第一章 直线与圆 章末总结-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第一章　直线与圆 章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 堵点自记： ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 知识系统整合 4 规律方法收藏 规律方法收藏 6 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于 x轴和y轴 截距式 ＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 规律方法收藏 7 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 *点法式 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A，B不全为0) (x0，y0)是直线上的一个定点，(A，B)是直线的一个法向量 任何情况 特殊直线 x＝a(y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 y＝b(x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0 规律方法收藏 8 规律方法收藏 9 直线方程 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 规律方法收藏 10 由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程． 规律方法收藏 11 4．距离问题 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合． 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) d＝ 两条平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，且C1≠C2) d＝ 规律方法收藏 12 5．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r(r>0)．特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆． (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程． 规律方法收藏 13 6．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上． (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内． ②点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内． 注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离dmax＝|PC|＋r；最小距离dmin＝|PC|－r. 规律方法收藏 14 7．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即判断出交点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离． (2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． 规律方法收藏 15 (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意． (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数． 规律方法收藏 16 规律方法收藏 17 学科素养培优 直线方程的几种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论． 直线l过点(2，1)和第一、二、四象限，若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6，求直线l的方程． 一、直线方程几种形式的应用 解 学科素养培优 19 解 学科素养培优 20 考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数处理．考查的题目常有求直线方程、求未知系数、对称问题、过定点问题等，题型则以选择题、填空题居多，属容易题．解答此类问题时始终以平行与垂直对方程系数的要求为切入点． 二、直线的平行与垂直问题 学科素养培优 21 解 学科素养培优 22 解 学科素养培优 23 三、对称问题 学科素养培优 24 学科素养培优 25 解 学科素养培优 26 解 学科素养培优 27 解 学科素养培优 28 解 学科素养培优 29 圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路． 四、圆的几何性质的运用 学科素养培优 30 答案 解析 学科素养培优 31 五、数形结合思想 学科素养培优 32 答案 学科素养培优 33 解析 学科素养培优 34 解 学科素养培优 35 六、分类讨论思想 学科素养培优 36 解 学科素养培优 37 七、函数与方程思想 学科素养培优 38 解析 学科素养培优 39 　　　　　　　　　　　　　 R 1．直线的倾斜角与斜率的对应关系 任何直线都有倾斜角，但并非任何直线都有斜率． 直线的倾斜角α满足{α|0°≤α<180°}．当α＝0°时，斜率k＝0，直线与y轴垂直；当α＝90°时，直线的斜率不存在，直线与x轴垂直；当0°<α<90°时，斜率k＝tanα>0；当90°<α<180°时，k＝－tan(180°－α)<0. 当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)． 直线的几种方程及比较 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) eq \f(x,a)＋eq \f(y,b) 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论． 3．两条直线的平行与垂直 8．圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r1，r2的大小关系来判断)． (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长． (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 解　设直线l在x轴上的截距为a，则它在y轴上的截距为6－a，由于直线在两轴上的截距都不为0， 故直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,6－a)＝1. 因为点(2，1)在该直线上，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,6－a)＝1， 即为a2－7a＋12＝0.所以a＝4或a＝3. 当a＝4时，直线的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1， 即为x＋2y－4＝0，经过第一、二、四象限； 当a＝3时，直线的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,3)＝1， 即为x＋y－3＝0，也经过第一、二、四象限． 综上可知，所求直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0. 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，eq \f(a,b)＝1－a，即b＝eq \f(a,1－a). 故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋eq \f(4（a－1）,a)＝0， l2：(a－1)x＋y＋eq \f(a,1－a)＝0. ∵原点到l1与l2的距离相等，∴4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)))，解得a＝2或a＝eq \f(2,3). 因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.)) 在解析几何中，经常遇到对称问题，主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称． 1．中心对称 (1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a－x1，2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点；特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)． (2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等． 2．轴对称 (1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程． (2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称． ①当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上； ②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离． 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程． 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)， 则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))所以点P′的坐标为(－2，7)． (2)解法一：设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立． 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)＝3×\f(x1＋x2,2)＋3，,\f(y1－y2,x1－x2)×3＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(4,5)x2＋\f(3,5)y2－\f(9,5)，,y1＝\f(3,5)x2＋\f(4,5)y2＋\f(3,5).)) 把(x1，y1)代入y＝x－2， 整理得7x2＋y2＋22＝0， 所以直线l2的方程为7x＋y＋22＝0. 解法二：因为直线l：y＝3x＋3与直线y＝x－2相交，且交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))). 在直线y＝x－2上取点B(0，－2)，则点B关于直线l：y＝3x＋3的对称点为 B′(－3，－1)，所以直线y＝x－2关于l的对称直线经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))及B′(－3， －1)，由两点式得所求直线方程为7x＋y＋22＝0. (3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′， 由于l∥l′，可设l′为y＝3x＋b(b≠3)． 由点到直线的距离公式得 eq \f(|3×3－2＋b|,\r(32＋（－1）2))＝eq \f(|3×3－2＋3|,\r(32＋（－1）2))， 即|b＋7|＝10， 解得b＝－17或b＝3(舍去)， 所以直线l′的方程为y＝3x－17， 即对称直线的方程为3x－y－17＝0. 过点P(－2，0)作圆C：x2＋y2＝1的切线PT，T为切点，则|PT|＝__________． 解析　　∵|CP|2＝|PT|2＋r2，圆心C(0，0)，∴|PT|2＝|CP|2－r2＝(－2－0)2＋(0－0)2－12＝3，∴|PT|＝eq \r(3). eq \r(3) 根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合． 已知矩形ABCD中，A(－4，4)，D(5，7)，其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为一个单位，动点P(x，y)沿矩形一边BC运动，则eq \f(y,x)的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．无法确定 解析　如图，由题意设E(1，y0)(y0>0)，则由|AE|＝|DE|，得eq \r(25＋（y0－4）2)＝eq \r(16＋（y0－7）2)，解得y0＝4.由中点坐标公式得B(－3，1)，C(6，4)，点P(x，y)在BC上运动，∴eq \f(y,x)＝kOP.由图可知kOP≥kOC或kOP≤kOB，∵kOC＝eq \f(2,3)，kOB＝－eq \f(1,3)，∴eq \f(y,x)≥eq \f(2,3)或eq \f(y,x)≤－eq \f(1,3)，点P为直线BC与y轴的交点时，eq \f(y,x)不存在，∴eq \f(y,x)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)). 已知A＝{(x，y)|x－y＋m＝0}，B＝{(x，y)|y＝eq \r(9－x2)}，若A∩B有两个元素，求m的取值范围． 解　集合A是斜率为1，在y轴上的截距为m的一束平行线，集合B是以原点为圆心，半径为3的圆在x轴上方的部分(包括与x轴的交点)．由题意作出图形，如图，当直线x－y＋m＝0过(0，3)时，m＝3. 当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得eq \f(|m|,\r(2))＝3. ∴m＝±3eq \r(2)，由图易知m>0，故m＝3eq \r(2)， ∴3≤m<3eq \r(2). 分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时、用斜率表示直线方程时都要分类讨论． 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程． 解　圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5， ①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0. 由题意可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－k＋2＋4k－3|,\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq \s\up12(2)＝52， 解得k＝－eq \f(4,3). 即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0. 函数与方程思想应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点、圆与圆的交点、与圆有关的最值问题等都要用到函数与方程思想． 当k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0，C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距最短？并判断此时两圆的位置关系． 解　两圆的标准方程分别是C1：(x＋k)2＋y2＝1，C2：x2＋(y＋k＋1)2＝1. 圆心分别是C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，且两圆的半径均为1， 则圆心距|C1C2|＝eq \r(k2＋（k＋1）2)＝eq \r(2k2＋2k＋1) ＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2)). 所以当k＝－eq \f(1,2)时，圆心距有最小值， 且|C1C2|min＝eq \f(\r(2),2). 因为0<|C1C2|<2，所以此时两圆相交． $$