，解得， 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 25．（23-24高二上·贵州毕节·期中）已知直线经过点，且与直线垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由垂直关系得出斜率，进而由点斜式写出方程； （2）设直线的方程为，根据距离公式得出直线的方程． 【详解】（1）直线的斜率为， 由题意直线经过点，斜率为，则即. （2）设直线的方程为，且. 点到直线的距离为，则，解得或. 即直线的方程为或. 26．（22-23高二上·重庆荣昌·期中）已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程； (2)若面积为24，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程，利用点到直线的距离求出斜率即可得解； （2）设出直线方程，求出截距，利用面积求出斜率即可得解. 【详解】（1）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，即， 则点O到直线l的距离，解得. 故直线l的方程为，即. （2）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，即， 令，可得， 令，可得， 所以，即， 解得， 故所求直线方程为. 27．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线过点 (1)若与直线平行，求直线的方程； (2)若原点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知设出方程，代入点的坐标，即可得出答案； （2）先考虑直线斜率不存在的情况；当斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离公式列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为， 将点代入方程可得，， 解得，， 所以，直线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时原点到直线的距离为2，满足题意； 当直线的斜率存在时，设为， 则直线的方程为，即. 由已知可得，， 整理可得，解得， 所以，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 28．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）若直线经过两直线和的交点. (1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为5，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）求出交点，讨论直线不过原点，直线过原点，利用截距式得出直线的方程； （2）讨论直线的斜率，设直线方程，由距离公式得出直线的方程. 【详解】（1）由，解得，即交点坐标为， 当直线过原点时，满足直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，此时方程为； 当直线不过原点时，设方程为，代入得出， 即. 综上，直线的方程为或 （2）若直线过点且斜率不存在，则直线方程为，满足点到直线的距离为5； 当直线过点且斜率存在时，设直线方程为， 即， 点到直线的距离，解得， 所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. 29．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知A，B是直线：上两点，定点，，. (1)若，求m的值； (2)求过点且与点的距离为2的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）记AB中点为D，利用点到直线的距离公式求CD，然后根据等腰三角形性质和勾股定理可解； （2）分斜率存在和不存在讨论，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解可得. 【详解】（1）记AB中点为D，因为， 所以，，点C到直线AB的距离， 又，所以， 所以，解得.    （2）易知，当直线l的斜率不存在时，点到直线的距离为2，满足题意，此时直线方程为； 但当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则由题意可得，解得， 所以方程为，即. 综上，直线l的方程为或.    30．（22-23高二上·四川南充·期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】(1) (2)公路长千米，示范带250平方千米 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【详解】（1）解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 （2）∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 【经典计算题四 求平行线间的距离】 31．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知三条直线，，. (1)若，且过点，求、的值； (2)若，求、的值，并求的距离. 【答案】(1)或 (2)； 【分析】（1）由两直线平行相关知识可解决问题； （2）由两直线垂直相关知识可求、的值，后由两平行直线距离公式可得的距离. 【详解】（1）因为，， 且，所以， 又直线过点，则，. 所以或 . （2）因，由题则. 即，，又 满足，所以若，． 则的距离为. 32．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知直线，点和点分别是直线上一动点. (1)若直线经过原点，且，求直线的方程； (2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线间距离公式可得和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解, （2）根据互相平行，可得的轨迹为，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）将化为一般式方程，得， ,则两直线平行， 故两直线的距离为， 因为，所以和两直线垂直. 因为的斜率为，所以. 又因为直线经过原点，所以直线的方程为. （2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为， 即 所以点到原点的最短距离即点到直线的距离， 因为点到直线的距离为. 所以点到原点的最短距离为. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，梯形中，，且对角线交于点，过点作所在直线的平行线．若和所在直线的方程分别是与，求直线与所在直线间的距离． 【答案】2 【分析】先求得直线和之间的距离，再求直线与所在直线的距离即可解决. 【详解】解：在梯形中，，且对角线交于点， 则，相似比为，则， 点到所在直线的距离为和所在直线距离的， 又和所在直线的距离为， 则直线与所在直线间的距离为2． 34．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知三条直线，直线，且与的距离是. (1)求a的值； (2)若点P同时满足下列条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P在直线上，求点P的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）用平行线间距离公式求参数即可. （2）用点到直线的距离公式直接求解即可 【详解】（1）直线方程为， ∴和距离为， 解得 （2）设点， 若点P满足条件②，则P在与，平行的直线上， 且，得或， 所以或. 若满足条件③，联立方程解得，舍去， 或者联立方程解得，为所求点. 35．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线与 （）． (1)若，求的值； (2)若，求直线到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的垂直的充要条件求解； （2）由直线平行的条件求出，再检验后，根据平行线间距离公式求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，解得. （2）因为, 所以，解得或， 当时，与 平行， 当时，与重合，不符合题意， 故， 此时， 直线到的距离. 36．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线：，直线：，其中a，b均不为0. (1)若，且过点，求a，b； (2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据过点求出，再根据两直线垂直的充要条件即可求出； （2）先根据在两坐标轴上的截距相等求出，再根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线之间的距离公式即可得解. 【详解】（1）当过点时，，所以， 因为，所以，即，于是； （2）由：， 令，则，令，则， 因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故； 又，所以，所以， 则：与：之间的距离， 所以与之间的距离为. 37．（23-24高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线：. (1)若直线与直线：平行，求的值并求这两条直线间的距离； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】 （1）根据直线平行列出方程求解a，再由平行线之间的距离公式求解； （2）求出截距，再由截距相等求出即可得解. 【详解】（1） 因为直线：且， 所以，解得. 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为. （2） 令，得，即直线在轴上的截距为. 令，得，即直线在x轴上的截距为. 因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以， 解得或. 则直线的方程是或. 38．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知两条不同直线：，：． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，列出方程能求出； （2）由，求出，再由两平行线间的距离求解即可. 【详解】（1）由，得，解得； （2）当时，有，解得， ∴：，：，即， ∴两直线与的距离为． 39．（23-24高一下·全国·课后作业）两条相互平行的直线分别过点和，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）由图可知两直线距离显然满足. （2）当两直线均与垂直时d取最大值，求出再写出两直线方程. 【详解】（1）如图，一般地，过A，B的两直线，其距离显然满足.      而， 故所求d的变化范围是. （2）由图知，当均与垂直时d取最大值，而， 所以所求直线的斜率为. 故所求的直线方程为和， 即和. 40．（23-24高二上·四川巴中·期中）已知直线，． (1)若，求的值； (2)若，求与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据给定条件直接列式计算即可得解. (2)由两直线平行求出m值，再借助平行线间距离公式计算即得. 【详解】（1）因为，则有，解得， 所以的值为. （2）当或重合时，，或， 当时，，此时两直线重合，不符合题意， 当时，，，即，此时两直线平行，满足条件， 于是得， 所以与间的距离为. 【经典计算题五 直线与圆的位置关系求距离的最值】 41．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于、两点，求. (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）计算到直线的距离，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长； （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积． 【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或． （2）直线方程为， 则圆心到直线的距离， 直线与圆相交，． （3）圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为． 42．（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可. （2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可. 【详解】（1）因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称， 故是圆的直径，即在直线上， 得到，而圆心在轴上，故，解得， 代入到中，得到，解得， 故圆的一般方程为， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为， （2）首先，可化为， 如图，作，且记直线为， 由勾股定理得，故， 当最小时，一定最小，也一定最小， 由平面几何性质得当时，取得最小值， 由点到直线的距离公式得， 故. 43．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知点，直线（其中A，B不同时为0），且点P不在直线上. (1)若点关于直线的对称点为，求点坐标； (2)求证：点到直线的距离； (3)当点在函数图象上时，（2）中的公式变为，请参考该公式，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由两直线垂直斜率关系和中点坐标公式列方程组求解即可； （2）过作轴交于点，作轴交于点，利用点在直线上解出，分别表示出，再结合勾股定理和三角形的面积公式可证； （3）令，，由（2）得到的几何意义，利用圆上点到直线距离的最值求解即可； 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以点坐标为， （2）证明：设，这时与轴都相交， 过作轴交于点，作轴交于点， 由得， 所以， ， 由三角形的面积公式可得， 所以， 可证明当或时仍成立， 综上， （3）令，， 则表示函数图象上的点，即圆心在原点的单位圆轴上半圆上的点到直线的距离， 表示函数图象上的点，即圆心在原点的单位圆轴上半圆上的点到直线的距离， 由对称性可知，最小值为. 44．（2024高二·全国·专题练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，求的最小值. 【答案】8 【分析】根据题意，将问题转化为求的最小值，求出关于直线的对称点的坐标，即可得到当三点共线时，取得最小值. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 45．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 46．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的斜率； (3)若点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为，结合圆与直线相切得到 半径，再利用弦长公式求解即可； （2）由（1）可知点P即为原点，根据条件得到原点O到直线l的距离，利用点到直线距离公式求解即可； （3）根据当时，最小，此时四边形的面积最小进行求解. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为， 因为圆与直线相切，所以. 又直线被圆截得的弦长为， 所以，解得 即圆心坐标为，所以圆的方程为. （2）依题意，即为坐标原点，且，则点到的距离为1，于是， 解得，所以直线的斜率为. （3）由切线长定理可得，又因为， 所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为. 47．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知圆：． (1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程和切线长； (2)设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求的面积最小值以及此时点的坐标． 【答案】(1)切线方程为或，切线长为1 (2)的面积最小值为2，此时 【分析】（1）由题意，利用分类讨论的解题思想，结合切线的性质以及点到直线的距离公式，根据勾股定理，可得答案； （2）由题意，利用数形结合的解题思想，求得点，可得答案. 【详解】（1）由题意，可作图如下：    当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是，，解得， 切线方程为，即． 当切线斜率不存在时，又与圆也相切， 故所求切线方程为和． 由圆的性质可知，切线长为． （2）由题意，可作图如下：    当时，的面积最小值． 又因为，所以直线的方程为． 由，解得，即点的坐标为． 此时的面积最小值为． 48．（23-24高二·全国·课后作业）已知实数满足，求： (1)的最小值； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，当直线与圆相切时，取得最值，根据列式求解；（2）计算原点到圆上任意点的最大距离的平方 【详解】（1）由题意，圆的标准方程为． 令，当直线与圆相切时，取得最值， 则，解得或． 所以的最小值为． （2）令，则表示点到点距离的平方， 因为圆上的点到原点距离最大值为 ， 所以． 49．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程； (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可设圆的方程为，根据已知结合点线距离公式列方程求参数a，即可得圆的方程. （2）根据切线的性质有△PCE≌△PCF，则，将四边形PECF面积最小转化为求C到l的距离最小值，进而求，即可得四边形PECF的面积的最小值． 【详解】（1）∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程为， ∵圆心C到直线的距离为3， ∴由点到直线的距离公式得，解得a＝2，即半径为2. ∴圆的方程为. （2）PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，则△PCE≌△PCF， ∴，PE是圆的切线且E为切点， ∴PE⊥CE，CE＝2，PE2＝PC2－CE2＝PC2－4， ∴当斜边PC取最小值时PE也最小，即四边形PECF的面积最小，而PC为C到l的距离， 由（1）知：PCmin＝3，此时，即， ∴， ∴四边形PECF面积的最小值为. 50．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 【经典计算题六 已知圆的弦长求方程或参数】 51．（24-25高二上·上海·期末）已知圆，直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列出等式求解即可； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，进而可求解； 【详解】（1）因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：， 所以直线的方程： （2）设圆心到直线的距离为， 则， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程： 52．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点. (1)若弦被点平分，求直线的方程. (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当弦被点平分时，根据圆的性质可知与直线垂直，通过求出的斜率，进而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程. （2）已知弦长，先根据圆的半径和半弦长以及圆心到直线的距离的关系求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出直线的方程. 【详解】（1）圆的方程为，圆心，已知. 根据两点间斜率公式，可得. 弦被点平分时，，设直线斜率为，则，所以. 已知直线过点，斜率为，根据点斜式方程， 可得直线的方程为，即. （2）设圆心到直线的距离：圆的半径，已知. 根据圆的弦长计算公式，可得，所以. 当直线的斜率不存在时：直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，满足圆心到直线的距离， 所以是直线的一个方程. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 即，两边平方得.展开得，移项，解得. 所以直线的方程为. 综上所得，线的方程为或. 53．（24-25高二上·湖北·期末）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列式求解即得. （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求解即得. 【详解】（1）设的外接圆的方程为， 由A，B，O均在圆C上，得，解得， 所以圆C的方程为. （2）由（1）知圆心，半径为，由直线l被圆C截得的弦长为， 得点C到直线l的距离为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则， 两边同时平方得，解得或， 当直线l的斜率不存在时，不满足条件， 所以直线l的方程为或. 54．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知，，是圆上的三点，. (1)判断四点是否共圆，并说明理由； (2)过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1)四点共圆，理由见解析 (2)或. 【分析】（1）先根据三点解得圆的方程为，代入可判断； （2）直线斜率不存在时，与圆的方程联立可得，直线斜率存在时，根据垂径定理可得. 【详解】（1）四点共圆. 法一：依题意，，，则，故， 所以是圆的直径.于是圆心，即； 半径为，故圆P的方程为. 代入，则有， 因此点在圆上，即四点共圆. 法二：设圆的方程为.则， 解得，，.所以，圆的方程为， 代入圆的方程，. 故点在圆P上，即四点共圆. （2） 当直线的斜率不存在时，对于，令，得或. 此时弦长，符合题意，故直线的直线方程为. 当直线的斜率存在时，设，即. 于是圆心到直线的距离为. 设弦长为，则，即， 解得.故直线的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 55．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线 : 上. (1)求圆的标准方程; (2)过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 . 【分析】（1）利用待定系数法求圆的方程； （2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，再讨论直线的斜率，代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 故圆心的坐标为， 因为圆心在直线上， 所以 因为是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式，有 ，即 ， 由①②可得 ， 故圆的方程为 ， （2）由(1)知，圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为,则 , 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为3，符合题意; 若直线的斜率存在，设直线的方程为,即, 由题意可得 ，解得， 此时，直线的方程为,即. 综上所述，直线的方程为或. 56．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，即可列式求解； （2）首先根据三角形的面积公式求，再根据圆心到直线的距离，即可求解直线方程. 【详解】（1）由已知得圆， 所以，圆心，半径. 因为圆与直线相切， 知圆心到直线的距离，解得， 所以圆的方程为. （2）由题， 又，得 所以圆心C到直线的距离为. 直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，满足题意； 直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心C到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为，即.   综上，直线的方程为或. 57．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，结合已知条件可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线垂直于轴时，直接验证即可；在直线不垂直于轴时，设出直线的方程，利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 当直线垂直于轴时，则圆心到直线的距离为， 此时，直线与圆相切，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，即， 所以，整理得，解得或. 所以直线的方程为或. 58．（24-25高一上·重庆·期末）已知圆及直线，直线被圆截得的弦长为. (1)求的值； (2)求过点并与圆相切的直线的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的弦长公式即可求解， （2）根据点到直线的距离，结合相切的性质，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得圆心和半径分别为， 所以弦长为解得或（舍去）， 故. （2）由（1）知，圆，圆心和半径分别为， 由于在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为， 即故到切线的距离为解得 故切线方程为， 当切线无斜率时，此时方程为符合题意， 综上可得：切线方程为或 59．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆关于直线的对称圆的圆心为，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，因为直线过点，所以直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，因为直线过点， 设直线的方程为，化为一般式：， 直线与圆相切，则，解得， 所以直线的方程为：，即， 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或； （2）圆的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得， 即圆的圆心为，半径为4， 当直线斜率不存在时，因为直线过点，直线的方程，此时圆心到直线距离等于，，符合； 当直线斜率存在时，直线的方程为，化为一般式：， 圆心到直线的距离， 若直线与圆交于，两点，， 根据勾股定理可得， 即，解得， 所以直线的方程为或. 60．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆过点、且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心为，根据，结合两点间的距离公式，求出的值，可求出圆的半径，进而可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）根据题意，设圆心为， 由，可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 因此，圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为，直线与圆相交于点、，且， 则， 又因为直线经过点， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 点到的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即． 所以直线的方程为或． 【经典计算题七 由圆的位置关系确定参数或范围】 61．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆C：，其中； (1)已知圆C与圆：相切，求m的值； (2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【答案】(1)9或 (2) 【分析】（1）两圆外切时解方程，内切时解方程即得解； （2）由几何法求弦长解方程即得解. 【详解】（1）由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 若两圆外切，则，解得； 若两圆内切，则，解得； （2）圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得， 所以的值为． 62．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆E：，直线l：． (1)讨论l与圆E的位置关系； (2)若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值． 【答案】(1)答案见解析. (2). 【分析】（1）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系. （2）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值. 【详解】（1）圆：的圆心，且，即或， 圆的半径，设圆心到的距离为，则， 若，则，解得， 则当或时，直线与圆相离； 若，则当或，直线与圆相切； 若，则当或，直线与圆相交. （2）由（1）知，解得或，则， 圆，圆心，半径， 依题意，圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为， 由切点在劣弧上，知，， 又点在线段上，则， 当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且. 所以圆的半径的最大值为. 63．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆：，圆：（），直线：，：． (1)若圆与圆相内切，求实数m的值； (2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据半径与圆心距的关系可求实数的值. （2）根据弦长的长度之比可得关于的方程，从而可求实数的值. 【详解】（1）由题设可得，， 因为圆与圆相内切，故，其中， 解得. （2）到的距离为，到的距离为， 故，解得. 64．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，直线的方程为． (1)若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围； (2)若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助圆与圆的位置关系以及勾股定理，计算即可求得； （2）通过，以及三角形面积的最大值，求出圆的半径，计算即可求得. 【详解】（1）由，得， 所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线上． 因为圆的圆心在圆外，所以连结，． 又因为，连接，所以在中，圆的半径为． 故圆的半径的取值范围为．    （2）设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①． 设圆的半径为，在中，边上的高为h， 所以的面积为， 当时，即此时取得最大值，的面积取得最大值， 最大值为，解得， 所以②． 由①②得，或， 所以圆的方程为或．    65．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知圆，点关于直线的对称点为. (1)求的方程； (2)若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与垂直，可得，再利用中点在上，即可求解； （2）根据条件求出，联立直线与圆的方程得到，解得，设出，其中，利用圆与圆的位置关系得到，即可求解. 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，所以，得到， 又易知中点为，则，解得， 所以直线的方程为. （2）因为圆的圆心为， 由题有，解得或，当时，圆，不合题意， 所以，圆，即， 设，由，消得到， 所以， 设圆的圆心为，半径为，又圆与圆相切，切点在劣弧上， 则，得到， 又易知，所以当时，圆的半径最大，最大值为. 66．（2024高二·全国·专题练习）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含. 67．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆：有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为把点A、B坐标代入方程，圆心代入，列方程求解. （2）根据两圆有公共点满足求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为，则依题意，得， 解得，所以圆的方程为. （2）圆与圆：有公共点，则， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 68．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且圆经过，两点. (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若圆心为的圆与圆外离，求圆的半径的取值范围. 【答案】(1)，2 (2) 【分析】（1）首先求出的中垂线方程，将其与直线的方程联立可得圆心坐标，进一步可得半径. （2）求出圆心距，再结合圆与圆的位置关系列出不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，的中点坐标为， ，则的中垂线的斜率为， 所以的中垂线方程为，即. 由得, 所以圆的圆心坐标为，半径为. （2）设圆的半径为，由题意得， 因为圆与圆外离，所以，得， 又，所以圆的半径的取值范围为. 69．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆，两点、. (1)若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的方程； (2)若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线的方程； （2）设点，利用平面内两点间的距离公式结合可得知点在圆，可知圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，圆的标准方程为，圆心为， 因为直线过点且被圆所截的弦长为，则圆心到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以，直线的方程为或. （2）解：设点，则， 整理可得， 因为点在圆上，则圆与圆有公共点， 且圆的圆心为，半径为， 则，且，故， 因为，解得，故的取值范围是. 70．（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆有两个不同的交点． (1)求的取值范围； (2)过直线上的一点（在线段外的部分上），分别作圆与圆的一条切线，切点分别为，问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在常数，使得恒成立 【分析】（1）由两圆有两个交点可得两圆相交，继而可通过求得半径； （2）两圆相减先求的公共弦所在直线方程，再在切角三角形中通过勾股定理求得，即可发现它们之间的比值关系，则问题得解. 【详解】（1）因为圆与圆有两个不同的交点， 所以两圆相交， 所以且， 即，解得. 所以的取值范围. （2）圆, 圆, 两圆方程相减可得:, 化简可得直线的方程：， 设点， 因为与圆相切， 所以在直角三角形中， 又点在上，即， 所以可得， 同理可得 ， 所以，则， 故存在常数，使得恒成立。 学科网（北京）股份有限公司 $