4.3一次函数的图象 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 第3课 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象与性质 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.通过动手操作归纳画函数图象的一般步骤，会画正比例函数的图象. 2.能根据不同的函数图象总结出正比例函数图象的一般性质，理解系数的几何意义. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. 问题：函数的图象是怎样画出来的?图象具有怎样的性质？ 4 问题构建 画正比例函数的图象 问题1：为了画出函数的图象,首先需要选取一些自变量的值,并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示.那么,列表时选取自变量的哪些值呢？观察这个函数表达式, 可以取0吗？可以取正数吗？可以取负数吗？ 列表时自变量可以取任意实数,比如为了方便计算和画图,通常会取一些简单的值,像=−2,−1,0,1,2 等.从函数表达式=2来看： 可以取0,当=0时, =2×0=0 . 可以取正数,当=1时, =2×1=2 ; =2时, =2×2=4 等 可以取负数,当=−1时, =2×(−1)=−2 ; =−2时,=2×(−2)=−4 等 填写下表中缺少的数据： -2 -1 0 1 2 -4 0 -2 2 4 问题构建 问题2:以你所列表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. (-2,-4) (-1,-2) (0,0) (1,2) (2,4) 问题3:这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？ 这些点在一条直线上,用直尺将这些描出的点依次连接起来,就可以画出这条直线 . 问题构建 问题4:其他满足的点(, )也在上面画出的直线上吗？ 对于正比例函数,它的图象是一条直线, 所有满足的点(, )都在这条直线上. 问题5:画正比例函数的图象的一般步骤是什么？ 列表、描点、连线 追问：观察图象的特征发现是一条直线，根据直线的特点，你认为还可以怎样画图象？ 两点确定一条直线，找准两个点也可以 问题构建 画出正比例函数的图象 列表 -2 -1 0 1 2 6 0 3 -3 -6 描点、连线 问题6:正比例函数和的图象有什么共同特点？一般地,正比例函数𝑦=k𝑥的图象有何特点？与同伴进行交流. 正比例函数𝑦=k𝑥的图象是一条经过原点(0,0)的直线.因此,画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了 协作破冰 问题7:在同一平面直角坐标系中画出正比例函数的图象. 函数 K的值 增减性 图象上点的变化趋势 1 y的值随x的值的增大而增大 从左向右上升 3 y的值随x的值的增大而增大 从左向右上升 y的值随x的值的增大而增大 从左向右下降 -4 y的值随x的值的增大而增大 从左向右下降 教师示范 在正比例函数中， 当>0时， 的值随着值的增大而增大,图象经过第一、第三象限， 当<0时， 的值随着值的增大而减小,图象经过第二、第四象限 正比例函数图象的性质 教师示范 问题8:正比例函数和中,随着值的增大, 的值都增加了,其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？ 在正比例函数和中, 增加得更快. 道理：对于正比例函数=k（k是常数，k≠0）,k的绝对值表示函数值随自变量变化的 “快慢” 程度,k的绝对值越大, 随变化得就越快.在=中,k=1；在=3中,k=3,∣3∣>∣1∣,所以中随着值的增大增加得更快. 1 2 3 4 增量 1 2 3 4 每次加1 3 6 9 12 每次加3 当k＞0时，k越大，随着的值增大， 的值增加的更快. 教师示范 问题9:类似地,正比例函数和中,随着x值的增大,y的值都减小了,其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？与同伴进行交流. 在正比例函数和中， 减小得更快。 判断依据：对于正比例函数=k（k是常数，k≠0），当k<0时，∣k∣越大，函数值随自变量增大而减小的速度就越快在中，k= ，∣k∣= ​；在y=−4x中，k=−4，∣k∣=4.因为4> ​，所以y=−4x中随着值的增大减小得更快. -4 -2 0 2 增量 2 1 0 -1 每次减1 16 8 0 -8 每次减8 当k＜0时， ∣k∣越大，随着的值增大， 的值减少的更快. 教师示范 观看视频，可以明显看出，k值变化对图象位置的影响，也可以得出所有正比例函数都经过点(0,0)这一重要特征. 巩固拓展 例：已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1________y2 (填“＞”“＜”或“＝”). 方法一 ：代数对比 把点A、点B的坐标分别代入 y＝3x， 当x= -1时， y1=3×（-1）= -3 ； 当x= -2时， y2=3×（-2）= -6 ； 因为-3 ＞-6，所以y1 ＞y2 . 巩固拓展 例：已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1________y2 (填“＞”“＜”或“＝”). 方法二 ：图象观察 画出正比例函数y＝3x的图象，在函数 图象上标出点A、点B，如图，观察图象， 因为y1 在y2的上方，所以y1＞y2. 巩固拓展 例：已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1________y2 (填“＞”“＜”或“＝”). 方法三：依据增减性 根据正比例函数的增减性比较函数值的大小． 根据正比例函数的性质，当k＞0时，y的值随着x的值增大而增大，因为-1＞-2，所以y1＞y2. 巩固拓展 正比例函数相关问题的一般解决策略 1.正比例函数图象上的两点纵坐标的大小与比例系数及自变 量的大小有关：比例系数是正数时，函数值随自变量的增 大而增大；比例系数是负数时，函数值随自变量值的增大 而减小． 2.正比例函数中比较函数值大小的方法： （1）代数对比； （2）图象观察； （3）利用函数的增减性比较大小． 当堂检测 1.下列图象中，表示正比例函数图象的是( ) B A. B. C. D. 正比例函数图象是一条过原点的直线. 当堂检测 2.函数 的图象经过( ) C A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 3.已知正比例函数 的图象如图所示， 则 的值可能是( ) A A. B. C. D. 当堂检测 4.（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 和 的图象. 解：函数和 的图象 如图所示. 当堂检测 （2）分别判断点，是否在函数 的图象上， 点，是否在函数 的图象上. 解：把代入，得 ； 把代入，得 . 点不在函数 的图象上， 点在函数 的图象上. 同理可得，点在函数 的图象上， 点不在函数 的图象上. 当堂检测 5.已知与成正比例，且当时， . （1）写出与 之间的关系式. 解：由题意，设 . 将，代入，得，解得 . ，即 . （2）若点在这个函数的图象上，求 的值. 解：将点代入,得 ， 解得 . 反思总结 1.画正比例函数图象的一般步骤是什么？ 2.正比例函数图象有怎样的性质？ 3. 图象的研究体现了怎样的数学思想？如何体现的？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P91页 随堂练习第1题 二、素养类作业 搜索理解图象与图像的区别 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $