专题12 函数的表示方法（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题12 函数的解析式的求法及其应用 （七类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、待定系数法求解析式 类型二、换元法求解析式 类型三、配凑法求解析式 类型四、方程组求解析式 类型五、根据奇偶性求解析式 类型六、赋值法求解析式 类型七、求解析式中的参数值 压轴专练 类型一、待定系数法求解析式 待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 【技巧方法】 已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数. 例1．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【解析】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为： 变式1-1．若函数是二次函数，满足，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 变式1-2．已知一次函数满足，则解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解析】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 变式1-3．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)实数的取值集合为 【解析】（1）设，又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，解得， 所以； （2）若时，恒成立，则的解集为， 即的解集为，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为． 类型二、换元法求解析式 换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围 【技巧方法】 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 例2．已知，则函数的解析式为（  ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【解析】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 变式2-1．已知，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【解析】令， 由， 则，即. 故选：C. 变式2-2．已知，则的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【解析】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 变式2-3．已知函数，则___________ 【答案】 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故答案为： 类型三、配凑法求解析式 配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式 【技巧方法】 已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式. 例3．若函数，则 . 【答案】 【分析】利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； 【解析】函数，又的值域为， ， 故答案为：. 变式3-1．已知，求； 【答案】； 【分析】利用配凑法求解即可； 【解析】． 因为， 所以的解析式为． 变式3-2．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法求解即可； 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 变式3-3．已知函数，则函数的解析式是___________ 【答案】， 【分析】利用配凑法求解即可； 【解析】，且，所以，. 故答案为：， 类型四、方程组求解析式 方程组（消去）法： 主要解决已知与、、……的方程，求解析式 【技巧方法】 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 例4．已知，求. 【答案】 【分析】用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【解析】∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 变式4-1．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【解析】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 变式4-2．若函数，满足，且，则（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 变式4-3．已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【解析】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 变式4-4．已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】利用解方程组法，依次用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【解析】由题意知，① 用代换①式中的，得， 即，② 用代换①式中的，得， 即，③ 由①②③，得 则（且）． 类型五、根据奇偶性求解析式 【技巧方法】 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值 例5．已知偶函数，当时，，则当时，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 变式5-1．已知奇函数则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】当时，，， 则． 故答案为：. 变式5-2．设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】由奇函数的性质可知，，即， 又，得， 所以. 故答案为： 变式5-3．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 类型六、赋值法求解析式 赋值法：主要解决一类与抽象函数有关的解析式 抽象函数的模型 反比例函数：，则， 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【技巧方法】 结合已知条件，利用赋值法对等式中变量进行赋值 例6．已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【解析】设，由， 代入可得，，解得， . 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可） 变式6-1．写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【解析】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 变式6-2．设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得，即． 故答案为： 变式6-3．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 【答案】14 【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求. 【解析】，，是定义在上的单调函数， 则为定值，设，则， ，解得，得， 所以. 故答案为：14. 类型七、求解析式中的参数值 通过求解析式中的参数值进而函数值 【技巧方法】 利用求解析式的方法处理解析式中的参数。 例7．已知，且，则m等于（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】令解得，代入得，解之可得选项. 【解析】因为，所以令解得，所以， 解得， 故选：D. 变式7-1．已知函数，且，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解析】令 . 故选：A. 变式7-2．设函数的定义域为，且，当时，，则（  ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【解析】因为，取，可得， 即， 因为，取，则， 因为，所以，解得， 因为，取，则， 所以，解得，则. 故选：D. 变式7-3．设，若，则（  ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解析】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 1.已知函数的定义域为，且，则（  ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解析】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 2.已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 3.已知，且，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．4 【答案】1 【分析】令，求出，代入解出. 【解析】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：A. 4.已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知表达式，采用换元法用替换，构造方程 ， 与联立消即可求解． 【解析】因为①， 所以用替换，得 ② 由得 故选B 5.如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解析】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 6.（多选）已知定义域为，则错误的是（  ） A． B． C．， D．函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】首先需要根据已知条件求出的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域是否正确. 【解析】已知，设，则. 因为，所以. 那么，化简可得，，即，.   当时，，所以无定义，A选项错误.   当时，，所以无定义，B选项错误.   由前面的计算可知，，C选项正确.   对于函数，因为的定义域为，所以. 解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误. 故选：ABD. 7.（多选）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义以及赋值法求解. 【解析】对于选项，因为为奇函数，所以，则正确，错误； 由可知，令，则，则正确，错误； 故选：AD. 8.（多选）已知函数对任意，恒有，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】赋值法，分别令，，即可得出答案. 【解析】令，得，则.故A错误，C正确； 令，得.故B错误，D正确. 故选：CD. 9.已知函数是一次函数且，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】设， 由得， 即， 所以，解得， 所以． 故答案为： 10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【解析】设，则，则， 函数是上的奇函数，则当时，. 又， 所以 故答案为： 11.已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为： 12.已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）令则 （2）令则； （3）对称轴为， ， ． 13.已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得的解析式，进而求解 【解析】（1）设，， 则， 又，， 所以，恒成立， ，解得，所以； （2）不等式，即， 即，即， 当时,解得， 当时,解得， 当时,解得， 综上可得,当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为. 14.已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【答案】(1) (2)； 【解析】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数的解析式的求法及其应用 （七类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、待定系数法求解析式 类型二、换元法求解析式 类型三、配凑法求解析式 类型四、方程组求解析式 类型五、根据奇偶性求解析式 类型六、赋值法求解析式 类型七、求解析式中的参数值 压轴专练 类型一、待定系数法求解析式 待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 【技巧方法】 已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数. 例1．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 变式1-1．若函数是二次函数，满足，则=（  ） A． B． C． D． 变式1-2．已知一次函数满足，则解析式为（  ） A． B． C． D． 变式1-3．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 类型二、换元法求解析式 换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围 【技巧方法】 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 例2．已知，则函数的解析式为（  ） A． B．（） C．（） D．（） 变式2-1．已知，则的解析式为（  ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，则的解析式是（  ） A． B． C． D． 变式2-3．已知函数，则___________ 类型三、配凑法求解析式 配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式 【技巧方法】 已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式. 例3．若函数，则 . 变式3-1．已知，求； 变式3-2．已知，则（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数，则函数的解析式是___________ 类型四、方程组求解析式 方程组（消去）法： 主要解决已知与、、……的方程，求解析式 【技巧方法】 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 例4．已知，求. 变式4-1．已知函数满足，则 . 变式4-2．若函数，满足，且，则（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式4-3．已知函数满足，则函数的解析式为 . 变式4-4．已知定义域为且的函数满足，求的解析式． 类型五、根据奇偶性求解析式 【技巧方法】 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值 例5．已知偶函数，当时，，则当时，（  ） A． B． C． D． 变式5-1．已知奇函数则 ． 变式5-2．设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 变式5-3．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 类型六、赋值法求解析式 赋值法：主要解决一类与抽象函数有关的解析式 抽象函数的模型 反比例函数：，则， 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【技巧方法】 结合已知条件，利用赋值法对等式中变量进行赋值 例6．已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 变式6-1．写出满足的函数的解析式 ． 变式6-2．设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 变式6-3．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ． 类型七、求解析式中的参数值 通过求解析式中的参数值进而函数值 【技巧方法】 利用求解析式的方法处理解析式中的参数。 例7．已知，且，则m等于（  ） A． B．2 C． D．3 变式7-1．已知函数，且，则（  ） A． B． C．1 D． 变式7-2．设函数的定义域为，且，当时，，则（  ） A． B． C．4 D． 变式7-3．设，若，则（  ） A．或 B．或 C．或 D． 1.已知函数的定义域为，且，则（  ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 2.已知函数，则（  ） A． B． C． D． 3.已知，且，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．4 4.已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 5.如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 6.（多选）已知定义域为，则错误的是（  ） A． B． C．， D．函数的定义域为 7.（多选）已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（  ） A． B．，都有，且 C． D． 8.（多选）已知函数对任意，恒有，且，则（  ） A． B． C． D． 9.已知函数是一次函数且，则函数的解析式为 ． 10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 11.已知函数满足，则 . 12.已知函数对一切的实数，，都满足，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）求在上的值域. 13.已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 14.已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $