精品解析：广西壮族自治区桂林市第十八中学2021-2022学年 八年级下学期数学期中测试题

2022年春八下数学期中测试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人进行立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，其中成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样 5. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. 2 C. D. 6. 如图，点E，点F在上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若分式的值为0，则应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 或 11. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F．若是等边三角形，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. 如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 14. 分解因式：_____． 15. 如图，正方体的棱长为，点B为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是__________． 16. 如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为______． 三、解答题 17. （1）计算： （2）化简： 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，点、的对应点分别是点、； （2）在（1）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是___________，___________． 19. 2024年7月份奥运会在巴黎如期举行，促进了全民健身活动，为激发同学们的运动热情，提高身体素质，某学校不仅坚持每天锻炼一小时，还在七、八年级举行了“奥运会知识竞赛”活动，现从七、八年级分别随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用表示，共分成四组：；八年级50名学生成绩数据中，落在组中的成绩分别是：91，91，91，91，91，92，92，92，93，93，94，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 91 92 95 八年级 91 96 八年级抽取的学生竞赛成绩统计图 （1）直接写出上述图表中m，n的值：__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八年级共1800人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀（）的八年级学生有多少人？ 20. 某超市在春节购进春联和灯笼这两种商品．已知每个灯笼的进价比每幅春联的进价多6元，超市第一次用240元购进的灯笼数量和用180元购进的春联数量相同． （1）求每个灯笼的进价和每幅春联的进价各是多少元？ （2）由于灯笼和春联畅销，超市决定再次用不超过4000元的资金购进灯笼和春联共200件，请问最多可购买多少个灯笼？ 21. 如图，在中，，平分并交于点D. （1）实践与操作：作直线，垂足为（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积. 22. 同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． （1）在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； （2）探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） （3）拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 23. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 （1）如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______________． （2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是________． （3）若是的“边垂角”，且． ①如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． ②如图3，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年春八下数学期中测试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数开方开的尽，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里， 故选：B． 4. 甲、乙、丙三人进行立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，其中成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样 【答案】A 【解析】 【分析】查了根据方差判断稳定性，根据方差越小，成绩越稳定即可求解，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴成绩最稳定的是甲， 故选：A． 5. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依次对每个选项根据幂的运算、单项式乘法、同类项概念等知识进行计算判断．本题主要考查了幂的乘方、单项式乘法、同类项以及负整数指数幂的运算，熟练掌握这些运算的法则是解题的关键． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项错误． 与不是同类项，不能合并，故C项错误． ，故D项正确． 故选：D． 6. 如图，点E，点F在上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， 当时，利用可得，故A不符合题意； 当时，利用可得，故B不符合题意； 当时，利用可得，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D符合题意； 故选：D． 7. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 8. 若分式的值为0，则应满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题要求找出使分式值为0的条件，需要满足分子为0且分母不为0，由此进行分析．本题主要考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时分子为0且分母不为0这一性质是解题的关键． 【详解】解：要使分式的值为， 则分子， 解得． 同时分母， ． 综上，． 故选：A． 9. 如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系． 根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ， ∴点表示的数为：， 故选：A． 10. 已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 11. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F．若是等边三角形，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质、角的直角三角形的性质等知识． 根据垂直平分线的性质得到，，再利用等边三角形的性质得到，，再利用三角形外角的性质得到，利用角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，F． ∴，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴. ∴ 故选：B 12. 如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数． 【详解】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB， ∴∠BA1C＝＝70°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°， 同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 14. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 15. 如图，正方体的棱长为，点B为一条棱的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径的应用；将正方体表面展开，最短路径为线段，由勾股定理求得最短路径． 【详解】解：将正方体表面展开，如图， 则，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上截取，连接，推出的最小值为的长，以及是等边三角形，得到，再求出的长即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵是等边三角形，， ∴所在的直线是的对称轴，， ∴点M，点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：8． 三、解答题 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算和分式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法、分式的通分、因式分解以及约分规则是解题的关键． （1）本题可先将各个根式化为最简根式，再去括号进行加减运算． （2）本题先对括号内式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后对分子分母进行因式分解并约分． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，点、的对应点分别是点、； （2）在（1）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是___________，___________． 【答案】（1）见解析 （2）；． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得．由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． 本题考查作图—轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由轴对称的性质可得，AC⊥y轴，BD⊥y轴， ∴． 由勾股定理得，，， ， ， ． 故答案为：；． 19. 2024年7月份奥运会在巴黎如期举行，促进了全民健身活动，为激发同学们的运动热情，提高身体素质，某学校不仅坚持每天锻炼一小时，还在七、八年级举行了“奥运会知识竞赛”活动，现从七、八年级分别随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用表示，共分成四组：；八年级50名学生成绩数据中，落在组中的成绩分别是：91，91，91，91，91，92，92，92，93，93，94，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 91 92 95 八年级 91 96 八年级抽取的学生竞赛成绩统计图 （1）直接写出上述图表中m，n的值：__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八年级共1800人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀（）的八年级学生有多少人？ 【答案】（1）40；93.5 （2）八年级成绩较好，理由见解析 （3）1260人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数和众数，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．样本估计总体是统计中常用的方法． （1）先求得八年级C组所占百分比，再求得D组所占百分比，即可求出m的值；根据中位数的定义可求得n的值； （2）根据八年级的中位数和众数都高于七年级的中位数和众数即可得到结论； （3）样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：八年级C组占比为， ∴八年级D组占比：， ∴． 八年级50名学生成绩数据中，A、B组人数为， 中位数是第25、26个数据（按照成绩从低到高排列），落在C组， ∴中位数； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：八年级成绩较好，理由如下 从中位数看，八年级的中位数高于七年级的中位数；从众数看，八年级的众数高于七年级的众数． ∴八年级成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计参加此次竞赛成绩优秀（）的八年级学生人数是1260人 20. 某超市在春节购进春联和灯笼这两种商品．已知每个灯笼的进价比每幅春联的进价多6元，超市第一次用240元购进的灯笼数量和用180元购进的春联数量相同． （1）求每个灯笼的进价和每幅春联的进价各是多少元？ （2）由于灯笼和春联畅销，超市决定再次用不超过4000元的资金购进灯笼和春联共200件，请问最多可购买多少个灯笼？ 【答案】（1）每个灯笼的进价为24元，每幅春联的进价为18元． （2）最多可以购买66个灯笼． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，熟练掌握列方程和不等式解实际问题是解题的关键． （1）设春联的进价为元，则灯笼的进价为元． 根据题意，用240元购进的灯笼数量与用180元购进的春联数量相同建立方程来求解即可． （2）设购买灯笼的数量为，则购买春联的数量为．根据预算限制，建立不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每幅春联的进价为元，则每个灯笼的进价为元．根据题意得 ， 经检验是原分式方程的解， 所以每个灯笼的进价为（元）， 答：每个灯笼的进价为24元，每幅春联的进价为18元． 【小问2详解】 解：设购买灯笼的数量为，则购买春联的数量为．根据预算不超过4000元得 ， 因为必须是整数， 所以最多可以购买66个灯笼． 答：最多可以购买66个灯笼． 21. 如图，在中，，平分并交于点D. （1）实践与操作：作直线，垂足为（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积. 【答案】（1） 如图所示，即为所求. （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的作法； （1）根据题意过点作的垂线，垂足为； （2）由角平分线的性质可得，再结合三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分，，， ∴， ∴的面积为． 22. 同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． （1）在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； （2）探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） （3）拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3）76 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可， 【小问1详解】 解：由勾股定理得：， 小正方形的边长为：， 故答案为：3； 【小问2详解】 （答案不唯一） 证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，以为边的正方形面积为61, , 由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5， ， ， ， 这个风车的外围周长是： 故答案为：76 23. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 （1）如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______________． （2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是________． （3）若是的“边垂角”，且． ①如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． ②如图3，若，求四边形的面积． 【答案】（1）∠DFE （2）∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180° （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可求解； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①如图2，延长BA，CD交于点G，先证明△ABE≌△ACG，得AG=AE，BE=CG．再证△AGF≌△AEF，得GF=EF．由点C关于直线BE对称点为点F得EF=EC则GF=EC．即可得出结论；②如图3，连接AD，过A作AE⊥AD与DB延长交于点E，根据“边垂角”的定义DE得∠ACD+∠ABD=180°．可得∠ABE=∠ACD，证明△ABE≌△ACD（ASA）．根据全等三角形的性质得AD=AE，∠E=45°，BE=CD，则，过点A作AM⊥BD于M，根据等腰直角三角形的性质得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：∠DAE的“边垂角”为∠DFE． 故答案为：∠DFE； 【小问2详解】 解：若∠AQB是∠APB的“边垂角”，分两种情况： 如图： ∵∠AQB是∠APB的“边垂角”， ∴AQ⊥PA，BQ⊥PB， ∴∠AQB+∠1=90°，∠APB+∠2=90°， ∵∠1=2， ∴∠AQB=∠APB； 如图： ∵∠AQB是∠APB的“边垂角”， ∴AQ⊥PA，BQ⊥PB， ∴∠PAQ=90°，∠PBQ=90°， ∵∠PAQ+∠AQB+∠APB+∠PBQ=360°， ∴∠AQB+∠APB=180°， 综上，∠AQB与∠APB的数量关系是∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 故答案为：∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 【小问3详解】 ①证明：延长BA，CD交于点G， ∵∠ACD是∠ABD的“边垂角”， ∴∠ABE+∠AEB=90°，∠ACD+∠DEC=90°． ∵∠AEB=∠DEC， ∴∠ABE=∠ACF． ∴∠BAE=∠CAG=90°． ∵AB=AC， ∴△ABE≌△ACG（ASA）， ∴AG=AE，BE=CG． ∵∠FAC=45°． ∴∠GAF=90°-∠FAC=45°， ∴∠GAF=∠FAE=45°． ∴AF=AF． ∴△AGF≌△AEF（SAS）， ∴GF=EF． ∵点C关于直线BE对称点为点F， ∴EF=EC． ∴BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE ∴BE=CF+CE； ②如图，连接AD，过A作AE⊥AD与DB延长交于点E， ∵∠ACD是∠ABD的“边垂角”， ∴∠ACD+∠ABD=180°． ∵∠ABE+∠ABD=180°， ∴∠ABE=∠ACD， ∵∠DAC+∠BAD=∠BAD+∠EAB=90°， ∴∠BAE=∠CAD． ∵AB=AC， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． ∴AD=AE，∠E=45°，BE=CD， ∴， 过点A作AM⊥BD于点M， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查新定义、四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解“边垂角”的定义，熟练运用全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $