精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学2020-2021学年八年级上学期期中数学(五四制)试卷

风华中学期中测试卷 八年级上数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面所给的图中是轴对称图形的是(　　) A. A B. B C. C D. D 3. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的顶角是，则其底角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子，，，，，分式有( )个． A. B. C. D. 6. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 若，则等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接，下列结论错误的是（　　） A. B. 平分 C. D. 9. 如图，是等边中边上的点，，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 无法确定 10. 有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某条直线对称；③等腰三角形底边上的中线是它的对称轴；④等腰三角形两底角的平分线相等，其中说法正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 当x________________时，分式有意义. 12. 利用分式的基本性质填空：，空格应填入_______． 13. 点关于y轴的对称点的坐标是______． 14. ______． 15. 若，，则_____． 16. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________． 17. 如图，在等腰中，，平分，点是线段延长线上的一点，连接，点在的垂直平分线上．若，则______． 18. 如图，在中，CM平分交AB于点M，过点M作交AC于点N，且MN平分，若，则BC的长为______． 19. 在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为________． 20. 如图，在中，点D是上一点，连接，，过点C作于点E，交于点F，且，若，，则的长为___________． 三、解答题（共60分） 21. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出的坐标，连接，直接写出的面积． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． （1）求证：； （2）如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，连接．请直接写出图2中四对全等的三角形． 25. 某超市欲购A和B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价少10元，用同样的价钱可以购买20件A商品或购买15件B商品． （1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ （2）超市购进商品时，恰逢厂家促销活动，每件A商品9折优惠，每件B商品降价4元，超市购进A，B两种商品共50件，且A商品以每件32元的价格售出，B商品以每件42元的价格售出，若要全部售出后所获得的利润不少于280元，求最多购进A商品多少件？ 26. 已知：是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作等边，连接，求证：平分； （3）如图3，在(2)问的条件下，作，使＋，交的延长线于点，连接，设交于点，已知，，，求线段的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18． （1）求点的坐标； （2）点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系； （3）如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华中学期中测试卷 八年级上数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 2. 下面所给的图中是轴对称图形的是(　　) A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：A. 是轴对称图形，故本选项正确； B. 不是轴对称图形，故本选项错误； C. 不是轴对称图形，故本选项错误； D. 不是轴对称图形，故本选项错误. 故选A. 3. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，这个过程叫做因式分解”进行排除选项即可． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式乘积的形式，所以不是因式分解，故不符合题意； B、该选项属于整式的乘法，所以不是因式分解，故不符合题意； C、符合因式分解的定义，故符合题意； D、，等式右边错误，故不符合题意； 故选C． 4. 等腰三角形的顶角是，则其底角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为 ∴底角． 故选：B． 5. 下列式子，，，，，分式有( )个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“分式的定义”进行分析判断即可． 【详解】在式子：，，，， ， 属于分式的有：，， ，共计个. 故选： 【点睛】此题考查了分式的定义，解题的关键是正确理解形如，其中、都是整式，且中含有字母的式子叫做分式是解题的关键． 6. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据题意可分当边长为腰长和当边长为腰长时，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 故选C． 7. 若，则等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接，下列结论错误的是（　　） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的度数即可判断A；求出和的度数，求出的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；证得是等腰三角形，，则可判断D． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴，故选项A不符合题意； B.∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故选项B不符合题意； C.过D作于E，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，故选项C符合题意； D.∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9. 如图，是等边中边上的点，，，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形 ∴AB=AC，∠BAE=60°， ∵∠1=∠2，BE=CD， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°， ∴△ADE是等边三角形． 故选B． 【点睛】此题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握等边三角形的判定定理． 10. 有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某条直线对称；③等腰三角形底边上的中线是它的对称轴；④等腰三角形两底角的平分线相等，其中说法正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．分别根据轴对称图形的定义以及轴对称的性质解答即可． 【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确； ②如果两个三角形全等，那么这两个三角形不一定关于某条直线对称，原说法错误； ③等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，原说法错误； ④等腰三角形两底角的平分线相等，说法正确． 所以正确的说法有2个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 当x________________时，分式有意义. 【答案】≠-2 【解析】 【详解】分析： 根据“使分式有意义的条件”进行分析解答即可. 详解： ∵分式有意义， ∴，解得：. 故答案为：. 点睛：知道：“使分式有意义的条件是：分式中字母的取值不能使分母的值为0”是解答本题的关键. 12. 利用分式的基本性质填空：，空格应填入_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分母扩大倍，则分子应扩大倍，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 点关于y轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 14. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. 若，，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 16. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解. 【详解】∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=30°， 又∵AD⊥AC，AD=3 ∴∠DAC=90°，CD=6 勾股定理得AC=AB=3， 由图可知△ABD∽△BCA， ∴BC=9 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键. 17. 如图，在等腰中，，平分，点是线段延长线上的一点，连接，点在的垂直平分线上．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵等腰中，，平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，CM平分交AB于点M，过点M作交AC于点N，且MN平分，若，则BC的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 19. 在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得和的度数，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 点在边上，为等腰三角形， 如图，当时， ， ． 如图，当时， ， ． 故答案为：或． 20. 如图，在中，点D是上一点，连接，，过点C作于点E，交于点F，且，若，，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于M，根据直角三角形的性质以及角的和差可得，证明，可求出，，则，由即可求解． 【详解】解：作于M，如图， ∵，． ∴，，， ∵， 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，． ∴，， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. （1）计算：； （2）计算：； （3）因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可； （2）先利用单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可； （3）先提公因式，再利用公式法进行分解即可； （4）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出的坐标，连接，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的坐标，的面积为 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质； （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 的坐标，的面积． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算是解题的关键；因此此题可根据整式的运算进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； ∴当时，则原式． 24. 如图1，在中，，点D是的中点，点E在上． （1）求证：； （2）如图2，若的延长线交于点F，且，垂足为F，，连接．请直接写出图2中四对全等的三角形． 【答案】（1） 证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得垂直平分，然后问题可求证； （2）根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图中全等三角形有：，，，；理由如下： ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 由（1）可知：， 在和中， ， ∴； 同理可得； ∵，， ∴，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 某超市欲购A和B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价少10元，用同样的价钱可以购买20件A商品或购买15件B商品． （1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ （2）超市购进商品时，恰逢厂家促销活动，每件A商品9折优惠，每件B商品降价4元，超市购进A，B两种商品共50件，且A商品以每件32元的价格售出，B商品以每件42元的价格售出，若要全部售出后所获得的利润不少于280元，求最多购进A商品多少件？ 【答案】（1）每件A种商品的进价为30元，每件B商品的进价为40元 （2）最多购进A商品20件 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每件A种商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）设购进A商品m件，则购进B商品件，由题意易得，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A种商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元，由题意得： ， 解得：； ∴每件B商品的进价为元； 答：每件A种商品的进价为30元，每件B商品的进价为40元． 【小问2详解】 解：设购进A商品m件，则购进B商品件，由题意得： ， 解得：； 答：最多购进A商品20件． 26. 已知：是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作等边，连接，求证：平分； （3）如图3，在(2)问的条件下，作，使＋，交的延长线于点，连接，设交于点，已知，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用（2）的结论，等边三角形的性质和平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，则，；利用平行线的性质和等高的三角形的面积比等于底的比，得到，则，，可求，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， ， ， 平分； 【小问3详解】 解：由（2）知：， ， ， ． ， 为等边三角形， ，， ． ， ， ， 四边形为平行四边形， ． 过点作的垂线，垂足分别为，连接，如图， 由（2）可得平分； ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ． 由（）知：， ． ， ， ． 由（）知：， ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质与判定，平行四边形的判定与性质，同高的三角形的面积比等于底的比，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，，的面积等于18． （1）求点的坐标； （2）点是线段上一动点，设点的横坐标为，的面积为，求与的数量关系； （3）如图2，在(2)的条件下，延长至点使，在第一象限内是否存在点，使是等腰直角三角形且，连接，的面积等于6，如果存在，请求出的值和点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，平面内点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式和算术平方根的意义解答即可； （2）过点作于点，利用等腰直角三角形的判定与性质和三角形的面积公式解答即可； （3）过点作于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，利用的代数式分别表示出相应的线段，从而得到关于的方程，解方程即可求得结论． 【小问1详解】 解：，的面积等于， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 过点作于点，如图， ，， ， ， ． 点的横坐标为， ， ， ， ． 与的数量关系为． 【小问3详解】 第一象限内存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，理由： 过点作于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，如图， 由（2）知：，，， ，轴， ， ， ，， 的面积等于， ， ． ． ，，， ，． ，，， ，． 是等腰直角三角形且， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， ， ，， ． 综上，存在点，使是等腰直角三角形，且，的面积等于，此时，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $