精品解析：海南省海口市海南华侨中学2021年自主招生数学试题

海南省海口市华侨中学2021年自主招生试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．请将正确答案填涂在答题卡相应位置．) 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形解答即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票，中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6．下列判断正确的是（ ） A. （1）（2）都是随机事件 B. （1）（2）都是必然事件 C. （1）是必然事件，（2）是随机事件 D. （1）是随机事件，（2）是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件： 在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；根据概念判断即可. 【详解】解：事件（1）：购买1张福利彩票，中奖，是随机事件， 事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6，是必然事件， 故选D 【点睛】本题考查的是随机事件与必然事件的含义，掌握“利用概念判断随机事件与必然事件”是解本题的关键. 3. 已知⊙O半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6， ∴， ∴直线l与相离， ∴直线l与⊙O的公共点的个数为0， 故选A． 【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键． 4. 解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（ ） A. (x＋3)2＝13 B. (x－3)2＝5 C. (x－3)2＝4 D. (x－3)2＝13 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣6x﹣4＝0， ∴x2﹣6x＝4， ∴x2﹣6x+9＝13， ∴（x﹣3）2＝13， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两面同时加上一次项系数一半的平方． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. y＝(x－1)2－1 B. y＝(x－1)2＋1 C. y＝(x＋1)2－1 D. y＝(x＋1)2＋1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的规律写出即可． 【详解】解：∵向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标， ∴所得抛物线解析式是y=(x-1)2+1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 6. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出m＋n和mn的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若其两根分别为和，则其两个根满足，，掌握此定理是解题关键． 7. 在平面直角坐标系中，已知、，动点在坐标轴上，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需分三种情况讨论等腰三角形可能性，即、、，结合勾股定理和垂直平分线的性质确定坐标轴上符合条件的点的个数．本题主要考查了等腰三角形的性质、两点间距离公式，熟练掌握等腰三角形的分类讨论方法和两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵、， ∴， 情况一，， 当在轴上：设，由， 根据两点间距离公式可得， 解得， 此时对应点C坐标为或； 当在轴上：设，由， 根据两点间距离公式可得： ， 解得， 此时对应点C坐标为或． 情况二：， 当在轴上：设，由， 根据两点间距离公式可得 ， 即， ∴ ，方程无实数解． 当在轴上：设，由， 根据两点间距离公式可得： ， 即 ， ∴，方程无实数解． 情况三：（在垂直平分线上） 设， ∵， ∴ ， ∴， 与轴交点：令，则，解得，此时对应点． 与轴交点：令，则，解得，此时对应点． 综上，情况一有个点，情况三有个点，共个点， 故选：． 8. 从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解，分式方程有整数解即可得解． 【详解】解：， 由①得，x≤a， 由②得，x＞， 可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解； 解分式方程得， x=， 当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解， 当a取-1时，分式方程x=2是增根． 综上，a取-3时，符合题意，P=． 故选A． 【点睛】本题考查简单事件的概率、不等式组以及分式方程，能求解分式方程是解题的关键． 9. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可以换元，用含y的式子表示出x，再将其代入已知式子，从而得到关于t的方程，解出t，再结合x＞0，y＞0排除不符合要求的值，从而得解． 【详解】解：设t，化简得：x＝①， 将①代入x2−4y2＝−3xy得−4y2＝-3， 解得：t＝−4或t＝， 当t＝时，代入①得分母为负值，分子3＋2t为正，与x＞0，y＞0矛盾，故舍掉． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式化简求值，需用换元法来巧妙消元，从而转化成方程求解，本题难度中等偏上． 10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　） A. B. C. D.  【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况：（1）当0≤x≤时，（2）当＜x≤2时，（3）当2＜x≤4时，根据勾股定理列出函数解析式，判断其图象即可求出结果． 【详解】解：（1）当0≤x≤时， 如图1，过M作ME⊥BC与E， ∵M为AB的中点，AB=2， ∴BM=1， ∵∠B=60°， ∴BE=，ME=，PE﹣x， 在Rt△BME中，由勾股定理得：MP2=ME2+PE2， ∴y= =x2﹣x+1； （2）当＜x≤2时， 如图2，过M作ME⊥BC与E， 由（1）知BM=1，∠B=60°， ∴BE=，ME=，PE=x﹣， ∴MP2=ME2+PE2， ∴y= =x2﹣x+1； （3）当2＜x≤4时， 如图3，连结MC， ∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°， ∴∠BMC=90°，MC=， ∵AB∥DC， ∴∠MCD=∠BMC=90°， ∴MP2=MC2+PC2， ∴y==x2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B选项符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象． 11. 如图，在中，是中线，点是边上的一点，，与相交于点，若，则的面积是（　　） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据是中线可得，，从而得到，根据可得，，从而可得，，进而得出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 在中，是中线， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，找个各三角形之间的面积关系，准确进行计算是解此题的关键． 二、多项选择（至少有两个正确答案） 12. 如图，在平面直角坐标系中有菱形，点坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过的中点，交于点，且，其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】过B作轴于点M，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，得到点坐标，中点，得到点坐标，进而求出反比例函数的解析式，判断A，根据菱形的性质和反比例函数图象上点的特征求出点坐标，判断B，作轴，利用三角函数的定义，求出，判断C，勾股定理得到，利用完全平方公式求出，判断D即可． 【详解】解： ∵菱形，点坐标为， ∴，轴； ∴， 过B作轴于点M， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴，即：， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； ∵轴，点在上，， ∴，， 当时，； ∴； 作轴，则：， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上：四个选项均正确； 故选ABCD 【点睛】本题考查菱形的性质，反比例函数与几何的综合应用，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，等积法，求出点的坐标，是解题的关键． 13. 下列关于二次函数（为常数）的结论中正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴总有两个公共点 B. 若时，随的增大而增大，则 C. 无论为何值，该函数的图象必经过一个定点 D. 该函数图象的顶点一定不在直线的上方 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 计算判别式可判断A选项，根据顶点横坐标为，判断B选项，整理函数为，即可判断C选项；由顶点纵坐标不在直线上方判断D选项． 【详解】解：选项A：判别式，图象与x轴总有两个交点，该选项正确； 选项B：函数对称轴为直线，开口向上，所以，该选项错误； 选项C：代入得，与无关，必过定点，该选项正确； 选项D：根据选项C可得，抛物线顶点纵坐标最大为，故顶点不在上方，该选项正确； 综上，正确选项为ACD． 故答案为：ACD． 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填写在答题卡相应位置上．) 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，，分别与相切于A，两点，为上异于A，的一点，连接，，若，则的大小是______ 【答案】或 【解析】 【分析】连接、，根据切线的性质得到，，进而求出，分点C在优弧上或在劣弧上两种情况，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，分别与相切于A，两点， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上时，， 当点C在劣弧上时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16. 如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________． 【答案】cm 【解析】 【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角 再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示： 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为 则n=90， ∵ 即这根绳子的最短长度是cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键. 17. 在平面直角坐标系中，点，点，以为边作正方形，则正方形的面积为_________，延长交轴于，再以为边作正方形，…，按此规律进行下去，则第2021个正方形的面积为____________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律． 根据勾股定理算出，再结合正方形的面积公式列式计算，得出正方形的面积，根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：正方形的点A的坐标为，点D的坐标为， ，，，， ∴正方形的面积为， 延长交x轴于点，作正方形， ∵，， ∴， ∵， ， ， ， ∴第1个正方形的面积为：； 第2个正方形的面积为：； 同理可得， 第3个正方形的面积为： …… ∴第n个正方形的面积为： 第2021个正方形的面积为：． 故答案为：5，． 18. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是__________________. 【答案】 【解析】 【详解】延长AC交 于 ， 在 中， 即 即 在中， 四、解答题(本大题共4小题，共60分) 19. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“特别距离”，给出如下定义∶若，则点与点的“特别距离”为；若，则点与点的“特别距离”为． 例如∶点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点)． （1）已知点，为轴上的一个动点． ①若点与点的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“特别距离”的最小值． （2）已知是直线上的一个动点，如图2，点的坐标是，求点与点的“特别距离”的最小值及相应的点的坐标． 【答案】（1）①点B的坐标是或；② （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了新定义“特别距离”、点的坐标、绝对值等知识，本题综合性强，弄清楚题干中的已知条件，正确理解“特别距离”的定义是解题的关键． （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为，由“特别距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值； ②设点B的坐标为．根据，“特别距离”为即可求得最小值； （2）设点C的坐标为．根据材料可知C、D两点的“特别距离”取最小值时，，据此可以求得最小值和点C的坐标． 【小问1详解】 解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为． ∵， ∴， 解得或； ∴点B的坐标是或； ②设点B的坐标为， 当点A与点B的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∴， ∴当时，点A与点B的“特别距离”最小，最小值为； 【小问2详解】 解：当点C与点D的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知， ∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是， ∴设点C的坐标为， ∴，， ∴若， 解得，此时较大值为； 当， 解得，此时较大值为， ∴当时， ∴点C与点D的“特别距离”的最小值为， 此时． 20. 如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F． （1）求证：； （2）如图2，若，求的值； （3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明； （2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出∠AOD=∠ADB=90°，，根据勾股定理得出AD=2，即可求出答案； （3）先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，BC===CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4，令=t≥0，即x=2-t2，可得四边形ABCD的周长=-2（t-1）2+10，得出x=2-t2=1，即AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出DF=OF=OD=1，根据△ADO是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得，求出DE=，即可得出答案． 【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA， ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ODA， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD=∠COB， ∴∠COD=∠ODA， ∴OC∥AD； （2）∵OC平分， ∴∠COD=∠COB， 在△BOG与△DOG中， ∴△BOG≌△DOG， ∴∠BGO=∠DGO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC， ∵DE=DF， ∴∠DFE=∠DEF， ∵∠DFE=∠AFO， ∴∠AFO=∠DEF， ∴△AFO∽△AED， ∴∠AOD=∠ADB=90°，， ∵OA=OD=2， ∴根据勾股定理可得AD=2， ∴=； （3）∵OA=OB，OC∥AD， ∴根据三角形中位线可设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==， ∴BC===CD， ∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC =4+2x+2 =4+2x+4 令=t≥0，即x=2-t2， ∴四边形ABCD的周长=4+2x+4 =4+2（2-t2）+4t =-2t2+4t+8 =-2（t-1）2+10， 当t=1时，四边形ABCD的周长取得最大值，最大值为10， 此时x=2-t2=1， ∴AD=2， ∵OC∥AD， ∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF， ∵AD=OC=2， ∴△ADF≌△COF ∴DF=OF=OD=1， ∵AD=OC=OA=OD， ∴△ADO是等边三角形， 由（2）可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°， ∴在Rt△ADE中，∠DAE=30°， ∴， ∴DE=， ∴=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键． 21. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．且点B坐标为，． （1）求抛物线函数表达式； （2）点D是直线上方抛物线上的一点． ①过点D作x轴垂线，交直线于点E，求线段长度的最大值． ②当时，求点D的坐标． （3）如图2，点P是线段上一点，K是中点，过点P作于点M，于点N，连接，直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式，求出C点坐标，再根据，得到A点坐标，代入A点B点坐标即可求出a，b； （2）①D点和E点在同一竖直线上，横坐标相同，设横坐标为t，将D，E两点坐标用t表示出来，列出线段DE长度的代数式，即可求最大值； ②作AC的中垂线，与AC交于点N，与y轴交于点M，构造出；求出中垂线解析式，得出M点坐标，求出；作于H并延长，取并延长CD与OH相交于点P，求出CH长度，由算出PH的长度，进而算出OP长度，从而得到P点坐标；求出直线CP解析式，与抛物线联立即可解得D点坐标 （3）P，N，B，M四点共圆，K为圆心，，，，，故求PB的最小值即可；当时PB最小，用面积法算出此时PB的长度即可． 【小问1详解】 ∵抛物线解析式为： ∴， ∵ ∴，即 将A，B两点坐标代入抛物线解析式得： 解得： 故抛物线解析式为：； 【小问2详解】 ①设直线BC解析式为：，代入B，C两点坐标得 解得： 故直线BC解析式为： 设 ∵D在直线上方抛物线上 ∴ ∵轴 ∴ 则， ∴ ∴当时， 即DE最大值为：； ②作AC中垂线，与AC交于点N，与y轴交于点M；作于H并延长，取并延长，CD与OH相交于点P ∵MN是AC中垂线 ∴ ∴ ∴ 即为所需要的角 设直线AC解析式为：，代入A，C两点坐标得 解得： 故直线AC解析式为： ∵MN为AC中垂线 ∴， 设直线MN解析式为：，代入N点坐标得 解得： 故直线MN解析式为： 故 ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴， 易得直线OP解析式为： ∵ ∴在中： 则 ∴ 设直线CP解析式为：，代入C，P两点坐标得 解得： 故直线CP解析式为： 联立直线CP解析式和抛物线解析式： 解得：，， 故； 【小问3详解】 ∵，K是PB中点 ∴P，N，B，M四点共圆，K为圆心 ∴ 设 则，， 故求PB的最小值即可 当时，PB最小， 由面积得： ∵，， ∴ 此时． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数，中垂线，四点共圆．第二小题第二问利用中垂线构造出是解题关键，第三小问发现P，N，B，M四点共圆是解题关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市华侨中学2021年自主招生试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．请将正确答案填涂在答题卡相应位置．) 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两个事件，事件（1）：购买1张福利彩票，中奖；事件（2）：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6．下列判断正确的是（ ） A. （1）（2）都是随机事件 B. （1）（2）都是必然事件 C. （1）是必然事件，（2）是随机事件 D. （1）是随机事件，（2）是必然事件 3. 已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 4. 解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（ ） A. (x＋3)2＝13 B. (x－3)2＝5 C. (x－3)2＝4 D. (x－3)2＝13 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. y＝(x－1)2－1 B. y＝(x－1)2＋1 C. y＝(x＋1)2－1 D. y＝(x＋1)2＋1 6. 已知一元二次方程x2－4x－1＝0的两根分别为m，n，则m＋n－mn的值是（ ） A. 5 B. 3 C. －3 D. －4 7. 在平面直角坐标系中，已知、，动点在坐标轴上，若以、、三点为顶点三角形是等腰三角形时，求点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　） A. B. C. D. 9 已知：，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（　　） A. B. C. D.  11. 如图，在中，是中线，点是边上的一点，，与相交于点，若，则的面积是（　　） A. 3 B. C. 4 D. 二、多项选择（至少有两个正确答案） 12. 如图，在平面直角坐标系中有菱形，点坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过的中点，交于点，且，其中正确的结论有（ ） A B. C. D. 13. 下列关于二次函数（为常数）的结论中正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴总有两个公共点 B. 若时，随的增大而增大，则 C. 无论为何值，该函数的图象必经过一个定点 D. 该函数图象的顶点一定不在直线的上方 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填写在答题卡相应位置上．) 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 15. 如图，，分别与相切于A，两点，为上异于A，的一点，连接，，若，则的大小是______ 16. 如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________． 17. 在平面直角坐标系中，点，点，以为边作正方形，则正方形的面积为_________，延长交轴于，再以为边作正方形，…，按此规律进行下去，则第2021个正方形的面积为____________． 18. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是__________________. 四、解答题(本大题共4小题，共60分) 19. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与“特别距离”，给出如下定义∶若，则点与点的“特别距离”为；若，则点与点的“特别距离”为． 例如∶点，点，因为，所以点与点的“特别距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点)． （1）已知点，为轴上的一个动点． ①若点与点的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“特别距离”的最小值． （2）已知是直线上的一个动点，如图2，点的坐标是，求点与点的“特别距离”的最小值及相应的点的坐标． 20. 如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F． （1）求证：； （2）如图2，若，求的值； （3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值． 21. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．且点B坐标为，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D是直线上方抛物线上的一点． ①过点D作x轴垂线，交直线于点E，求线段长度的最大值． ②当时，求点D的坐标． （3）如图2，点P是线段上一点，K是中点，过点P作于点M，于点N，连接，直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $