专题1.9 直线与圆32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

该高中数学讲义围绕直线与圆的八大核心题型构建知识体系，通过思维导图清晰呈现各题型间的逻辑关联，用表格对比不同位置关系下的最值求法，借助典型例题解析突出“距离公式”“对称变换”“定点定值”等重难点的内在联系，帮助学生建立结构化认知框架。 讲义的亮点在于以“数学眼光”发现现实问题本质，如第4题将三镇选址转化为几何最值模型，培养空间观念和建模意识；以“数学思维”设计分层训练，如第16题通过动态几何推理探究线段长度最小值，强化逻辑推理能力；以“数学语言”规范表达过程，如第24题切点弦方程推导体现符号运算与形式化表达。每类题型均配方法总结与易错警示，基础薄弱生可掌握通法，优等生能拓展思维，教师据此实现精准教学与个性化指导。

专题1.9 直线与圆32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 用两点间的距离公式求函数最值 题型二 光线反射问题(2)-直线关于直线对称 题型三 直线关于直线对称问题 题型四 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型五 直线与圆中的定点定值问题 题型六 切点弦及其方程 题型七 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型八 圆的公切线方程 【经典例题一 用两点间的距离公式求函数最值】 1．（23-24高三上·重庆万州·阶段练习）已知，则 的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为到两点距离之和后数形结合求解． 【详解】， 故可以看作点到和的距离之和， 数形结合得，最小值为与的距离为5， 故选：D    2．（多选题）（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 【答案】BD 【分析】根据点斜式适合范围判断A，根据距离和最小确定B,应用截距相等判断C,应用平移得出直线结合待定系数法判断D. 【详解】对于A：函数不能表示与轴重合的直线，故A不正确； 对于B： ， 表示点与，距离之和， 如图所示，当三点，，不共线时，， 当三点，，共线时，， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：当直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设直线方程为， 把点代入，得，所以直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为，即， 把点代入，得，所以直线方程为. 综上直线方程为或，故C不正确； 对于D：设直线的方程为， 沿着轴向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得， 即， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 3．（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【分析】由函数的几何意义为点至和的距离之和，结合图形即可求得. 【详解】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 4．（2023·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【经典例题二 光线反射问题(2)-直线关于直线对称】 5．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 6．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 7．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程. 【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为， 则，解得：，即, 由对称性可知，点在直线上， 所以，直线的方程为， 即.    故答案为： 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 【经典例题三 直线关于直线对称问题】 9．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 10．（23-24高二上·上海浦东新·期末）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 11．（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果. 【详解】    直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 12．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 【经典例题四 直线与圆的位置关系求距离的最值】 13．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再过点P作圆的两条切线，由图形可得，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 设PA、PB是过点P圆的两切线，且A、B为切点，如图， 显然，当PM，PN为两切线时取等号； 因为PA、PB是过点P圆的两切线，所以，， 由圆的对称性易得，显然是锐角， 在中，， 又，所以， 所以，∴． 故选：B． . 【点睛】关键点睛：本题解题的突破口是通过过点作圆的切线，化三动点问题为一动点问题，从而利用直线上的动点到圆心的最小距离求得的最大值，由此得解. 14．（多选题）（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知圆，直线，下列结论正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个 C．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为 D．已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列方程求判断A，求时圆心到直线的距离，由此判断B，在直线与圆的不同位置关系下，转化条件列不等式求的范围，判断C，设，利用表示，结合余弦函数及二次函数性质求的最值，判断D. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，A错误． 当时，圆心到直线的距离，， 故圆上到直线的距离为的点恰有个，B正确． 当直线与圆相交或相切时，满足圆上存在点，直线上存在点，使得． 当直线与圆相离时，与圆相切时，最大， 要满足题意，只需，即，，解得，C正确． 根据圆的对称性，不妨令在轴右侧， 设的中点为且，． 要使最大，只需保证在轴上方，即，如下图， ． 当时，与轴垂直时，取最大值，为，D正确． 故选：BCD. 15．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知为圆上的任意一点，当时，的值与无关，下列结论正确的是 ． （1）当时，点的轨迹是一条直线； （2）当时，有的最大值为1； （3）当时，的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】根据点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式、直线与圆的位置关系等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 其中表示到直线的距离， 表示到直线的距离， 直线与直线平行， 依题意，当直线时，的值与无关， 所以到直线与直线的距离的和的倍为定值， 也即到直线与直线的距离的和为定值， 由于为圆上的任意一点， 所以圆在两平行直线与之间. 直线与直线的距离为， （1）当时，， 即圆与直线相切，所以圆心的轨迹是一条直线， 与平行，且与和的距离相等，所以（1）正确. （2）当时，， 所以圆的直径，所以有的最大值为1，所以（2）正确. （3）当时，由得， ，所以或， 解得或，所以（3）错误. 故答案为：（1）（2）    【点睛】关键点睛：本题解题关键点是化归与转化的数学思想方法，即将，转化为点到直线的距离问题来进行求解，熟练掌握、运用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离、直线与圆的位置关系，是解题的突破口. 16．（24-25高二上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以为圆心的圆 与圆交于两点. (1)若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，当线段长最小时，求直线的方程； (2)设是圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由截距式设直线的方程为，从而可得，再由基本不等式取最值得条件可得，从而可得结果； （2）设，则，写出直线与直线的方程，从而得到的坐标，从而求，化简即可结论. 【详解】（1）解：设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，即， ， 当且仅当时取等号， 此时直线的方程为. （2）解：设，则， 直线的方程为： 直线的方程为： 分别令，得， 所以为定值. 【经典例题五 直线与圆中的定点定值问题】 17．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案. 【详解】圆心坐标为，圆心在轴上， 所以圆关于直线轴对称， 设，（），， 则， 即对恒成立， 所以，所以，所以， 所以且，所以且且， 即有无数组解，所以①错误，②正确； 因为直线（）定点， 所以圆关于直线（）对称， 根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关， 所以③错误，④正确． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，判断出关于的方程的解的个数是解决本题的关键. 18．（多选题）（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 【答案】ACD 【分析】利用直线过定点进行逐项分析，对于A，根据和直线垂直时，取最小值求解即可；对于B，验证直线能否过圆心即可； 对于C，联立直线和圆的方程，将表示出来求解即可；对于D，利用，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 19．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 【答案】 【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值. 【详解】设圆的方程为，令， 则，其解为的横坐标， 故该方程与同解，故， 又圆过，故，故， 故，故圆的方程为：. 其标准方程为：， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：， 此时截得的弦长为： ， 无论取何值，弦长总不是常数， 设定直线为即， 圆心到直线的距离， 故弦长为 ， 若弦长为定值，则且， 故，此时弦长为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于圆中的定值问题，我们可以根据几何性质得到恒等式，再根据系数的性质得到参数满足的方程，从而求出定值. 20．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 【答案】(1)圆过定点； (2)①直线的方程为. ②存在这样的点，使得为定值 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）①根据题意可得，进而由点到直线的距离公式可求最小值，求出此时的点的坐标，求得过的圆的方程，可求直线的方程. ②设，求得过的圆的方程，求得直线的方程，可得直线过定点，由条件可得点在以为直径的圆上，进而可求定值. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为： ， 令，即，则， 解得，即圆过定点； （2）①当时，圆，可得圆心，半径， 由平面几何知识可知， 所以， 所以最小时，最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即，此时直线， 所以直线的方程为，与直线联立，可求得， 此时以为直径的圆上任意一点， 则， 故圆的方程为，又圆， 两式作差可得直线的方程为. ②设，由平面几何知识为四点共圆， 设圆上任一点，则， 所以圆的方程为， 与圆作差可得直线的方程为， 所以，表示过与的交点的直线， 由，解得，所以直线过定点， 因为，所以在以为直径的圆上， 故圆心到点的距离为圆的半径（定值）， 所以存在点为线段的中点，此时坐标为， 所以存在这样的点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：重点在于利用两圆的公共弦所在直线方程的求法求得直线的方程，进而求得直线过的定点是解得第二问的定值的关键. 【经典例题六 切点弦及其方程】 21．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 22．（多选题）（23-24高二上·贵州·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由， 如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点， 另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；    选项B，设点关于直线的对称点， 则，解得，即， 则， 即的最小值为，故B正确；    选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大， 过点作，垂足为，此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；    选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：ABD.    23．（2023·全国·模拟预测）过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】已知条件得到在直线上运动，设，则，，分析出当直线与直线垂直时，取最小值，最后利用对勾函数单调性得到的最大值． 【详解】由得， 则圆心，半径为1，圆心在直线上运动， 设，则， 因为是圆的切线，所以，故， ∴ ， 当直线与直线垂直时，取最小值， 则取最小值，又， 因为分别是圆C的切线，所以， 所以点在以为直径的圆上．因为， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为 故以为直径的圆的方程为， 整理得到 又因为圆C：， 所以直线的方程为， 化简得 又因为 所以，得到， 所以，且， 则，则． 由“双勾函数”的单调性可知，函数在上为增函数， 且，故函数在上为减函数， 故当时，取得最大值，最大值为．    故答案为：. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于，利用几何关系得出，利用直线为圆和以为直径的圆的公共弦，结合条件得出，再利用函数的单调性即可求解出结果. 24．（22-23高二上·四川成都·期中）已知圆过点，且与轴相切于坐标原点，过直线上的一动点引圆的两条切线，，切点分别为，． (1)求圆的标准方程； (2)若点为线段的中点，点为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心后列式求解， （2）由题意求解的轨迹方程，再由圆的性质求解， 【详解】（1）∵圆与轴相切，∴可设圆心的坐标为； 又∵圆过点，，∴， 解得，∴圆心为，半径为1，∴圆的标准方程为 （2）设，两点的坐标分别为，，再设点为， 直线的方程为， 又∵过点，且与直线垂直，∴为，又知过点， 得到，整理可知点满足：， 同理点满足：， ∴直线的方程为．∴直线恒过定点，设定点为点， 由题意可知当点与点不重合时，，点在以为直径的圆上（不包括点）， 当点与点重合时也在该圆上， ∴点的轨迹为（去掉），圆心为， ∴求的取值范围，即求圆（去掉）上一点到原点的距离的取值范围， 又∵，圆（去掉）的半径为， ∴的取值范围是． 【经典例题七 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 25．（2023·广东潮州·二模）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．若圆与圆恰有三条公切线，则 C．直线与圆相离 D．圆关于对称 【答案】B 【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；由圆心不在直线上判断D. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为. 对于A：因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 圆可化为，圆心为， 半径为，因为，所以， 解得，故B正确； 对于C：到直线的距离为，则直线 与圆相切，故C错误； 对于D：显然圆心不在直线上，则圆不关于 对称，故D错误； 故选：B 26．（多选题）（22-23高二下·福建泉州·期末）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设圆的方程为，由条件方程求解即可. 【详解】设圆的方程为，因为圆与轴相切，且在直线上， 所以，即，所以圆的方程为或， 又圆的圆心为，半径为1， 当圆与圆外切时，或（舍去）， 解得或； 当圆与圆内切时，或， 解得或（舍去）； 综上，圆的半径长可能是、或2. 故选：BCD 27．（23-24高三·江苏常州·阶段练习）已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1 ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为 ． 【答案】2． 【详解】试题分析：设，则，令，则，同理可得，因此为方程两根，由韦达定理得，从而点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为 考点：直线与圆位置关系 【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略 1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解． 2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系． 3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 28．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知圆：及其上一点． (1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； (3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程. （3）将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 所以圆心为，半径为. 由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上， 结合图象可知圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且， 所以到直线的距离为， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 则，两边平方并化简得， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或. （3），所以， 因为，为圆上的两点，所以， 由，得，即，， ， 解得，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：圆的几何性质与方程化简：通过化简圆的方程，找到圆心和半径，结合切线和外切条件，利用几何性质确定圆心的具体位置和半径. 利用距离公式求直线方程：在涉及到圆与直线的关系时，利用点到直线的距离公式来确定直线的方程，是一种行之有效的方法. 【经典例题八 圆的公切线方程】 29．（23-24高二上·安徽·阶段练习）设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC：与联立联立求得，和PC的中点坐标及，可得以PC为直径的圆的方程与圆C的方程相减可得答案． 【详解】由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点， 所以 ， 当最小时，四边形PACB的面积取得最小， 此时PC：，即， 联立得所以， PC的中点为，， 以PC为直径的圆的方程为， 即， 与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程． 故选：B． 30．（多选题）（23-24高二上·浙江宁波·期中）圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线距离求圆的公切线，然后逐一判断即可. 【详解】由题知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 由两圆圆心和半径大小知，两圆公切线的斜率存在， 设公切线方程为l：， 则到l的距离 到l的距离 得， ， 解得或， 当时，， 解得或，即或， 当时，， 解得或，即或， 故选：BCD 31．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 32．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点为 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）根据圆外点作圆的两条切线，切点所在直线即为两圆相交弦所在直线即可求解； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【详解】（1）易知圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）根据题意，点在圆外，则过点向圆有两条切线，切点分别为, 则,所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径, 所以圆的方程为，则圆与圆相交弦即为直线， 联立，得， 所以直线的方程为. （3）当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，则直线方程为， 代入直线得：，故， 因为，所以是的中点，得， 所以，所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设，联立得：， ，解得或， 由韦达定理得： ①，， 所以③，④，且⑤， 将代入直线得：，所以， 是的中点，得，所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理，化简得：， 将①③④⑤代入上式得：，显然成立. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)根据圆的切线切点的几何特征求解. （3）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 直线与圆32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 用两点间的距离公式求函数最值 题型二 光线反射问题(2)-直线关于直线对称 题型三 直线关于直线对称问题 题型四 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型五 直线与圆中的定点定值问题 题型六 切点弦及其方程 题型七 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型八 圆的公切线方程 【经典例题一 用两点间的距离公式求函数最值】 1．（23-24高三上·重庆万州·阶段练习）已知，则 的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 3．（23-24高二上·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 4．（2023·全国·高考真题）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【经典例题二 光线反射问题(2)-直线关于直线对称】 5．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为 ． 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【经典例题三 直线关于直线对称问题】 9．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·上海浦东新·期末）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 11．（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 12．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【经典例题四 直线与圆的位置关系求距离的最值】 13．（22-23高二下·安徽安庆·开学考试）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知圆，直线，下列结论正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个 C．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为 D．已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为 15．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知为圆上的任意一点，当时，的值与无关，下列结论正确的是 ． （1）当时，点的轨迹是一条直线； （2）当时，有的最大值为1； （3）当时，的取值范围． 16．（24-25高二上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以为圆心的圆 与圆交于两点. (1)若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，当线段长最小时，求直线的方程； (2)设是圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【经典例题五 直线与圆中的定点定值问题】 17．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 18．（多选题）（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 19．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 20．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆，. (1)证明：圆过定点； (2)当时，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，. ①当取最小值时，求直线的方程. ②过作直线的垂线，垂足为，求证：存在点使得为定值，并求出定值. 【经典例题六 切点弦及其方程】 21．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）（23-24高二上·贵州·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．已知点，圆上的动点，则的最小值为 C．过点作圆的一条切线，切点为可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 23．（2023·全国·模拟预测）过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点，，则的最大值为 ． 24．（22-23高二上·四川成都·期中）已知圆过点，且与轴相切于坐标原点，过直线上的一动点引圆的两条切线，，切点分别为，． (1)求圆的标准方程； (2)若点为线段的中点，点为坐标原点，求的取值范围． 【经典例题七 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 25．（2023·广东潮州·二模）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．若圆与圆恰有三条公切线，则 C．直线与圆相离 D．圆关于对称 26．（多选题）（22-23高二下·福建泉州·期末）已知圆与轴相切，且在直线上，圆，若圆与圆相切，则圆的半径长可能是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高三·江苏常州·阶段练习）已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1 ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为 ． 28．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知圆：及其上一点． (1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程； (3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围． 【经典例题八 圆的公切线方程】 29．（23-24高二上·安徽·阶段练习）设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）（23-24高二上·浙江宁波·期中）圆，圆，则下列直线中为两圆公切线的是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 32．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $