专题2.10 圆锥曲线常考几何模型专训（13大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题2.10 圆锥曲线常考几何模型专训 （13大题型+15道拓展培优题） 题型一 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型二 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型三 轨迹问题--椭圆 题型四 点和椭圆的位置关系 题型五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型六 求双曲线的轨迹方程 题型七 根据抛物线上的点求标准方程 题型八 求抛物线的轨迹方程 题型九 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型十 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型十一 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 题型十二 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型十三 直线与抛物线交点相关问题 【经典例题一 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例1】（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 1．（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．    (1)求的方程； (2)若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线（与椭圆在处的切线垂直的直线）与轴交于点，已知，.求椭圆的方程. 3．（2023高二·全国·竞赛）在直线上任取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆，当点P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程． 【经典例题二 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例2】（2024·四川·模拟预测）已知椭圆，左右顶点分别为，长半轴等于焦距，过点的直线与椭圆交于点，点不与重合． (1)若点与点关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； (2)若直线过椭圆的焦点，且满足，求椭圆的标准方程． 1．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于轴对称. 2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，，焦点在y轴上； (2)焦距为4，且经过点； (3)经过点，的椭圆标准方程. 3．（2023·广东深圳·二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 【经典例题三 轨迹问题--椭圆】 【例3】（24-25高二上·全国·假期作业）已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程. 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程； (2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程． 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知动圆与圆：外切，与圆：内切. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若点为动圆圆心的轨迹上任意一点，过点做轴垂线，垂足为，求中点的轨迹方程. 3．（22-23高二·全国·随堂练习）已知三边AB，BC，CA的长成等差数列，且，点B，C的坐标分别为，，求点A的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 【经典例题四 点和椭圆的位置关系】 【例4】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. (1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 1．（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 2．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 3．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：. 【经典例题五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 【例5】（23-24高二上·江苏镇江·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点. (1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程； (2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围， 2．（2024高三·全国·专题练习）北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线，，设内层椭圆方程为，外层椭圆方程可设为，若与的斜率之积为，求椭圆的离心率． 3．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）已知椭圆的标准方程为，如图直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，角，焦点F满足，求离心率e. 【经典例题六 求双曲线的轨迹方程】 【例6】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 1．（23-24高二·全国·课后作业）我国边防局接到情报，在两个暗礁、所在直线的一侧处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在码头处，线段布满暗礁，已知，，，且．建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线或的路程相等的点的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形． 2．（23-24高二·江苏·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切． 3．（23-24高二·江苏·课后作业）（操作题）在纸上画一个圆，在圆外任取一定点，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）．这样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？      【经典例题七 根据抛物线上的点求标准方程】 【例7】（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 1．（22-23高二·全国·课堂例题）某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm）？ 2．（22-23高二·江苏·假期作业）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，当时，，求抛物线的方程. 3．（22-23高一上·安徽淮南·强基计划）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 【经典例题八 求抛物线的轨迹方程】 【例8】（2024高三·全国·专题练习）已知动圆过定点，且在轴上截得的线段长为，动圆圆心的轨迹方程为，若轨迹的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，求的长. 1．（2024·四川达州·二模）已知点，直线，动点P到点F与到直线l的距离相等． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过C上一点作圆的两条切线分别与轨迹C交于异于M点的A，B两点，求． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为. （Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标； （Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程. 3．（23-24高二·四川宜宾·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C． 求曲线C的方程； 若直线与曲线C和圆从左至右的交点依次为A，B，C，D求的值． 【经典例题九 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 【例9】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)求的取值范围． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 2．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点.若，求直线的方程. 3．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【经典例题十 椭圆中三角形(四边形)的面积】 【例10】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上一点，不过点的直线交于两点，且均位于的左侧，直线的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若，求的面积． 1．（2025高三·全国·专题练习）过椭圆的焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程； (2)动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值. 3．（24-25高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． (1)记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，且的面积是的面积的2倍，求直线的斜率． 【经典例题十一 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数】 【例11】（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的离心率为，且短轴长为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，若AB中点为，求 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆：，直线：与圆：相切且与椭圆交于A，B两点．    (1)若线段AB中点的横坐标为，求m的值； (2)过原点O作的平行线交椭圆于C，D两点，设，求的最小值． 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分． (1)求直线的一般式方程； (2)求. 【经典例题十二 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例12】（2025·湖南邵阳·一模）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 1．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. (1)求的方程； (2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 【经典例题十三 直线与抛物线交点相关问题】 【例13】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知内接于抛物线，顶点的坐标为，直角顶点是动点，求点纵坐标的取值范围． 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知抛物线过点，直线与曲线交于两点，问：是否存在这样的实数，使得是以为斜边的直角三角形？ 2．（2025高二·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，再以，为邻边作平行四边形，求动点的轨迹方程． 3．（24-25高二下·河北·期末）已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AB的斜率不存在时，． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，且直线AB，AD，BD的斜率都存在，若直线AD，BD与C的另一个交点分别为M，N，设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，求的值． 1．（23-24高二上·安徽淮南·阶段练习）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (3)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 2．（23-24高二上·全国·课堂例题）写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出图形： (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)经过点，； 3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知椭圆的焦点分别为，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，若线段的中点为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么． 4．（2025高三下·重庆·竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 5．（23-24高三上·四川绵阳·开学考试）已知是给定椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点．分别交椭圆于另一点M，N． (1)用含a，b的表达式来表达该椭圆的离心率． (2)请结合距离公式证明：． (3)求．（用含a，b的式子表示答案） 6．（23-24高三上·河南商丘·开学考试）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1)求C的方程； (2)直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 7．（2025高三·全国·专题练习）动点在圆上运动，已知定点，则线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ 8．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 9．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程. 10．（23-24高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左焦点为F，已知点，过F的直线交C于B，P两点. (1)求点P的坐标； (2)若点在直线AB上，证明： FR是的角平分线. 11．（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹. (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标. 12．（23-24高一上·海南·开学考试）平面解析几何是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支． 【圆】 我们定义圆为：到定点的距离等于定长的点的集合，圆的标准方程为，其中为圆的半径，为圆心坐标． 【椭圆】 我们定义椭圆为：平面内到两定点的距离之和等于常数（该常数大于）的动点的轨迹，写成表达式就是．两定点称为椭圆的焦点．通常而言，为研究方便，我们会将椭圆的中心与坐标原点重合． 椭圆就像一个被压扁的圆，一端稍长，一端稍短．其中，稍长的轴（）叫作椭圆的长轴；稍短的轴（）叫作椭圆的短轴．椭圆与坐标轴的四个交点根据其方位命名为上/下顶点、左/右顶点． 椭圆的标准方程为，其中分别为长轴长、短轴长的一半．    (1)试推导得到圆的标准方程． (2)现有一椭圆过点，点为该椭圆的左顶点，． ①求的标准方程． ②点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 13．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 14．（24-25高三上·北京丰台·开学考试）已知椭圆. (1)求的离心率和短轴长； (2)设为原点，直线，动点在椭圆上，过点作的垂线交直线于点，点到直线的距离为1，求的值. 15．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆左焦点为，短轴上端点为，为坐标原点，，且长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆左焦点的直线，倾斜角为. （i）当时，直线与椭圆交于、两点，求线段的长； （ii）对任意，直线与椭圆交于、两点，求三角形面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.10 圆锥曲线常考几何模型专训 （13大题型+15道拓展培优题） 题型一 椭圆中焦点三角形的其他问题 题型二 根据a、b、c求椭圆标准方程 题型三 轨迹问题--椭圆 题型四 点和椭圆的位置关系 题型五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型六 求双曲线的轨迹方程 题型七 根据抛物线上的点求标准方程 题型八 求抛物线的轨迹方程 题型九 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型十 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型十一 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 题型十二 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型十三 直线与抛物线交点相关问题 【经典例题一 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例1】（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为上顶点且为与圆：的切点，得出，再根据得出，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）分两种情况讨论，当斜率存在时，设：，由点到直线距离公式求得原点到直线的距离，再根据勾股定理得出，进而得出范围；当斜率不存在时，，即可求解． 【详解】（1）设：（）， 因为为上顶点且为与圆：的切点，所以， 令，因为，所以， 所以，即：． （2）因为，所以， 1°当斜率存在时，设：， 所以到的距离， 则， 所以， 2°当斜率不存在时，，， 综上，的取值范围为． 1．（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心．    (1)求的方程； (2)若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)，此时、. 【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程； （2）运用圆外定点到圆上的点的距离最大值为到圆心的距离加半径可得当三点共线，同时三点共线，最大，结合圆的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，，所以， 于是的方程为； （2）， 当三点共线，同时三点共线，有，、 由，，则此时， 故，， 则，同理可得.    2．（2024高三·全国·专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线（与椭圆在处的切线垂直的直线）与轴交于点，已知，.求椭圆的方程. 【答案】 【分析】根据题中所给的性质，结合角平分线的性质、椭圆的定义进行求解即可. 【详解】由椭圆的定义知，则. 由光学性质可知是的角平分线，所以. 因为，所以，得， 从而， 故椭圆的方程为. 3．（2023高二·全国·竞赛）在直线上任取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆，当点P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程． 【答案】P点坐标为， 【分析】 先求关于直线的对称点，再由两直线相交求出点P的坐标，最后结合两点之间线段最短和椭圆的定义解出椭圆方程. 【详解】 椭圆的焦点，在l同侧，作关于l的对称点，连接，则与l的交点即为所求点P，连接，，设， 则得， 所以的方程为，将其与联立，得 即P点坐标为，此时，， 所以长轴最短时，，，， ∴椭圆的方程为． 【经典例题二 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例2】（2024·四川·模拟预测）已知椭圆，左右顶点分别为，长半轴等于焦距，过点的直线与椭圆交于点，点不与重合． (1)若点与点关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； (2)若直线过椭圆的焦点，且满足，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据题意知长半轴等于焦距可得且，设出坐标后表示出斜率，结合点在椭圆上，计算即可得； (2) 结合(1)问所得，联立方程计算即可得. 【详解】（1）根据题意知长半轴等于焦距可得且，可得． 设，则， 由题可知，， 所以①，由在椭圆上， 得，即 代入①得． （2）由对称性，不妨设直线过焦点， 根据(1)问知，，， 所以直线的斜率为， 根据点斜式可设直线为：， 与椭圆联立方程组得化简得：， ， 解之得 或(因为所以舍弃)， 故代入直线，得． ，解得， 所以椭圆的方程为：． 1．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于轴对称. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形面积公式，利用代入法进行求解即可； （2）根据对称性与直线间斜率的关系，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】（1）因为的面积为，则有，解得， 又因为在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）根据椭圆的对称性，欲证，关于轴对称， 只需证，即证， 设，，直线方程为， 由消去得， 所以， 则 因为 所以，即关于轴对称. 2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，，焦点在y轴上； (2)焦距为4，且经过点； (3)经过点，的椭圆标准方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解. （2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解. （3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解. 【详解】（1）不妨设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以, 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意，所以，分以下两种情形来讨论， 情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 综上所述，椭圆的标准方程为或. （3）由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点， 所以，所以，且长轴端点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 3．（2023·广东深圳·二模）已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)16 【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可. 设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可. 【详解】（1）椭圆的离心率， 则，即， 所以，椭圆方程为. 将点代入方程得， 故所求方程为. （2）点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得. 设，则. . 点到的距离. 令，则则. 因为，所以当时，是所求最大值.    【经典例题三 轨迹问题--椭圆】 【例3】（24-25高二上·全国·假期作业）已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.求直线与直线交点的轨迹方程. 【答案】不含点 【分析】设点，求得，，当时，求得直线与直线的方程，联立消参可求得轨迹方程，当时，得交点，从而可求解. 【详解】依题意，， 设点，由，得，即， 由，得，即， 当时，直线，直线， 联立消去参数得，即， 当时，得交点，满足上述方程， 所以直线与直线交点的轨迹方程:不含点. 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切， (1)求动圆圆心M的轨迹方程； (2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，根据椭圆的定义可得解； （2）设出点，点，根据坐标化可得，再由点在上代入可得解. 【详解】（1） 设动圆的半径为R，圆C的方程可变为， 可得圆心，半径， 由动圆经过点且与圆C内切，则，， 即得，又， 所以圆心是以点为左右焦点的椭圆，其方程为. （2）设点，点，则， 又，得，整理得， 又，代入运算得， 所以点的轨迹方程为. 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知动圆与圆：外切，与圆：内切. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若点为动圆圆心的轨迹上任意一点，过点做轴垂线，垂足为，求中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出点轨迹是椭圆，然后可求得其方程． （2）设，则，将点的坐标代入（1）中椭圆方程可得答案. 【详解】（1）圆：，即，所以圆心，半径 圆：，即，所以圆心，半径 设动圆的圆心,半径为 动圆与圆外切，则. 动圆与圆内切，则 将上面两式相加，可得. 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其椭圆方程为，则 所以动圆圆心的轨迹方程    （2）设，则， 由点在上可得 所以点的轨迹方程    3．（22-23高二·全国·随堂练习）已知三边AB，BC，CA的长成等差数列，且，点B，C的坐标分别为，，求点A的轨迹方程，并指出它是什么曲线． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义结合等差数列即可求解. 【详解】由题知，如图所示：      已知三边AB，BC，CA的长成等差数列，且， 所以 因为点B，C的坐标分别为，， 所以，所以 根据椭圆的定义，点的轨迹就是以为焦点， 到距离之和为4的椭圆， 因为在轴上，故设椭圆为 由已知得： 所以 又，所以点位于上述椭圆的右半部分 且点不能与在同一条直线（轴）上（否则就不能构成三角形） 所以，点的轨迹方程是：. 【经典例题四 点和椭圆的位置关系】 【例4】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知椭圆的短半轴长是，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线上，且C在第一象限. (1)设F是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由. 【答案】(1) (2)直线与直线的交点在椭圆上 【分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案； （2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可解答. 【详解】（1）由题可得，， 因为，所以，解得， 所以，故的标准方程为； （2）直线与直线的交点在椭圆上，理由如下： 由题可得此时，，，， 则直线，即， 直线，即， 联立，得， 所以直线AD与直线BC的交点坐标为， 因为，满足椭圆的方程， 所以直线与直线的交点在椭圆上. 1．（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为：，其长轴长为； (2)在椭圆上，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程和长轴长； （2）求出方程，设出点的坐标，进而写出方程，从而求得的坐标；再结合已知条件，求得方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断. 【详解】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 2．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的长轴端点是和，离心率是. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件可求得，进而可求得椭圆方程； （2）设是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公可得，可求得点到点的距离的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，解得：. 故椭圆的方程为： （2）设是椭圆上的任意一点，所以， 所以，其中. 所以. 故点到点的距离的取值范围是. 3．（23-24高三上·广东东莞·期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，右焦点，以及关系，联立可求解出，从而得椭圆的方程； （2）设点的坐标为，表示出直线的方程，从而得点的坐标，进而表示出和，计算得，再由，代入化简计算，即可得，所以可证明. 【详解】（1）由题知，得， 又因为右焦点为，则， 解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设点的坐标为，则， 所以直线的方程是， 当时，，所以点的坐标为， 所以，， 所以. 因为点在椭圆上，所以，即， 所以 ， 又因为和是锐角， 所以. 【点睛】一般椭圆中的动点问题，需要设出动点坐标，然后根据题意列式计算，再由动点满足椭圆的方程代入化简，即可求出定值. 【经典例题五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 【例5】（23-24高二上·江苏镇江·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 【答案】 【分析】由中垂线的性质可知，再根据几何关系可知，求椭圆的离心率. 【详解】如图，    设直线与轴的交点为，连接， ∵的中垂线过点， ∴，可得， 又∵，且， ∴，即， ∴，， 又椭圆的离心率，得， 故离心率的取值范围是． 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知A，B分别是椭圆C：（）的上、下顶点，M是椭圆C上一动点. (1)若直线，的斜率之积为，且椭圆C的短轴长为，求椭圆C的方程； (2)若P是圆上一动点，且，求椭圆C的离心率的取值范围， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线，的斜率之积，利用短轴长，求出即可得出椭圆的标准方程； （2）求出，利用可得，分类讨论求，建立不等式求解即可. 【详解】（1）易知， 设点，则，即， 直线的斜率之积， 又椭圆C的短轴长为，即，所以， 故椭圆C的方程为 （2）圆可化为， 则圆心为，半径为， 由是圆上一动点，且，可得，如图，    设，则， 所以 ， 当，即时，，即，符合题意， 由，可得，即； 当即时，， 即，化简得，所以， 这与矛盾，不符合题意. 综上，椭圆C的离心率的范围为 2．（2024高三·全国·专题练习）北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线，，设内层椭圆方程为，外层椭圆方程可设为，若与的斜率之积为，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】根据题意将椭圆仿射成圆，由斜率之积可得，再由离心率定义可求得结果. 【详解】定义仿射变换： 则在的作用下内外层椭圆分别对应圆和圆， 点，，，分别对应点，，，,如下图所示： 由题知，是圆的切线． 由已知，由圆的性质易知， 即，得， 从而， 可得离心率． 3．（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）已知椭圆的标准方程为，如图直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，角，焦点F满足，求离心率e. 【答案】 【分析】由，得到，根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，求得且，代入化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得， 因为直线过右焦点且倾斜角为，所以直线的斜率为， 可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，由，可得， 且且， 代入可得，整理得， 即，可得，所以，所以椭圆的离心率为. 【经典例题六 求双曲线的轨迹方程】 【例6】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由化简求解； （2）过点作垂直于直线，垂足为，设，得到，然后由求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 化简得：. （2）如图所示： 过点作垂直于直线，垂足为， 设，则，即， 所以， 显然，当三点共线时，取得最小值， 为. 1．（23-24高二·全国·课后作业）我国边防局接到情报，在两个暗礁、所在直线的一侧处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在码头处，线段布满暗礁，已知，，，且．建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线或的路程相等的点的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形． 【答案】点的轨迹方程为，图见解析 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，分析可知点的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的右支，求出、的值，可得出的值，即可得出双曲线的方程，进而可作出图形. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由余弦定理可得， 由题意可知，则， 所以点的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的右支． 所以，，，则， 所以点的轨迹方程是，如下图所示： 2．（23-24高二·江苏·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，求出、的值，可得出圆心的轨迹方程； （2）分析可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，求出、的值，可得出圆心的轨迹方程. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以，， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. （2）解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以，， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 3．（23-24高二·江苏·课后作业）（操作题）在纸上画一个圆，在圆外任取一定点，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）．这样继续下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？      【答案】双曲线的一支 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，分析可得，计算，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，    由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，所以，， 所以，（为圆的半径），且， 因此，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支. 【经典例题七 根据抛物线上的点求标准方程】 【例7】（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4. (1)求C的方程； (2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程的定义即可由焦半径求解， （2）联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】（1）C上一点到点F的距离为4, 由抛物线定义可得，，抛物线的方程为． （2）设直线，，设,,,， 将方程代入方程整理得，需满足， ， 故，解得， 当时，满足，故符合题意， 故直线方程为 1．（22-23高二·全国·课堂例题）某种汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线的一段，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm．由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1mm）？ 【答案】灯泡应该安装在距顶点约35mm处 【分析】由抛物线的光学性质可知，灯泡应该装在抛物线焦点处，建立如图所示的坐标系结合已知条件待定系数即可求解. 【详解】如图所示：    在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy． 设抛物线的方程为，灯应安装在其焦点F处． 在x轴上取一点C，使． 过C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径， 即，所以点A的坐标为． 将点A的坐标代入方程，解得． 所以抛物线的焦点坐标约为， 所以灯泡应该安装在距顶点约35mm处． 2．（22-23高二·江苏·假期作业）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，当时，，求抛物线的方程. 【答案】 【分析】利用数形结合可知，，即可求点的坐标，再代入抛物线方程，即可求解. 【详解】由题意，当时，，∴ ，， 将点代入抛物线，可得，，    ∴抛物线方程为. 3．（22-23高一上·安徽淮南·强基计划）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决以下问题：    如图，已知抛物线：的图象与轴交于、两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象. ①设为抛物线上任意一点，轴于点N，求的最小值； ②直线l过抛物线D的焦点且与抛物线D交于两点，证明：以为直径的圆与抛物线D的准线相切. 【答案】(1)；. (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）把点代入即可求解. （2）①由抛物线焦点和准线性质，及三点共线即可求最值； ②求出以为直径的圆的圆心，再求出圆心到准线的距离即可证明. 【详解】（1）把代入得: ，解得， 所以抛物线C的解析式为； 在中，令得，或，所以. （2）①根据题意，抛物线解析式为， 所以抛物线的焦点为，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图: 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， 因为， 所以， 因为， 所以点与点重合时的值最小，此时的值最小， 因为，，，，， 所以的最小值为. ②证明：设直线的解析式为， 由，得或， 不妨设 ，， 以为直径的圆，圆心为的中点即，， 抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为， 所以以PQ为直径的圆与抛物线的准线相切.    【经典例题八 求抛物线的轨迹方程】 【例8】（2024高三·全国·专题练习）已知动圆过定点，且在轴上截得的线段长为，动圆圆心的轨迹方程为，若轨迹的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，求的长. 【答案】3 【分析】设圆心，线段的中点为，则，即，用坐标表示可得圆心的轨迹方程，过作垂直于准线于，结合，，即得解 【详解】设圆心，线段的中点为，则 依题意，得： 为动圆圆心的轨迹方程 如图所示，不妨设准线交轴于点，过作垂直于准线于 由抛物线的定义， 由题意，，故，即 由于，故 ，又 故 1．（2024·四川达州·二模）已知点，直线，动点P到点F与到直线l的距离相等． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过C上一点作圆的两条切线分别与轨迹C交于异于M点的A，B两点，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设点，依题意列方程化简即可得结果； （2）求出过点作圆的两条切线方程，再分别代入C的方程解得交点坐标，即可求得两点距离． 【详解】解：（1）设点，根据题意得：， 化简得动点P的轨迹方程为； （2）∵， ∴即圆的一条切线，． 设过M的另一条切线斜率为k，∴切线方程：，设 由方程组得，， ∴，． 又∵直线为，其与圆相切， ∴∴ ∴，∵B满足，∴． ∴， ∴． 【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为. （Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标； （Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标和准线方程, 设点P的坐标为,由,可得的值,代入抛物线的方程,可得点的坐标; （Ⅱ）利用相关点法,设设，，，可得,由点是抛物线上,代入可得点的轨迹方程. 【详解】解:（Ⅰ）设点P的坐标为由已知可得， ， 代入抛物线方程得， 所以点的坐标为或 （Ⅱ）设，，，由已知， 得：， 又因为点是FA的中点得， ，， 点在抛物线上，即，所以点C的轨迹方程 为： 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质及点的轨迹方程,注意相关点法的应用求轨迹方程. 3．（23-24高二·四川宜宾·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离小2，设动点P的轨迹为曲线C． 求曲线C的方程； 若直线与曲线C和圆从左至右的交点依次为A，B，C，D求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）动点到定点的距离比它到直线的距离小2，可转化成：动点P到直线的距离与它到的距离相等，由抛物线的定义及标准方程求解即可． （2）联立直线与抛物线方程可得两交点的纵坐标：y1＝，y2＝4，利用抛物线的定义把转化成即可求解． 【详解】解:（1）由已知动点P到直线的距离与它到的距离相等 的轨迹是以为焦点的抛物线. （2）如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0,1)， 由，得4y2－17y＋4＝0， 设A，D，则＝， ＝1， 解得＝， ＝4， 则 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，考查了韦达定理及转化思想、计算能力，属于中档题． 【经典例题九 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 【例9】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是弦的中点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，分两种情况求解：若直线轴，则点为；若直线与轴不平行，设，则，将与椭圆联立，由韦达定理结合条件求得消去即可得点的轨迹方程； （2）设，分两种情况求解：①当轴时，为椭圆长轴的端点，点在原点处，此时，，；②若直线与轴不平行，根据是的中点得，并由弦长公式求得，，进而得到，再由的范围求其取值范围即可． 【详解】（1）①若直线轴，则点坐标为. ②若直线与轴不平行，设，则， 设， 由消去，得．（*） ∴， . 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得， 即，所以． 由得，， ∴，两式相除，可得，即，代入①，， 整理得． 综上所述，点的轨迹方程为． （2）①当轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处， 所以，，所以，； ②若直线与轴不平行，由方程（*），得， 所以，， 同理 所以． 因为，所以，所以，所以． 综上所述，． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 【答案】(1) (2)①;②. 【分析】（1）根据题意得出关于的方程，解得答案即可得到椭圆方程.（2）①根据两个椭圆的离心率相等设椭圆方程为，化简即可的答案;②根据条件可得且，，设，分别求得，，，，直线的方程为，代入计算结合，可解得，因为位于上，求，为上任一点，化简得，联立有解，求得长轴长取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点，所以， 解得，，所以的方程为. （2） ①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上， 又与的离心率相等，所以可设的方程为， 即的方程为. ②因为，，所以且，， 设， 所以，， 设，所以，， 直线的方程为，即， 所以，代入得， ， 因为，所以， 不妨设，代入的方程可解得， 因为位于上，所以， 为上任一点，所以，化简得， 设，因为为上任一点，即有解， 整理得，， 解得，所以， 所以的长轴长. 2．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点.若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的参数关系，和离心率定义，求出椭圆标准方程. （2）对于直线斜率不为0，和斜率存在，取用不同的直线设法，选用不同的方程联立，根据向量垂直的坐标表示，和韦达定理求出直线斜率，求出方程. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解法一：因为直线的斜率存不为0，所以设直线的方程为， 设，联立方程组， 消去整理可得， 因为，所以，， 又，，且， 故， 于是，化简得，解得， 所以直线的方程为：，即或； 解法二： 当斜率不存在时，直线与椭圆交于, 可得，则，不符合条件，所以直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为， 设，联立方程组， 消去得， 因为， 所以设，则， 又，，且， 故， 于是 化简得，解得， 所以直线的方程为：， 即，或. 3．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【答案】(1)椭圆的方程为，短轴长为 (2) 【分析】（1）由题意可得，，求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，设直线与椭圆的交点为和，利用韦达定理可得，求得的坐标，进而可得，求解即可. 【详解】（1）已知椭圆 的标准方程为：， 因为 是椭圆的一个顶点，所以。又离心率为，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，短轴长为； （2）将直线的方程代入椭圆的方程得， 可得，整理得， 设直线与椭圆的交点为和， 所以， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为)， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为， 因为，即，所以， 因为 和 ，代入得， 化简， 展开分子 ， 所以， 所以 ， 又， 所以，整理得，解得. 【经典例题十 椭圆中三角形(四边形)的面积】 【例10】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上一点，不过点的直线交于两点，且均位于的左侧，直线的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）设直线的方程为，与椭圆联立得，再结合韦达定理及从而可求得，即可求解； （2）不妨设直线的倾斜角分别为，结合题意可求出，则得直线的方程为，直线的方程为，再与椭圆联立并结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得直线的斜率存在，可设直线的方程为，且， ，，联立消得， 则，即， ， 因为， ， 所以，即， 所以， 化简得， 又，所以，即，所以直线的斜率为1． （2）不妨设直线的倾斜角分别为，由得， 因为点均位于点的左侧， 则点在上方，在下方，如图，    结合倾斜角的定义可得， 因为， 所以，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为，直线的方程为，故． 联立消去整理得， 因为是方程的一个解，由韦达定理得，故，即， 所以直线的方程为，所以， 点到直线的距离， 所以． 即的面积为． 1．（2025高三·全国·专题练习）过椭圆的焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 【答案】 【分析】将看作与组合而成，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理表示的面积并利用基本不等式求得最终结果. 【详解】椭圆焦点，由于椭圆的对称性，不妨设过焦点，当斜率不存在时，不存在． 设直线方程为，，，联立， 消去，得，则，， 将看作与组合而成，是公共边，它们在公共边上的高长为． ，其中． ． 当且仅当即时，取等号， 即当直线为时，得到的面积最大值为． 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程； (2)动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义列方程并化简即可得解； （2）不妨设，，由题意得，且直线的方程为，当设与直线平行的直线的方程为经过点且与椭圆相切，此时的面积取得最大值. 【详解】（1）由题意得， 化简得. 所以动点的轨迹方程为； （2）不妨设，， 所以，且直线的方程为. 设与直线平行的直线的方程为， 由化简得. 令得. 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为； 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为. 因为，所以的面积的最大值为 . 3．（24-25高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，，动点与两点连线斜率乘积为． (1)记动点的轨迹为曲线．求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，且的面积是的面积的2倍，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据列方程化简可得结果. （2）设，，根据三角形面积关系可得，结合韦达定理计算可得结果. 【详解】（1）设，则， 由得，， 所以曲线的方程为. （2） 由题意得直线的斜率不为，设，， 由得，， 所以， 因为的面积是的面积的2倍， 所以， 因为，所以， 由题意得，符号相反，故， 所以， 所以，解得， 所以直线的斜率为或. 【经典例题十一 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数】 【例11】（24-25高二上·云南·期中）已知椭圆的离心率为，且短轴长为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率和的关系求解即可. （2）设点，代入椭圆方程，利用点差法求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 又∵， ∴ ， ∴的方程为：. （2） 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式作差得，， ∴， ∴, ∴直线的方程为：，整理得. 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，若AB中点为，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质列方程，然后解方程得到，，即可得到椭圆方程； （2）根据直线的斜率得到，然后利用点差法求的斜率即可. 【详解】（1）由题意得，即①， 因为椭圆过点，所以②， 由①②得，， 所以椭圆得方程为. （2）设，，则，， 因为直线的方程为，所以， 由题意得， 两式相减得， 整理得，则，， 所以. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆：，直线：与圆：相切且与椭圆交于A，B两点．    (1)若线段AB中点的横坐标为，求m的值； (2)过原点O作的平行线交椭圆于C，D两点，设，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由椭圆的中点弦问题，求出直线AB的斜率，将中点坐标代入求解即可； （2）令，进行仿射变换，最小时，AB与CD距离最大，进而利用比值关系和平面几何知识进行求解即可. 【详解】（1）设AB中点坐标为，代入圆方程可得； 根据拉伸定理可知， 将代入可知，故； （2）如图：    ，令， 拉伸后可知，最小时，AB与CD距离最大， 令拉伸后的参数方程为， 当上的点P离原点距离最大时， 即， 当时，， 此时过P作的切线，，． 3．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分． (1)求直线的一般式方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交． （2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得． 【详解】（1）因为弦被点平分，所以 设交点坐标， 则， 两式相减得：）， 所以直线的斜率， 故直线的一般式方程为 联立椭圆与直线方程得，直线与双曲线相交，满足题意． 所以直线方程为， （2）由（1）知：， 由（1）得， ， 所以． 【经典例题十二 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例12】（2025·湖南邵阳·一模）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 【答案】(1) (2)直线EG过定点. (3). 【分析】（1）设出方程带入点，得到方程. （2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点. （3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 将点代入得，即，双曲线的方程为 （2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，. 由消去整理得， 依题意得：，且，即且， ，. 易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为. 令，得 . 直线EG过定点. 当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点， 综上，直线EG过定点. （3）考虑以为圆心的“子圆”， 由的方程与的方程消去，得关于的二次方程. 依题意，该方程的判别式，. 对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上， 设，，的半径分别为，， 不妨设，的圆心分别为，. 则，. 两式相减得：，而，. ，整理得：. ，点. ，故. 1．（24-25高二上·山西太原·期末）已知点，，直线PM与PN相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)若直线l：交曲线C于A，B两点，点（不在直线l上），是否存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（） (2)存在实数，理由见解析 【分析】（1）设，运用直线的斜率公式，结合题意化简可得曲线C的方程； （2）假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，，联立直线方程与双曲线方程、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合斜率公式与求解即可. 【详解】（1）设，由题意得直线PM斜率为（）， 直线PN斜率为（）， ∴， 化简，得曲线C的标准方程（）. （2）假设存在实数k，使得直线QA与QB的斜率之和为0.设，， 由得， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，直线l的方程为，即l过点Q，不符合题意； 当时，则，，当时，符合题意； 综上所述，存在实数.    【点睛】方法点睛：直线与双曲线的综合应用的解题通法为：联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可. 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1). (2)①或；②或. 【分析】（1）设，由点在双曲线上及直线，的斜率之积为，结合焦点到渐近线的距离为1，即可求解； （2）（i）联立直线、双曲线方程，结合韦达定理即可求解；（ii）结合韦达定理即可求解. 【详解】（1） 设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即， 根据题意，，双曲线的方程为. 设点，则，于是， 由，得，， 根据题意，， 解得， 所以双曲线C的方程为. （2）（i）设点，，联立方程组得， ， 易知恒成立， 由根与系数的关系，，. 因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足 ，解得或. （ii）由图易知，， 则 ， 所以，解得或， 由（i）知，得，直线的方程为， 即或. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. (1)求的方程； (2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助渐近线斜率结合、、间的关系计算即可得解； （2）设出直线方程与双曲线方程联立后，可得与有关一元二次方程，即可得与交点横坐标有关韦达定理，结合中垂线的性质计算可得所设直线方程的斜率与纵截距的具体关系，再利用、都在右支上，结合根的判别式计算即可得解. 【详解】（1）由题得，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由题意可知直线AB斜率存在且， 设，设的中点为， 由，消去并整理得，， 则，即， ，， ， 于是点为，， 由中垂线性质知，所以，解得：， 由，在双曲线的右支上可得： ，， 则，，则， 又，即，整理得， 解得或，故，即. 综上可得，． 【经典例题十三 直线与抛物线交点相关问题】 【例13】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知内接于抛物线，顶点的坐标为，直角顶点是动点，求点纵坐标的取值范围． 【答案】 【分析】设，由直径圆得化简得，转化为．令，结合导数判断函数的单调性，进而解得函数的值域； 【详解】设，则由直径圆得． 即， 故， ， 因为， 整理得，故， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以， 因此. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知抛物线过点，直线与曲线交于两点，问：是否存在这样的实数，使得是以为斜边的直角三角形？ 【答案】存在 【分析】假设存在实数满足题意，则由结合韦达定理可求出. 【详解】假设存在实数，使得是以为斜边的直角三角形， 由题意得，故，所以． 设，则， 联立方程消去得，整理得． 所以 因为，所以 即， 所以（*）， 又， ， 代入（*），可得， 即，解得或， 当时，直线与抛物线相交于，显然不合题意； 当时，直线与抛物线相交于，符合题意， 即存在，使得是以为斜边的直角三角形． 2．（2025高二·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，再以，为邻边作平行四边形，求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设直线，，，联立抛物线应用韦达定理得且，法一：设得，即可得轨迹方程；法二：设得交点的坐标为，设，并应用点差法得，结合，求轨迹，注意范围. 【详解】设直线，代入抛物线方程，得， 设，，则，即， 所以， 法一：设，因为，的中点坐标相同，且， 则，即，消去得， 由于，则，故动点的轨迹方程为；    法二：设，易知，则平行四边形对角线的交点为， 而，两式相减得，则， 为直线的斜率，且在直线上得，，代入上式得， 又因为点在抛物线的内部，可得， 所以，故动点的轨迹方程为. 3．（24-25高二下·河北·期末）已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，当直线AB的斜率不存在时，． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点，且直线AB，AD，BD的斜率都存在，若直线AD，BD与C的另一个交点分别为M，N，设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设直线，，与抛物线方程联立求出，即可得解； （2）设，直线，求出，，，，得，即得解. 【详解】（1）易知焦点，当直线AB的斜率不存在时，直线，设， 由可得，所以， 所以，所以，所以C的方程为； （2）设， 直线，由，可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以，所以． 1．（23-24高二上·安徽淮南·阶段练习）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (3)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用方程表示椭圆，列出限制条件，可得实数的取值范围. 【详解】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. （2）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. （3）因为表示椭圆，所以， 解得且，所以. 2．（23-24高二上·全国·课堂例题）写出适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出图形： (1)焦点在轴上，焦距为2，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4； (2)经过点，； 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 【分析】（1）根据题意得到焦点在轴上，，，，即可得到标准方程. （2）根据题意得到焦点在轴上，，，即可得到标准方程. 【详解】（1）依题意，椭圆焦点在轴上，，，即，，， 则标准方程为：. 如图所示：    （2）依题意，椭圆焦点在轴上，，，标准方程为：.    3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知椭圆的焦点分别为，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，若线段的中点为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么． 【答案】，点的轨迹是焦点在轴上，，的椭圆（不含轴上两点）． 【分析】如下图，作关于直线的对称点，由角平分线的性质得点在直线上，结合已知条件推出，得出，结合椭圆性质得出，连接，则是的中位线，得出，设，则，根据两点间距离公式得出，从而构建出的关系得出轨迹的方程. 【详解】作关于直线的对称点，如下图所示，由角平分线的性质得点在直线上， 则有，又,, , ，. 椭圆中 ． 如图，为中点，为中点，连接，则是的中位线， ． 点和点都是动点，且点依赖于点进行变化，设，则， 根据两点间距离公式：， ，则点的轨迹方程是， 若点M位于轴时，点P在轴上无法构成三角形，不符合题意，故， 点的轨迹方程化为标准方程为：， 即点的轨迹是焦点在轴上，，的椭圆（不含轴上两点）． 4．（2025高三下·重庆·竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【答案】 【分析】需要排除x轴的情况，假设，坐标并根据，坐标表示出，坐标，写出直线和直线方程，由、在椭圆上可得，设出中点，结合相交弦定理和平行四边形性质或者过、、、四点的圆的方程得到，联立直线的方程和椭圆方程并根据韦达定理得到，在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程即可解得实数的值. 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，、为椭圆长轴两端点， 故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径， 而、又在椭圆上，显然矛盾，故轴的情况不存在，即直线的斜率存在. 设，，则，. 设（其中），并设，. 由、在椭圆上可得，从而. 法一： 设中点为，由相交弦定理和平行四边形性质有和，，故,即， 于是可得① 及②， 由、、在椭圆上可得，，③， 于是有④， 结合①③④可得， 代入②可得，结合可得， 联立得，由韦达定理知， 进而， 注意在椭圆上，于是有，即， 即，解得. 法二： 由于、、、四点均满足和， 故过、、、四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得. （下同法一） 5．（23-24高三上·四川绵阳·开学考试）已知是给定椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点．分别交椭圆于另一点M，N． (1)用含a，b的表达式来表达该椭圆的离心率． (2)请结合距离公式证明：． (3)求．（用含a，b的式子表示答案） 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）由离心率公式可直接得答案； （2）设交点坐标和点坐标，由点到点的距离列出，结合椭圆方程化简代数式即可得证； （3）设，，，利用在椭圆上可得且，故可求的值. 【详解】（1）离心率，∵， ∴ （2）设，，， 则，即 则 又∵且， ∴. （3）设，，， 故，故 所以，整理得到， 故即， 同理，故， 故， 故即. 而，故    6．（23-24高三上·河南商丘·开学考试）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1)求C的方程； (2)直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值，理由见解析. 【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可求解； （2）（i）根据面积关系结合面积公式可得平分，即可证得； （ii）联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因， 设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 7．（2025高三·全国·专题练习）动点在圆上运动，已知定点，则线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】讨论，结合双曲线、椭圆及圆的性质求对应轨迹即可. 【详解】当时，如下图，垂直平分， 所以，则， 所以． 所以点的轨迹是以为焦点，实轴的双曲线； 当时，如下图，垂直平分， 所以，则， 所以是以为焦点，长半轴的椭圆； 当时，的垂直平分线必过圆心，此时； 当时，点的轨迹为圆. 8．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）代入可知曲线为双曲线，根据双曲线标准方程即可求离心率； （2）（ⅰ）由，结合即可求，然后建立方程组求得点的坐标； （ⅱ）先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时可得直线过定点，再求得弦长，建立函数求最值可得斜率不存在时取得最小值. 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得，即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 9．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件得出关于，再由以及可得出、的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得线段的中垂线方程，进而可求得点的坐标，由为等边三角形可得出，可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可知离心率，即可得， 且，又，解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）如下图所示： 由题意可知，结合图形可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为， 因为点不在轴上，则，直线的方程为， 设，联立可得， 显然是方程的一个根， 由韦达定理可得，则， 所以，即， 可得的中点为， 所以直线的垂直平分线方程为， 令，解得，即， 若为等边三角形，则， 即， 整理得，解得或（舍），所以， 所以，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）小问的关键在于设出直线的方程求出后，进一步求出点、的坐标，结合得出关于的方程求解. 10．（23-24高三下·全国·开学考试）已知椭圆的左焦点为F，已知点，过F的直线交C于B，P两点. (1)求点P的坐标； (2)若点在直线AB上，证明： FR是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆方程求交点坐标； （2）根据题意求得，求点到直线、的距离，结合角平分线的性质分析证明. 【详解】（1）由直线可知，即，可得， 所以椭圆， 联立方程，消去y可得，解得或， 可得或，所以点P的坐标. （2）由（1）可知：，则直线，即， 将点代入可得，解得， 即， 则点到直线（即x轴）的距离为， 且点到直线的距离为， 即点到直线、的距离相等，    结合图形可知：FR是的角平分线. 11．（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹. (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程. （2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系关系，求得两点的坐标，进而求得线段中点的坐标. 【详解】（1）由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线的方程， 则，，，，，曲线的方程； （2）方法一：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则， ， 所以线段中点的坐标为. 方法二：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 联立，整理得， ， 设，则，， 直线交直线于，则， 所以直线的方程为，， 令，解得，则，同理可得， ， 所以线段中点的坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．（23-24高一上·海南·开学考试）平面解析几何是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支． 【圆】 我们定义圆为：到定点的距离等于定长的点的集合，圆的标准方程为，其中为圆的半径，为圆心坐标． 【椭圆】 我们定义椭圆为：平面内到两定点的距离之和等于常数（该常数大于）的动点的轨迹，写成表达式就是．两定点称为椭圆的焦点．通常而言，为研究方便，我们会将椭圆的中心与坐标原点重合． 椭圆就像一个被压扁的圆，一端稍长，一端稍短．其中，稍长的轴（）叫作椭圆的长轴；稍短的轴（）叫作椭圆的短轴．椭圆与坐标轴的四个交点根据其方位命名为上/下顶点、左/右顶点． 椭圆的标准方程为，其中分别为长轴长、短轴长的一半．    (1)试推导得到圆的标准方程． (2)现有一椭圆过点，点为该椭圆的左顶点，． ①求的标准方程． ②点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)①②18 【分析】（1）由定义列出等式化简即可求解； （2）①由方程求得，再由点在椭圆上求得即可；②由过点的直线与椭圆相切时，取距离较远的切点为，此时的面积最大，即可求解． 【详解】（1）设一般圆的参数：圆心坐标为（a，b），半径为．取平面内点． 由圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合，即圆上一点到圆心的距离相等． 由两点间距离公式：， 平方后得． （2）①由题意可知直线的方程为， 当时，可解得点坐标． 可知．得到，再代入点坐标， 可得：，解得， 所以标准方程为． ②设与直线平行的直线束方程为， 当直线与椭圆相切时，取距离较远的切点为，此时的面积最大．    要找交点，联立直线和椭圆方程：，将用代换， 得到关于的一元二次方程， 化简后得到． 由相切可知，直线与椭圆有且仅有一个交点，即． 解得，． 即距离比较远的直线方程为． 由两点间的距离公式可知，． 三角形的高即为两平行线间的距离． 所以的面积的最大值为. 13．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 14．（24-25高三上·北京丰台·开学考试）已知椭圆. (1)求的离心率和短轴长； (2)设为原点，直线，动点在椭圆上，过点作的垂线交直线于点，点到直线的距离为1，求的值. 【答案】(1)，短轴长 (2) 【分析】（1）根据椭圆的方程求出，，，即可求解离心率和短轴长； （2）法1：设点，，由在椭圆上及得，利用距离公式求得，，，根据等面积法求解并化简得，结合即可求解.法2：设点，，由点在椭圆上得，由向量垂直的坐标运算得，若直线斜率不存在，求得；若直线斜率存在，设直线方程为：，利用点到直线的距离公式并化简得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，，所以， 故离心率，短轴长； （2）法1：设点，，因为点在椭圆上，所以； 因为，所以，得， ，， ， 因为点到直线的距离为1， 所以，即， 整理得， 因为，所以， 结合，得到，. 法2：设点，，因为点在椭圆上，所以； 因为，所以，可得（*）； 若直线斜率不存在，即，此时，代入（*）解得； 若直线斜率存在，即， 设直线方程为：， 即， 点到直线的距离为：， 整理得， 展开得， 由（*）得，代入上式，化简得：， 将代入化简得， 又，所以，则有， 两边同乘化简得：， 又且，所以，所以. 15．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆左焦点为，短轴上端点为，为坐标原点，，且长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆左焦点的直线，倾斜角为. （i）当时，直线与椭圆交于、两点，求线段的长； （ii）对任意，直线与椭圆交于、两点，求三角形面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得结论； （2）由（1）可得的坐标，（i）求直线的方程，联立方程组化简可得，设，，，解方程求，结合弦长公式求结论；（ii）说明，设直线的方程为，联立方程组，设，，利用设而不求法表示的面积，结合导数方法求其最大. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为为椭圆的左焦点，短轴的上端点 所以的坐标为，的坐标为，，， 故，又为直角三角形，为直角， 所以， 因为，椭圆的长轴长为4， 所以，，故， 所以椭圆的标准方程为， （2）由（1），椭圆的标准方程为，， 故， （i）若直线的倾斜角，则直线的方程为，即， 联立，消元可得， 化简可得， 设，，， 则，， 所以， 所以线段的长为； （ii）若，直线直线与椭圆交于点，， 点，和点三点共线，无法构成三角形，故舍去， 若，可设直线的方程为， 联立，消元可得， 所以， 方程的判别式， 设，，则，， 因为，故， 又， 所以， 所以， 令，则，， 设，， 则，所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，取最大值，最大值为 所以当，即时，面积取最大值，最大值为， 学科网（北京）股份有限公司 $