精品解析：黑龙江省大庆市肇源县2025--2026学年九年级开学检测（一模）数学试题

2025-2026学年度初四数学9月开学考 一、单选题 1. 若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质可得△BCD是直角三角形，再根据勾股定理即可求出. 【详解】因为矩形的每个角都是直角，所以两相邻边和其中一条对角线构成直角三角形，所以. 【点睛】本题考查矩形性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 3. 如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　） A. 50° B. 25° C. 15° D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数． 【详解】在四边形ABCD中，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PMAB，PNDC，PM∥AB，PN∥DC． ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=∠PNM． ∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN25°． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识． 4. 如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（　　） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】解：∵△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD=8cm，BE=3cm， ∴BC=BE=3cm，AB=BD=CD-BC=8-3=5cm， ∴AC= ( cm) 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用． 5. 如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定和是直角三角形．利用点O到，的距离，可知和是直角三角形，然后可直接利用求证，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 又，为公共边， ． 故选：A． 6. 如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（　　） A. B. C. D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可． 【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22， 解得：x＝， ∴4x＝， 即菱形的最大周长为cm． 故选：C． 【点睛】此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 菱形中，，，菱形面积是（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积和性质，以及勾股定理，利用可知，，连接菱形对角线和，在中利用勾股定理即可求出的长度，． 【详解】解：连接和交于点O，如图， 四边形为菱形，， 又在中，， 为等边三角形，， 在中，，， 由勾股定理可知， ，即， 菱形的面积为． 故选：． 9. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 【详解】 理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AB2=12+22=5, AC2=22+42=20, AD2=12+32=10, BC2=52=25, CD2=12+32=10, BD2=12+22=5， ∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2， ∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形， 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. 10. 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ） A. （－2，0） B. （2，10） C. （3，10） D. （－5，7） 【答案】B 【解析】 【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知B′D′和B′C的长，由此判断点D′的坐标． 【详解】解：如图，△CDB绕点C逆时针旋转90°后得△CD′B′， ∴B′D′=BD，B′C=BC， ∵四边形OABC是正方形，D（5，3）， ∴BC=5，BD=2， ∴B′O=B′C+CO=10，B′D′=2， ∴点D′的坐标为（2，10）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 11. 如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ） ①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4． A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接AC， ∵△ABD是等边三角形， ∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°， ∵， ∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上， ∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确， ∵， ∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°， ∴△DEF是等边三角形，故②正确， ∵BC=BD，， ∴∠CDB=∠CBD=40°， ∵∠DFE=60°， ∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误， ∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°， ∴∠CAB=∠CAD=30°， ∵AB//CE， ∴∠ACE=∠CAB=∠CAD， ∴CE=AE， ∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2， ∴AD=AB=8，EF=DE=2， ∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题 12. 在三角形中，到三边距离相等的点是____________． 【答案】三条角平分线的交点 【解析】 【分析】根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF， ∴O在∠A的平分线上， 同理O在∠B的平分线上， O在∠C的平分线上， 即O是三条角平分线的交点， 故答案为：三条角平分线的交点． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 13. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根； 故答案为： 14. 已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，求一次函数与x轴的交点坐标，先根据不等式的解集求出，进而求出一次函数解析式，再求出当时x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集是， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴直线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 15. 在平行四边形中，若，则度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出的度数． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 16. 不等式组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 17. 如图，是的角平分线，从下列四个条件：，，，中选一个条件，能使的有______（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先由角平分线定义得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：是的角平分线． ． ①． ． （ASA），故①正确． ②如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE， 又∵∠ADC=∠EDB，BD=CD ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE=AC，∠E=∠CAD， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∴∠E=∠BAD， ∴AB=BE， ∴AB=AC， 又∵AD=AD，BD=DC． ∴△ABD≌△ACD，故②正确． ③，，＝90°． （ASA），故③正确． ④，不能证明，故④错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 如果一个多边形的每个外角都等于24°，这个多边形的内角和是_______°． 【答案】2340 【解析】 【详解】解析：一个多边形的每个外角都等于24°，由多边形的外角和是360°可得这个多边形的边数是，内角和是． 19. 若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴， 解得：， 解 解得：且， ∵是整数，，， ∴， 则符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 三、解答题（19-20 15分） 20. （1）计算：； （2）解不等式：并将解集在数轴上表示出来. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查实数的运算、特殊三角函数值、负指数幂和解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集．熟记特殊角的三角函数值和熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算是解题的关键． （1）根据特殊三角函数值、负指数幂和二次根式的运算进行求解即可； （2）根据一元一次不等式的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可 【详解】解：原式 ； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得； 在数轴上表示，得： 21. 先化简，后求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简代数式，字母值代入求值． 【详解】解： 当时， ． 【点睛】本题考查分式的运算求值；掌握分式的运算法则是解题的关键． 22. 如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF//BC交AB、AC于点E、F，试说明 BE+CF=EF的理由. 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得：∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，然后根据平行线的性质可得：∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，从而证出∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，再根据等角对等边证出：EB=ED，FD=FC，从而证出：BE+CF=EF. 【详解】解：∵BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD ∵EF//BC ∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD ∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC ∴EB=ED，FD=FC ∴BE+CF=DE+DF=EF 【点睛】此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握角平分线、平行线和等腰三角形三者的关系是解决此题的关键. 23. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD． 求证：（1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论； （2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C． 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（ASA）； （2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理． 24. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价2万元．如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆销售多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为8.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用多于100万元且少于110万元的资金购进这两款汽车共15辆，问有几种进货方案？ （3）在（2）的前提下，如果B款汽车每辆售价为12万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，奖励顾客现金1.8万元，怎样进货公司的利润最大（假设能全部卖出）？最大利润是多少？ 【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共4种进货方案；（3）购买A款汽车8辆，B款汽车7辆时对公司更有利，最大利润是44.5万元 【解析】 【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量． （2）关系式为：100≤A款汽车总价+B款汽车总价≤110． （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，求出W与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则： ， 解得：m＝9． 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．则： 100＜8.5x+6（15﹣x）≤110． 解得：4＜x≤8． ∵x的正整数解为5，6，7，8， ∴共4种进货方案； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则： W＝（9﹣8.5）x+（12﹣6﹣1.8）（15﹣x）＝4.7x+63． ∵﹣3.7＜0， ∴W随x的增大而减小． ∴﹣3.7×5+63＝44.5（万元）． 此时，购买A款汽车8辆，B款汽车7辆时对公司更有利，最大利润是44.5万元． 【点睛】本题考查了一次函数，分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 25. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）根据题意列代数式即可解答； （2）当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （3）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 26. 【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边    ．边角边    ．角边角  ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：； 方法应用： 证明：延长交于点， ∵ 平分，， ∴， ∴ ， ∴． ∴ ． 拓展： 【解析】 【分析】知识背景：根据角平分线、垂直的条件，结合全等三角形判定定理判断的依据； 方法应用：利用角平分线及垂线段构造全等三角形，结合角度关系推导； 拓展：通过作辅助线，构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质、三角形面积公式求解． 【详解】解：知识背景： ∵ 平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ （角边角）， 答案选C． 方法应用：略 拓展：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 过点作于，过作于交的延长线于， ∵ ，，， ∴ ，是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角角边）， ∴， ∵ ，，， ∴ ， 又∵ ， ∴ （角边角）， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 27. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 已知 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）20 【解析】 【分析】（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 设菱形的边长为， 则， 在中 即 解得 ∴菱形的周长为20． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28. （1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于点，，，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】 （1）证明：是以、为腰的等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：延长至，使，连接，如图： ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）过作于，连接，证明，进而证明，可得，则，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）略． （2）略． （3）过作于，连接． 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初四数学9月开学考 一、单选题 1. 若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 3. 如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　） A. 50° B. 25° C. 15° D. 20 4. 如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（　　） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. cm 5. 如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（　　） A. B. C. D. 21 7. 如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 菱形中，，，菱形面积是（ ） A. B. C. 4 D. 3 9. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ） A. （－2，0） B. （2，10） C. （3，10） D. （－5，7） 11. 如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ） ①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4． A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题 12. 在三角形中，到三边距离相等的点是____________． 13. 分式方程的解为__________． 14. 已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点坐标是___________． 15. 在平行四边形中，若，则度数为___________． 16. 不等式组的解集为_______． 17. 如图，是的角平分线，从下列四个条件：，，，中选一个条件，能使的有______（填序号） 18. 如果一个多边形的每个外角都等于24°，这个多边形的内角和是_______°． 19. 若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是________． 三、解答题（19-20 15分） 20. （1）计算：； （2）解不等式：并将解集在数轴上表示出来. 21. 先化简，后求值：，其中． 22. 如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF//BC交AB、AC于点E、F，试说明 BE+CF=EF的理由. 23. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD． 求证：（1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形． 24. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价2万元．如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆销售多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为8.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用多于100万元且少于110万元的资金购进这两款汽车共15辆，问有几种进货方案？ （3）在（2）的前提下，如果B款汽车每辆售价为12万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，奖励顾客现金1.8万元，怎样进货公司的利润最大（假设能全部卖出）？最大利润是多少？ 25. 如图，在中，，，，．P，Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设出发的时间为． （1）_______．（用含t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发多长时间时，是等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值：________ 26. 【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边    ．边角边    ．角边角  ．斜边直角边 【方法总结】当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知 ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 27. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 28. （1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于点，，，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $